Uzun kuyruklu olmayan ağır kuyruklu dağıtım örneği

Ağır ve uzun kuyruklu dağılımlar hakkındaki okumalardan, tüm uzun kuyruklu dağılımların ağır kuyruklu olduğunu , ancak tüm ağır kuyruklu dağılımların uzun kuyruklu olmadığını anladım .

Birisi lütfen aşağıdakilere bir örnek verebilir mi?

uzun kuyruklu, sürekli, simetrik, sıfır ortalama yoğunluk fonksiyonu
ağır kuyruklu ancak uzun kuyruklu olmayan sürekli, simetrik, sıfır ortalama yoğunluk fonksiyonu

tanımlarının anlamını daha iyi anlayabilir miyim?

Her ikisinin de birim varyansı olması daha iyi olurdu.

distributions heavy-tailed

— toliveira
kaynak

Bu tanımları nerede buldun? Onları buraya verebilir misin? Bunları eş anlamlı olarak düşündüm!

— kjetil b halvorsen

@kjetilbhalvorsen: Belki de burada: en.wikipedia.org/wiki/…

— Scortchi - Monica'yı eski durumuna döndürün

@kjetilbhalvorsen SA: Bakınız, E. bağlantı. LA: "Ağır-", "yağ-" ve "uzun kuyruklu" dağılımların tanımlarını inceliyordum ve (A) 'da yararlı açıklamalar buldum [ stats.stackexchange.com/ sorular / 10726 /… , (B) [ en.wikipedia.org/wiki/Heavy-tailed_distribution] , (C) [ users.cms.caltech.edu/~adamw/papers/… , (devamı)

— toliveira

(devam) (E) math.stackexchange.com/questions/685921/… (i) ağır kuyruklu dağıtımın A, B, C, D, E, (ii) uzun kuyruklu dağıtımın tanımlandığı gibi olduğunu anladım B, C, E (iii) 'de olduğu gibi

— A.'de

İki tanım birbirine yakındır, ancak tam olarak aynı değildir. Farklardan biri, hayatta kalma oranının bir sınıra sahip olması gerektiğidir.

Bu cevabın çoğu için, dağılımın sürekli, simetrik ve sonlu varyans kriterlerini göz ardı edeceğim, çünkü uzun kuyruklu herhangi bir sonlu-varyans ağır kuyruklu dağıtım bulduktan sonra bunları gerçekleştirmek kolaydır .

Bir dağıtım olan ağır kuyruklu zaman herhangi , $F$ $t\gt 0$

\begin{matrix} (1) & \int_{R} e^{t x} d F (x) = \infty . \end{matrix}

$\int_\mathbb{R} e^{t x} dF(x) = \infty.\tag{1}$

Sağkalım fonksiyonu olan bir dağıtım olduğu uzun kuyruklu zaman $G_F = 1-F$

\begin{matrix} (2) & lim_{x \to \infty} \frac{G_{F} (x + 1)}{G_{F} (x)} = 1. \end{matrix}

$\lim_{x\to \infty} \frac{G_F(x+1)}{G_F(x)} = 1.\tag{2}$

Uzun kuyruklu dağılımlar ağırdır. Ayrıca, artmadığından oranının sınırı geçemez . Daha az mevcut ise ve , o katlanarak azalan - ve bu integrali sağlayacak yaklaştırmaktır. $G$ $(2)$ $1$ $1$ $G$ $(1)$

Uzun kuyruklu olmayan ağır kuyruklu bir dağılım sergilemenin tek yolu, uzun kuyruklu bir dağılımı modifiye etmektir, böylece ihlal edilirken tutulmaya devam eder . Bir sınırı zorlamak kolaydır: sonsuza kadar sonsuz sayıda yerde değiştirin. Bununla birlikte , bu ile biraz zaman alacak ve bu da artmaya devam edecektir ve kadlag. Bunun bir yolu, aşağıya sıçramasını oranını bazı yukarı atlamalar getirmektir . Bu amaçla, hadi bir dönüşümünü tanımlamak döner değeri de ani bir sıçrama oluştururken başka bir geçerli dağılım işlevinin içine $(1)$ $(2)$ $F$ $F$ $G$ $G_F(x+1)/G_F(x)$ $T_u$ $F$ $u$ , dan e kadar bir sıçrama söyleyin : $F(u)$ $1$

T_{u} [F] (x) = {\begin{cases} F (x) & u < x \\ \frac{1}{2} (1 - F (x)) + F (x) & u \geq x \end{cases}

$T_u[F](x) = \begin{cases} F(x) & u<x \\ \frac{1}{2} (1-F(x))+F(x) & u\geq x \end{cases}$

Bu temel özelliğini değiştirmez : hala bir dağıtım işlevidir. $F$ $T_u[F]$

Üzerindeki etki bunun kat damla yapmaktır de . Bu nedenle, azalmadığından, , $G_F$ $1/2$ $u$ $G$ $u-1 \le x \lt u$

\frac{G_{T_{u} [F]} (x + 1)}{G_{T_{u} [F]} (x)} \leq \frac{1}{2} .

$\frac{G_{T_u[F]}(x + 1)}{G_{T_u[F]}(x )} \le \frac{1}{2}.$

Artan ve birbirinden uzaklaşan bir , dizisi ve her 'yi arka arkaya , ve $u_i$ $i=1, 2, \ldots$ $T_{u_i}$ $F_i$ $F_0=F$

F_{i + 1} = T_{u_{i}} [F_{i}]

$F_{i+1} = T_{u_i}[F_i]$

için . Sonra adımı için aynı kalması . Sonuç olarak, dizisi, sınırını ima eden, azalmayan, sınırlanmış, bir dağıtım fonksiyonları dizisidir. $i \ge 1$ $i^\text{th}$ $F_i(x), F_{i+1}(x), \ldots$ $x\lt u_i$ $F_i(x)$

F_{\infty} = lim_{i \to \infty} F_{i}

$F_\infty = \lim_{i\to\infty} F_i$

bir dağıtım işlevidir. İnşaat olarak, uzun kuyruklu değildir, çünkü hayatta kalma oranının veya altına düştüğü sonsuz sayıda nokta vardır , sınır olarak olamaz . $G_{F_\infty}(x+1)/G_{F_\infty}(x))$ $1/2$ $1$

Bu grafik, noktalarında bu şekilde kesilmiş bir sağkalım fonksiyonu göstermektedir Logaritmik dikey ekseni not edin. $G(x) = x^{-1/5}$ $u_1 \approx 12.9, u_2 \approx 40.5, u_3 \approx 101.6, \ldots.$

Umut seçebileceksiniz etmektir böylece ağır kuyruklu kalır. Çünkü, biliyoruz ağır kuyruklu olan sayılar olduğu, için $(u_i)$ $F_\infty$ $F$ $0 = u_0 \lt u_1 \lt u_2 \lt \cdots \lt u_n \cdots$

\int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F (x) \geq 2^{i - 1}

$\int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF(x) \ge 2^{i-1}$

her için . Nedeni, sağda tarafından atanan olasılıklar olmasıdır için değerlere kadar arda ikiye kesilmiş kez. Bu prosedür, herhangi bir için ile değiştirildiğinde , değerini düşürür, ancak daha düşük olmaz. $i \ge 1$ $2^{i-1}$ $F$ $u_i$ $i-1$ $dF(x)$ $dF_{j}(x)$ $j\ge i$ $2^{i-1}$ $1$

Bu, önceki sağkalım fonksiyonuna ve onun "kesilmiş" versiyonuna karşılık gelen yoğunluk için nin bir grafiğidir . Bu eğrinin altındaki alanlar beklentiye katkıda bulunur. Olan bölge için olan ; arasındaki alan için olan (alt mavi kısmına) kesik aşağı bir alan haline gelir, ; arasındaki alan için olan kesme aşağı alanı olur, böylece, ve. Böylece, sağdaki birbirini takip eden her "merdiven basamağı" altındaki alan . $x f(x)$ $f$ $1$ $u_1$ $1$ $u_1$ $u_2$ $2$ $1$ $u_2$ $u_3$ $4$ $1$ $1$

tanımlamak için böyle bir sıra . Biz seçerek ağır kuyruklu kalmasını kontrol edebilirsiniz , bazı tam sayı için ve inşaat uygulayarak: $(u_i)$ $F_\infty$ $t=1/n$ $n$

\begin{aligned} \int_{R} e^{t x} d F_{\infty} (x) & = \int_{R} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{i} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} 1, \end{aligned}

$\eqalign{ \int_\mathbb{R} e^{t x} dF_\infty(x) &=\int_\mathbb{R} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_i(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty 1, }$

hala ayrılıyor. Yana keyfi küçük, bu gösteriyor uzun kuyruklu özelliği tahrip olsa bile, ağır kuyruklu kalır. $t$ $F_\infty$

Bu, dağılım dağılımı için hayatta kalma oranının bir grafiğidir . Orijinal oranı gibi, sona eren birim genişliği aralıkları için üst birikim değerine doğru , oran aniden orijinalinin sadece yarısına düşer. Bu damlalar, arttıkça gittikçe daha az görülmekle birlikte , sonsuz sıklıkta meydana gelir ve bu nedenle oranın sınırda yaklaşmasını önler . $G(x+1)/G(x)$ $G$ $1$ $u_i$ $x$ $1$

Sürekli, simetrik, sıfır ortalama, birim varyans örneği istiyorsanız, sonlu-varyans uzun kuyruklu dağılım ile başlayın. koşuluyla, ( ) yapılacaktır ; böylece Öğrenci t'yi aşan herhangi bir serbestlik derecesi için dağıtacaktır . Anları olanlar geçemez çok sonlu varyansa sahip nereden,. Bir Gaussian gibi hoş bir pürüzsüz dağılımla kıvrım yoluyla "Mollify" yapın: bu sürekli hale getirecek, ancak ağır kuyruğunu (açık olarak) veya uzun bir kuyruğun yokluğunu (oldukça açık değil, ancak Gaussçu, örneğin desteği kompakt olan bir Beta dağıtımına değiştirirsiniz). $F(x) = 1 - x^{-p}$ $x \gt 0$ $p \gt 1$ $2$ $F_\infty$ $F$

Hala simgeleme sonucu - ki hala diyeceğim - tanımlayarak $F_\infty$

F_{s} (x) = \frac{1}{2} (1 + sgn (x) F_{\infty} (| x |))

$F_s(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \text{sgn}(x) F_\infty(|x|)\right)$

tüm . Varyansı sonlu kalacaktır, böylece istenen dağılıma göre standardize edilebilir. $x\in\mathbb{R}$

— whuber
kaynak

Zekice açıkladı. Sadece bir örnek değil, bunun gerekçesini de teklif ettiniz. Açıklamanın netliği, hepsini (neredeyse) anlamamı sağladı. Bazı sayısal örneklerde uygulayacağım.

— toliveira