Kart oyunu: Rastgele dört kart çekersem ve altı çekerseniz, en yüksek kartımın en yüksek kartınızdan daha yüksek olma olasılığı nedir?

Başlıkta belirtildiği gibi, rastgele 4 kart çekersem ve aynı desteden 6 çekerseniz, en yüksek kartımın en yüksek kartınızı geçme olasılığı nedir?

Farklı destelerden çekersek bu nasıl değişecek?

Teşekkürler!

probability maximum

— Wudanao
kaynak

Bu bir ev işi mi?

— Aksakal

Bu basit sorunun karmaşık bir cevabı var. Komplikasyonlar iki faktörden kaynaklanmaktadır:

Kartlar değiştirilmeden çekilir. (Bu nedenle, her çekiliş müteakip çekilişler için mevcut olan destenin içeriğini değiştirir.)
Bir destede genellikle her değerin birden fazla kartı bulunur ve bu da mümkün olan en yüksek kart için bir bağ oluşturur.

$m$ $n_i \ge 1$ $i$ $i=1$ $i=m$ $a\ge 0$ $b\ge 1$ $W$

$a+b$ $a$ $b$ $j$ $k \ge 1$ $k$ $a$ $\binom{a}{k}$ $k$ $a+b$ çizilen . $\binom{a+b}{k}$

Şimdi bu şans en yüksek değerdir ve orada tür kartlar seçmek şans dışına değeri kartları ve kalan seçerek üzerinden alt değerleri. Olduğundan equiprobable ait çizer cevabı, kartların $j$ $k$ $k$ $n_j$ $j$ $a+b-k$ $n_1 + n_2 + \cdots + n_{j-1} = N_{j-1}$ $\binom{N_m}{a+b}$ $a+b$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{N_{m}}{a + b})} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n_{j}} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n_{j}}{k}) (\binom{N_{j - 1}}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{N_m}{a+b}}\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{n_j} \frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n_j}{k}\binom{N_{j-1}}{a+b-k}.$

(Bu ifadede, ve üst değeri alt değerinden daha düşük olan veya alt değeri negatif olan herhangi bir binom katsayısı sıfır olarak kabul edilir.) Kart sayısı ile orantılı zaman alan nispeten verimli bir hesaplama. güverte. Sadece binom katsayılarını içerdiğinden, ve büyük değerleri için asimptotik yaklaşımlara uygundur . $N_0=0$ $a$ $b$

Bazı durumlarda "kazanma" tanımını değiştirmek isteyebilirsiniz. Bu kolayca yapılır: ve değerlerini değiştirerek, aynı formül ikinci oyuncunun doğrudan kazanma şansını hesaplar. ile bu iki şansın toplamı arasındaki fark beraberlik şansıdır. Bu eşitlik şansını oyunculara istediğiniz oranda atayabilirsiniz. $a$ $b$ $1$

Birçok geleneksel iskambil destesinde için ve . Bu nedenle, tüm değerlerinin aynı olduğu herhangi bir desteyi ele alalım , . Bu durumda ve önceki formül biraz daha basitleştirir $m=13$ $n_i=4$ $i=1, 2, \ldots, m$ $n_i$ $n$ $N_{j-1} = (j-1)n$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{m n}{a + b})} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n}{k}) \sum_{j = 1}^{m} (\binom{(j - 1) n}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{m n}{a+b}}\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n}{k}\sum_{j=1}^m \binom{(j-1)n}{a+b-k}.$

Örneğin, 52 kart destesinde ve ile, ve , . Bu oyunun 100.000 oyununun simülasyonu, yaklaşık üç önemli rakama kesin olan ve formülün belirttiklerinden önemli ölçüde farklı olmayan bir tahmini üretti . $m=13$ $n=4$ $a=4$ $b=6$ $\Pr(W) = \frac{12297518}{38720339}\approx 0.3176$ $0.3159$

Aşağıdaki Rkod kolayca tahmin etmek için modifiye edilir herhangi bir güverte: basit bir değişiklik , ve . Sadece 10.000 oyun oynamak üzere ayarlandı, bu da yürütülmesi bir saniyeden az sürmeli ve tahmindeki iki önemli rakam için iyi. $\Pr(W)$ abdeck

a <- 4
b <- 6
deck <- rep(1:13, 4)
set.seed(17)
cards <- replicate(1e4, sample(deck, a+b))
win <- apply(cards, 2, function(x) max(x[1:a]) > max(x[-(1:a)]))
m <- mean(win)
se <- sqrt(m*(1-m)/length(win))
cat("Estimated Pr(a wins) =", round(m, 4), "+/-", round(se, 5), "\n")

Bu örnekte çıktı

Tahmini Pr (kazanç) = 0.3132 +/- 0.00464

— whuber
kaynak

mükemmel cevap! Her oyuncu farklı bir desteden

— çekilirse

Evet, cevabı değiştirecek, çünkü bir kişinin çektiği şey diğer oyuncunun çektiğinden bağımsız olacak. Bazı açılardan bu daha kolay bir sorudur, çünkü cevap bir rastgele değişkenin kendisinden bağımsız olan bir başkasının değerini aşma şansının açık bir hesaplamasıdır.

— whuber

Not orada eğer o değildi herhangi bağları, cevap trivially olacağını : üzerinden kartları çizilmiş, tek en yüksek olduğu ve ilk kadar biten onun şansı olmalı Oyuncunun eli takım . Ancak not ettiğiniz gibi, destede aynı değere sahip birden fazla kartın bulunması işleri karmaşıklaştırır.

\frac{a}{a + b}

$\frac{a}{a+b}$

a + b

$a+b$

a

$a$

a + b

$a+b$

— Ilmari Karonen

@Ilmari Doğru. (Ve aslında sunduğum çözümü öneren bu içgörüdür.) Hiçbir bağ olmadan, her zaman, toplamı kaybolur ve , genel formülün bu basit biçime nasıl indirgeneceğini gösteren faktörler.

n_{i} = 1

$n_i=1$

k

$k$

(\binom{a}{k}) / (\binom{a + b}{k}) = (\binom{a}{1}) / (\binom{a + b}{1}) = a / (a + b)

$\binom{a}{k}/\binom{a+b}{k} = \binom{a}{1}/\binom{a+b}{1} = a/(a+b)$

— whuber

@WernerCD Doğru, ancak bu etki açıklanmıştır: takımların bir sıralaması varsa, o zaman hiçbir bağ yoktur ve bu yüzden formül limari'nin yorumunun açıkladığı şeye indirgenir.

— Brilliand