Uygulamalı bir istatistik dersinde basıklık öğretmeli miyiz? Öyleyse nasıl?

Merkezi eğilim, yayılma ve çarpıklık en azından sezgisel olarak nispeten iyi tanımlanabilir; Bunların standart matematiksel ölçümleri de sezgisel görüşlerimize nispeten iyi karşılık gelir. Ancak basıklık farklı görünüyor. Çok kafa karıştırıcı ve dağıtım şekli ile ilgili herhangi bir sezgi ile iyi uyuşmuyor.

Uygulanan bir ortamda basıklığın tipik bir açıklaması, Microsoft Excel kullanarak iş ve yönetim için Uygulamalı istatistiklerden elde edilen bu alıntıdır [ 1 ] :$^{[1]}$

Basıklık, bir dağılımın ne kadar zirve yaptığı veya tam tersine ne kadar düz olduğu anlamına gelir. Kuyruklarda normal bir dağılımdan beklediğinizden daha fazla veri değeri varsa, basıklık pozitiftir. Tersine, kuyruklarda normal bir dağılımda beklediğinizden daha az veri değeri varsa, basıklık negatiftir. En az dört veri değeriniz yoksa Excel bu istatistiği hesaplayamaz.

"Basıklık" ve "aşırı basıklık" arasındaki karışıklık dışında (bu kitapta olduğu gibi, eski kelimeyi başkalarının yazarının ikincisine ne dediğini belirtmek için kullanmak yaygındır), "dorukluk" veya "düzlük" açısından yorumlama daha sonra kuyrukta kaç veri öğesinin olduğuna dikkat çekilerek karıştırılır. Hem "tepe" hem de "kuyruk" dikkate alındığında - Kaplansky [ 2 ]$^{[2]}$1945 yılında, zamanın birçok ders kitabında basıklığın hatalı olduğunu, dağılımın tepe noktasının kuyrukları dikkate almadan normal bir dağılımınki ile ne kadar yüksek olduğu ile ilgili olduğunu belirtti. Ancak, şekli hem zirvede hem de kuyruklarda düşünmek açıkça sezgiyi kavramayı zorlaştırır, yukarıda belirtilen özütün, zirveden kuyrukların ağırlığına kadar bu kavramlar sanki gibi atlayarak atladığı bir nokta.

Dahası basıklığın bu klasik "tepe ve kuyrukları" açıklaması sadece simetrik ve tek modlu dağılımlar için iyi sonuç verir (aslında, bu metinde gösterilen örneklerin hepsi simetriktir). Yine de "doruk", "kuyruk" veya "omuzlar" açısından basıklığı yorumlamanın "doğru" genel yolu on yıllardır tartışılmaktadır . [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]$^{[2][3][4][5][6]}$

Uygulamalı bir ortamda basıklık öğretmenin daha titiz bir yaklaşım uygulandığında çelişkilere veya karşı örneklere çarpmayacak sezgisel bir yolu var mı? Basıklık, matematiksel istatistik sınıflarının aksine, bu tür uygulamalı veri analizi dersleri bağlamında bile yararlı bir kavram mıdır? Eğer bir dağılımın "doruk noktası" sezgisel olarak yararlı bir kavramsa, bunu L-momentleri [ 7 ] ile öğretmeli miyiz ?$^{[7]}$

Herkenhoff, L. ve Fogli, J. (2013). Microsoft Excel kullanarak iş ve yönetim için uygulanan istatistikler. New York, NY: Springer.$[1]$

Kaplansky, I. (1945). "Basıklık ile ilgili yaygın bir hata". Amerikan İstatistik Derneği Dergisi,40(230): 259.$[2]$

Darlington, Richard B (1970). "Kurtoz Gerçekten 'Zirve' midir?". Amerikan İstatistikçi24(2): 19–22$[3]$

Moors, JJA. (1986) "Basıklık anlamı: Darlington yeniden incelendi". Amerikan İstatistikçi40(4): 283-284$[4]$

Balanda, Kevin P. ve MacGillivray, HL (1988). "Kürtoz: Eleştirel Bir İnceleme". Amerikan İstatistikçi 42(2): 111–119$[5]$

DeCarlo, LT (1997). "Basıklık anlamı ve kullanımı üzerine". Psikolojik yöntemler,2(3), 292. Chicago$[6]$

Hosking, JRM (1992). "Momentler veya L momentler? İki dağılım şekli ölçüsünü karşılaştıran bir örnek" Amerikan İstatistikçi46(3): 186-189$[7]$

Kurtoz gerçekten çok basit ... ve kullanışlıdır. Sadece aykırı değerlerin veya kuyrukların bir ölçüsüdür. Zirveyle hiçbir ilgisi yoktur - bu tanımın terk edilmesi gerekir.

İşte bir veri kümesi:
0, 3, 4, 1, 2, 3, 0, 2, 1, 3, 2, 0, 2, 2, 3, 2, 5, 2, 3, 999

'999'un bir aykırı değer olduğuna dikkat edin.

Veri kümesindeki değerleri şunlardır :$z^4$

0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00.0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 0.00, 360.98

Sadece aykırı değer, 0'dan belirgin şekilde farklı bir verdiğine dikkat edin.$z^4$

Bu değerlerinin ortalaması ampirik dağılımın basıklığıdır (isterseniz 3 çıkarın, yaptığım nokta için önemli değil): 18.05$z^4$

Bu hesaplamadan, "zirve" ye yakın verilerin (aykırı olmayan veriler) basıklık istatistiğine neredeyse hiçbir şey katmadığı açıktır.

Basıklık, aykırı değerlerin bir ölçüsü olarak yararlıdır. Aykırı değerler ilkokul öğrencileri için önemlidir ve bu nedenle basıklık öğretilmelidir. Ancak basıklık, sivri, düz, bimodal veya sonsuz olsun, zirveyle neredeyse hiçbir ilgisi yoktur. Yukarıdakilerin hepsine küçük basıklık ve yukarıdakilerin hepsine büyük basıklık olabilir. Bu yüzden ASLA zirveyle ilgili bir şey olduğu düşünülmemelidir, çünkü bu yanlış bilgi öğretecektir. Ayrıca malzemeyi gereksiz yere kafa karıştırıcı ve görünüşte daha az kullanışlı hale getirir.

Özet:

1. basıklık, kuyrukların (aykırı değerler) ölçüsü olarak yararlıdır.
2. basıklık tepe ile ilgisi yoktur.
3. basıklık pratik olarak faydalıdır ve öğretilmelidir, ancak sadece aykırı değerlerin bir ölçüsü olarak. Basıklık öğretirken zirveden bahsetmeyin.

Bu makalede "Peakedness" tanımının neden resmen öldüğünü açıklıyor.

Westfall, PH (2014). " Zirve Olarak Kurtosis, 1905 - 2014. RIP " Amerikan İstatistikçisi , 68 (3), 191–195.

Soru biraz belirsiz olsa da, ilginç. Basıklık hangi seviyelerde öğretilir? Doğrusal modellerde (yüksek lisans düzeyinde) bir derste (uzun zaman önce Seber'in kitabının ilk baskısına dayanarak) bahsedildiğini hatırlıyorum. Önemli bir konu değildi, ancak (hafızadan) doğru seviyenin asimptotik olarak aynı kurtoza sahip olmasına bağlı olarak, varyansların eşitlik olasılığı testinin (F-testi) sağlamlığını (eksikliği) incelemek gibi konulara giriyor. varsaymak için çok fazla normal dağıtım! Oja'nın çarpıklık, basıklık ve gerçekten neyin gerçekten ölçtüğünü bulmaya çalışan bir makale gördük (ancak detayları ile hiç okumadım) http://www.jstor.org/stable/4615828?seq=1#page_scan_tab_contents .

Bunu neden ilginç buluyorum? Çünkü Latin Amerika'da öğretiyorum, burada çarpıklık ve basıklık çok önemli konular tarafından öğretiliyor ve lisansüstü öğrencilere (ekonomiden çok sayıda) basıklığın dağıtımın kötü bir ölçüsü olduğunu söylemeye çalışıyorum (esas olarak çünkü dördüncü güçlerin örnekleme değişkenliği çok büyüktür), zordu. Bunun yerine QQplots kullanmaya başladım. Yani, bazı yorumculara, evet, bu muhtemelen bir çok yere öğretilir !

Bu arada, bu sadece benim düşüncem değil. Aşağıdaki blog yazısı https://www.spcforexcel.com/knowledge/basic-statistics/are-skewness-and-kurtosis-useful-statistics bu alıntıyı içeriyor (Dr. Wheeler'a atfedilmiştir):

Kısacası, çarpıklık ve basıklık pratik olarak değersizdir. Shewhart bu gözlemi ilk kitabında yaptı. Çarpıklık ve basıklık istatistiği, yer ve dağılım önlemleri tarafından halihazırda verilen bilgilerin ötesinde herhangi bir yararlı bilgi sağlamaz.

Dağılım biçimlerini incelemek için daha iyi teknikler öğretmeliyiz! QQ grafikleri (veya bağıl dağılım grafikleri) gibi. Ve eğer birisi hala sayısal önlemlere ihtiyaç duyuyorsa, L-momentlerine dayanan önlemler daha iyidir. JRM Hosking'in JR Statist Soc B (1990) 52, No 1, s.105-124 makalesinden bir pasaj önereceğim: "L-momentler: Sipariş İstatistiklerinin Doğrusal Kombinasyonu Kullanılarak Dağılımın Analizi ve Tahmini", sayfa 109:

$\lambda_1$$\lambda_2$$\mu(F)$$\frac12 \sigma_1(F)$$\tau_3$$\tau_4$

(Şu an için, bu önlemlerin tanımları için makaleye atıfta bulunuyorum, hepsi L-anlarına dayanıyor.) İlginç olan şey, dördüncü anlara dayanan geleneksel basık ölçüsünün basıklık ölçüsü olmamasıdır . Oja anlamında! (Bu iddiayı bulabildiğim zaman referanslarda düzenleyeceğim).

Bence, çarpıklık katsayısı terimleri motive etmek için yararlıdır: olumlu eğri ve negatif eğri. Ancak, hedefiniz normalliği değerlendirmekse, burada durur. Klasik çarpıklık ve basıklık ölçüleri genellikle normallikten farklı sapma türlerini yakalayamaz. Öğrencilerime genellikle qq-grafiği veya normal olasılık grafiği gibi normalliği değerlendirmenin makul olduğunu değerlendirmek için grafik teknikleri kullanmayı savunuyorum. Ayrıca yeterli boyutta bir örnekle, bir histogram da kullanılabilir. Boxplotlar aykırı değerleri ve hatta ağır kuyrukları tanımlamak için de yararlıdır.

Bu, APA'nın 1999 görev gücü önerileri ile aynıdır:

" Varsayımlar. Veriler göz önüne alındığında, analiz için gerekli temel varsayımların makul olduğundan emin olmak için çaba göstermelisiniz. Kalıntıları dikkatle inceleyin. Dağılım testlerini ve istatistiksel şekil indekslerini (örneğin, çarpıklık, basıklık) kalıntılarınızın grafiksel olarak incelenmesinin yerine kullanmayın. Model uydurma problemlerini teşhis etmek için istatistiksel test kullanmanın bazı eksiklikleri vardır. İlk olarak, özet istatistiklere dayanan (varyans homojenliği testleri gibi) tanısal anlamlılık testleri genellikle pratik değildir; istatistiksel model testlerimiz, istatistiksel varsayım testlerimizden daha sağlamdır. İkincisi, çarpıklık ve basıklık gibi istatistikler genellikle artıklardaki dağılımsal düzensizlikleri tespit edemez. Üçüncüsü, istatistiksel testler örneklem büyüklüğüne bağlıdır ve örneklem büyüklüğü arttıkça, testler genellikle zararsız varsayımları reddeder. Genel olarak, varsayımların grafiksel analizinin yerini tutamaz."

Referans: Wilkinson, L. ve İstatistiksel Çıkarımda Görev Gücü. (1999). Psikoloji dergilerinde istatistiksel yöntemler: Yönergeler ve açıklamalar. Amerikalı Psikolog, 54, 594-604.

Kursun ne kadar uygulandığına bağlı olarak, tahminlerin doğruluğu sorunu ortaya çıkabilir. Varyans tahmininin doğruluğu güçlü bir şekilde basıklık üzerine bağlıdır. Bunun olmasının nedeni, yüksek basıklık ile dağılımın nadir, aşırı potansiyel olarak gözlemlenebilir verilere izin vermesidir. Bu nedenle, veri oluşturma süreci bazı örneklerde çok uç değerler üretecek, diğerlerinde çok uç değerler üretmeyecektir. İlk durumda, çok büyük bir varyans tahmini ve ikincisinde küçük bir varyans tahmini alırsınız.

Eğer modası geçmiş ve yanlış "zirve" yorum ortadan kaldırılmış ve odak tamamen aykırı (yani, nadir, aşırı gözlemlenebilir) verilen, o zaman giriş kurslarında basıklık öğretmek daha kolay olurdu. Fakat insanlar kendilerini "doruk noktasına" haklı göstermeye çalışan düğümlere büküyorlar, çünkü (yanlış) ders kitaplarında bu şekilde ifade ediliyorlar ve basıklıkların gerçek uygulamalarını kaçırıyorlar. Bu uygulamalar çoğunlukla aykırı değerlerle ilgilidir ve tabi ki aykırı değerler uygulamalı istatistik derslerinde önemlidir.

Açıkçası, insanların neden basit şeyleri karmaşıklaştırmak istediklerini anlamıyorum. Neden sadece tanımı göstermiyoruz ( Wikipedia'dan çalındı ):

You can replace the expectation operator with sum based estimators $\frac 1 n \sum_{i=1}^n$, of course. It helps to discuss the units of measure of $\mu,\sigma^2,\mu_4$, and show why the fourth moment should be scaled by the square of the variance to make kurtosis the dimensionless measure, i.e. a shape parameter. So, we have now location $\mu$, scale $\sigma^2$ and any number of parameters to describe the shape such as skew and kurtosis. I'd always start with equations. Supposedly easy to understand explanations in plain English only make everything more confusing. Verbosity $\ne$ clarity.