İki farklılaştırılabilir ve simetrik bir dağılım düşünün $\mathcal{F}_X$ . Şimdi ikinci iki farklılaştırılabilir dağılımı düşünün $\mathcal{F}_Z$ sertlik şu anlama gelir:

(1) F_{X} ⪯_{c} F_{Z} .

$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

nerede $\preceq_c$ van Zwet [0] 'ın dışbükey düzeni, böylece $(1)$ şuna eşittir:

(2) F_{Z}^{- 1} F_{X} (x) is convex \forall x \in R .

$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$

Şimdi üçüncü iki kez farklılaştırılabilir dağılımı düşünün $\mathcal{F}_Y$ doyurucu:

(3) F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

Sorum şu: her zaman bir dağıtım bulabilir miyiz $\mathcal{F}_Y$ ve simetrik dağılım $\mathcal{F}_X$ herhangi birini yeniden yazmak $\mathcal{F}_Z$ (her üçü de yukarıda tanımlandığı gibidir) $\mathcal{F}_X$ ve $\mathcal{F}_Y$ gibi:

F_{Z} (z) = F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z)

$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$

ya da değil?

Düzenle:

Örneğin, $\mathcal{F}_X$ şekil parametresi 3.602349 olan Weibull (simetrik olması için) ve $\mathcal{F}_Z$ 3/2 şekil parametresi ile Weibull dağılımı (bu yüzden doğru çarpıktır)

max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0

$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$

ayarlayarak şekil parametresi 2.324553 ile Weibull dağılımı. Her üç dağıtımın da şunları sağladığını unutmayın: $\mathcal{F}_Y$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z},

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$ . Bunun genel olarak doğru olup olmadığını merak ediyorum (belirtilen koşullar altında).

[0] van Zwet, WR (1979). Ortalama, ortanca, mod II (1979). Statistica Neerlandica. Cilt 33, Sayı 1, sayfa 1--5.

distributions skewness

— user603
kaynak

Hayır!

Tukey dağılımı ( Tukey ve dağılımının için özel durum) tarafından basit bir karşı örnek verilmiştir . $g$ $h=0$ $g$ $h$

Örneğin, izin Tukey olmak ile parametre ve Tukey olmak ile parametre ve Tukey dağılımı olan . Yana , tez üç dağılımları karşılar: $\mathcal{F}_X$ $g$ $g_X=0$ $\mathcal{F}_Z$ $g$ $g_Z>0$ $\mathcal{F}_Y$ $g$ $g_Y\leq g_Z$ $h=0$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

(birincisi , ise simetrik olan Tukey tanımından gelir, birincisi [0], Teorem 2.1 (i) 'den). $g$ $g=0$

Örneğin, için elde ederiz: $g_Z=0.5$

min_{g_{Y} \leq g_{Z}} max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0.005 > 0

$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$

(bir nedenle, minimum değer her zaman yakın gibi görünür ). $g_Y\approx g_Z/2$

[0] HL MacGillivray g-and-h ve Johnson familyalarının şekil özellikleri. Comm. İstatistikçi - Teori Yöntemleri, 21 (5) (1992), s. 1233–1250

Düzenle:

Weibull davasında iddia doğrudur:

Let parametre şekli ile Weibull dağılımı olması (biz genelliği kaybetmeden 1 olarak ayarlanır, böylece ölçü parametresi dışbükey sipariş etkilemez). Benzer şekilde , ve ve . $\mathcal{F}_Z$ $w_Z$ $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $w_Y$ $w_X$

İlk olarak, üç Weibull dağılımının daima [0] anlamında sipariş edilebileceğini unutmayın.

Sonra, şunu unutmayın:

F_{X} = F_{- X} ⟹ w_{X} = 3.602349.

$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$

Şimdi, Weibull için:

F_{Y} (y) = 1 - \exp ((- y)^{w_{Y}}), F_{Y}^{- 1} (q) = (- \ln (1 - q))^{1 / w_{Y}},

$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$

Böylece

F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Y}^{2} / w_{X}}),

$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$

dan beri

F_{Z} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Z}}) .

$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$

Bu nedenle, talep her zaman . $w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

[0] van Zwet, WR (1979). Ortalama, ortanca, mod II (1979). Statistica Neerlandica. Cilt 33, Sayı 1, sayfa 1--5.
[1] Groeneveld, RA (1985). Weibull ailesi için çarpıklık. Statistica Neerlandica. Cilt 40, Sayı 3, sayfa 135–140.

— user603
kaynak

Bir keyfi ve simetrik dağılımın bileşimi açısından her zaman doğru eğimli bir dağılımı yeniden yazabilir miyiz?

Düzenle:

Düzenle: