GLM'de kanonik bağlantı fonksiyonunun hesaplanması

Kanonik bağ fonksiyonunun $g(\cdot)$ üstel ailenin doğal parametresinden geldiğini düşündüm . Diyelim ki f ( y , θ , ψ ) = exp { y θ - b ( θ ) ailesini düşünün

$$f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\psi)}-c(y,\psi)\right\}$$ sonra$\theta=\theta(\mu)$standart bağlantı işlevidir. Örnek olarakBernoulli dağılımınıelealalım, $$P(Y=y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\}$$ Yani, kanonik bağlantı fonksiyonu $$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$$

Ama bu slaydı gördüğümde , g ′ ( μ ) = 1 olduğunu iddia ediyor

$$g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)}$$ Bu özel dağılım (ve Poisson dağılımı gibi diğer bazı dağılımlar) için kolayca doğrulanabilse de, genel durumun denkliğini göremiyorum. Herkes ipucu verebilir mi? Teşekkür ederim ~

$V(\mu) = \mu(1-\mu)$$g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$

$$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$$

Genel durum için tanımından türetilir.

$$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$$ $g$$\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$$b''(\theta)$$\mu$ $$V(\mu) = b''(g(\mu)).$$ $\theta = g(b'(\theta))$ $$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$$

Yarı olabilirlik fonksiyonlarının yapımında , varyans fonksiyonu cinsinden verilen ortalama ve varyans arasındaki ilişki ile başlamak doğaldır . Bu bağlamda, in anti-türevi , link fonksiyonunun bir genellemesi olarak yorumlanabilir, örneğin, bkz. (Log) yarı olabilirlik tanımı, sayfa 325 (formül 9.3) ) McCullagh ve Nelder . $V$$V(\mu)^{-1}$