GLM'de kanonik bağlantı fonksiyonunun hesaplanması


12

Kanonik bağ fonksiyonunun g() üstel ailenin doğal parametresinden geldiğini düşündüm . Diyelim ki f ( y , θ , ψ ) = exp { y θ - b ( θ ) ailesini düşünün

f(y,θ,ψ)=exp{yθb(θ)a(ψ)c(y,ψ)}
sonraθ=θ(μ)standart bağlantı işlevidir. Örnek olarakBernoulli dağılımınıelealalım,
P(Y=y)=μy(1μ)1y=exp{ylogμ1μ+log(1μ)}
Yani, kanonik bağlantı fonksiyonu
g(μ)=logμ1μ

Ama bu slaydı gördüğümde , g ( μ ) = 1 olduğunu iddia ediyor

g(μ)=1V(μ)
Bu özel dağılım (ve Poisson dağılımı gibi diğer bazı dağılımlar) için kolayca doğrulanabilse de, genel durumun denkliğini göremiyorum. Herkes ipucu verebilir mi? Teşekkür ederim ~

Yanıtlar:


14

V(μ)=μ(1μ)g(μ)=logμ1μ=logμlog(1μ)

g(μ)=1μ+11μ=1μ+μμ(1μ)=1μ(1μ)=1V(μ).

Genel durum için tanımından türetilir.

E(Y)=μ=b(θ) and Var(Y)=b(θ)a(ψ),
gθ=g(μ)=g(b(θ))b(θ)μ
V(μ)=b(g(μ)).
θ=g(b(θ))
1=g(b(θ))b(θ)=g(μ)V(μ),

Yarı olabilirlik fonksiyonlarının yapımında , varyans fonksiyonu cinsinden verilen ortalama ve varyans arasındaki ilişki ile başlamak doğaldır . Bu bağlamda, in anti-türevi , link fonksiyonunun bir genellemesi olarak yorumlanabilir, örneğin, bkz. (Log) yarı olabilirlik tanımı, sayfa 325 (formül 9.3) ) McCullagh ve Nelder . VV(μ)1


Teşekkürler @NRH. Aslında Bernoulli dağılımının denkliğini biliyorum. Genel davayı merak ediyorum. Ve referans için teşekkürler, ben kontrol edeceğim :)
ziyuang 20:11

@ ziyuang, genel dava şimdi dahil edilmiştir.
NRH

1
@NRH - sadece bu yanıt eklemek, ortalama ve varyans formülleri denklemi farklılaştırarak elde edilebilir ile ilgili olarak her iki tarafta (ya da eşit şekilde ). İlk türev size ortalamayı, ikincisi ise varyansı verir. f(y,θ,ψ)dy=1θμ
olasılık

Teşekkür ederim. Ve başka bir referans bağlantısı buldum: fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/ebooks/html/spm/…
ziyuang
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.