Prestij Büyücü Paradoksu

Prestij filmindeki hileyi muhtemelen biliyorsunuz :

[MOVIE SPOILER] Bir sihirbaz etkileyici bir sihir numarası buldu: bir makineye giriyor, kapıyı kapatıyor ve sonra odanın diğer tarafında kayboluyor ve yeniden ortaya çıkıyor. Ancak makine mükemmel değil: onu ışınlamak yerine onu çoğaltır. Sihirbaz olduğu yerde kalır ve odanın diğer tarafında bir kopya oluşturulur. Ardından, makinedeki sihirbaz zeminin altındaki bir su tankına gizlice düşer ve boğulur. Düzenleme: Sihirbazın yeni kopyasının boğulma olasılığı 1/2'dir (başka bir deyişle, yeni kopyanın boğulma ihtimalinin 1/2 olması ve odaya çıkmanın 1/2 şansı vardır). Ayrıca, su deposu asla başarısız olmaz ve tankta düşen büyücünün ölme şansı 1'dir.

Yani sihirbaz bu hile yapmaktan gerçekten hoşlanmıyor, çünkü "nerede olacağını asla bilemezsin, odanın diğer tarafında ya da boğulur".

Şimdi, paradoks şudur: Sihirbazın 100 kez hile yaptığını düşünün. Hayatta kalma şansı nedir?

Düzenleme, ek soru: Sihirbazın fiziksel beynini tutma ve yeni bir beyin sahibi olma şansı nedir?

Hızlı analiz: Bir yandan, canlı bir sihirbaz ve 100 boğulan büyücü var, bu yüzden şansı 100 üzerinden 1.

Öte yandan, her seferinde hayatta kalma şansı , bu yüzden şansı hayatta kalma şansıdır.$(1/2)^{100}=1/(2^{100})$

Doğru yanıt nedir ve neden?

Bu hata, 1654'te Fermat, Pascal ve seçkin Fransız matematikçiler arasında, önceki ikisinin "puan sorunu" nu düşündüğü yazılı konuşmalarda kanıtlandı . Basit bir örnek şudur:

İki kişi adil bir madalyonun iki turunun sonucuna kumar oynar. Her iki vuruşta kafa A ise kazanır; aksi takdirde Oyuncu B kazanır. Oyuncu B'nin kazanma şansı nedir?

Yanlış argüman, numaralandırabileceğimiz olası sonuçlar dizisini inceleyerek başlar:

1. H : İlk kapak kafalar. Oyuncu A kazanır.
2. TH : Sadece ikinci kapak kafa. Oyuncu A kazanır.
3. TT : Kapak yok. Oyuncu B kazanır.

Oyuncu A'nın iki kazanma şansı ve B'nin sadece bir şansı olduğundan, B lehine bahis oranları (bu argümana göre) 1: 2'dir; yani B'nin şansı 1/3. Bu iddiayı savunanların arasında Fransız Bilimler Akademisi'nin kurucu üyesi Gilles Personne de Roberval da vardı .

Hata bugün bizim için açıktır, çünkü bu tartışmadan öğrenenler tarafından eğitildik. Fermat, (doğru), ancak ikna edici olmayan bir şekilde) bu durumun (1) , oyun ne olursa olsun, her iki döndürme yoluyla oynanmış gibi , iki dava olarak düşünülmesi gerektiğini savundu . Gerçekte oynanmayan varsayımsal bir döndürme dizisini çağırmak birçok insanı rahatsız ediyor. Günümüzde, sadece bireysel vakaların olasılıklarını çözmeyi daha ikna edici bulabiliriz: (1) şansı 1/2 ve (2) ve (3) şanslarının her biri 1/4, bu nedenle A kazançlar 1/2 + 1/4 = 3/4'e eşittir ve B'nin kazanma şansı 1/4'tür. Bu hesaplamalar, nihayetinde 20. yüzyılın başlarında yerleşmiş olan olasılık aksiyomlarına dayanıyor, ancak esasen 1654 sonbaharında Pascal ve Fermat tarafından kuruldu ve üç yıl sonra Hıristiyan Huyghens tarafından olasılıkla ilgili kısa incelemesinde Avrupa çapında popüler hale getirildi. şimdiye kadar yayınlanmış), ludo aleae'de De Ratiociniis (şans oyunlarında hesaplama)

Bu soru kafaları ölümü ve kuyrukları hayatta kalmayı temsil eden 100 jeton ters çevrilebilir. "Bu arada 100'de 1" argümanı (bu arada gerçekten 1/101 olması gerekir) tam olarak aynı kusura sahiptir.

Bir yandan, hayatta bir sihirbaz ve 100 boğulan büyücü var, bu yüzden şansı 100 üzerinden 1.

Bu akıl yürütme, her sihirbazın sürecin sonunda hayatta kalanla aynı derecede olası olduğunu varsayar. Bununla birlikte, sadece orijinal 100 denemenin hepsine katlanmak zorunda kalacak ve en kötü olasılıklara sahip olacaktı. Orijinali, oluşturulan son klonla karşılaştırın; sadece bir kez hayatta kalması gerekiyor ve yalnız hayatta kalan kişi olma şansı 1'de 2.

Klonlar yerine tek eleme turnuvası ile uğraştığımızı varsayalım (her Mart ayında ünlü NCAA basketbol turnuvası gibi). Orijinalin 100 tur sürmesi gerekirken, son klon sadece turnuva finallerinde oynamak zorundadır. Tüm klonların sonuna kadar aynı derecede sürmesi olası değildir ve orijinalin en kötü şansı .$\frac{1}{2^{100}}$

Hayatta kalma olasılığı her denemede 1, her denemede ölme olasılığı 1'dir (su deposu arızasına rağmen). Çoğaltıldıktan sonra artık "kendisi" yoktur; "O" vardır.