İtalyan oğlumun bir ilkokula gideceği gerçeği, kendi sınıfında bulunması beklenen İtalyan çocuk sayısını değiştirecek mi?

37

Bu, cevabı konusunda gerçekten şaşkın olduğum gerçek hayattan kaynaklanan bir sorudur.

Oğlumun Londra'da ilk okula başlaması gerekiyor. Biz İtalyan olduğumuz için okula kaç İtalyan çocuğun katıldığını merak ediyordum. Bunu başvuru sırasında Kabul Görevlisine sordum ve bana sınıf başına ortalama 2 İtalyan çocuğu olduğunu söyledi (30 yaşında).

Şimdi çocuğumun kabul edildiğini bildiğim zamanlardayım, ancak diğer çocuklar hakkında başka bir bilgim yok. Kabul kriterleri mesafeye dayanmaktadır, ancak bu sorunun amacı için, çok sayıda başvuru sahibinin rastgele dağıtımına dayandığını varsayabileceğimize inanıyorum.

Oğlumun sınıfında kaç İtalyan çocuğun olması bekleniyor? 2 ya da 3'e daha yakın mı olacak?

probability self-study average

— user90213
kaynak

39

Bu bana eski şakayı hatırlatıyor: "Seyahat ederken her zaman bir bomba taşıyorum, çünkü iki insanın aynı uçakta bomba geçirme ihtimali nedir?"

— Kertenkele Bill

2

Kabul Görevlisinin, ortalama olarak sınıf başına ortalama 2 İtalyan çocuğu olduğunu söylemesi, bu verileri benim için 'şüpheli' kılıyor. Gerçek bir hesaplamadan kaynaklanırsa, yuvarlak olmayan bir sayı beklersiniz. Yani gerçek değer 1,51 veya 2,49 olabilir. Ayrıca, Kabul Görevlisinin cevabını 'lütfen' lütfen 'denemek için daha muhtemel olması nedeniyle, aşağıdan ziyade yuvarlanmış olabilirler (çocuğunuzu diğer İtalyanlar arasında bulundurmaktan memnuniyet duyacağınızı düşünürlerse) 2'ye yakın değerlere göre dağılım simetrik olmaz. Aşağıdaki cevaplar uyarlanabilir.

— PatrickT

4

@PatrickT "Mode" geçerli bir ortalama türüdür.

— Ian Ringrose 24:15

1

Yanıt verdiğiniz için teşekkürler. Şimdi de benzer bir soru yayınladım, ancak bazı girdi / cevaplarınız tarafından tetiklenen farklı bir çerçeveyle ( stats.stackexchange.com/questions/173969/… ).

— user90213 24:15

1

@PatrickT Sanırım 1.5 ile karıştıracak daha zayıf eğitimli insanlar var (“Nasıl yarı çocuğunuz var?”), Aşırı yuvarlama konusunda endişelenen ineklerin benim için daha muhtemel göründüğünden. (Daha kesin bir sayının zaten 1.9 veya 2.1 olmadığını farz

— ediyorum

27

Her zaman olduğu gibi, okulun çocukları sınıflara nasıl dağıttığını açıklayan olasılıklı bir model düşünmeniz gerekir. olasılıklar:

Okul, tüm sınıfların aynı sayıda yabancı uyruklu olmasına özen gösterir.
Okul bile her milletin kabaca her sınıfta aynı şekilde temsil edildiğinden emin olmaya çalışır.
Okul vatandaşlığı hiç dikkate almaz ve sadece rastgele veya diğer kriterlere göre dağıtır.

Bunların hepsi makul. Verilen strateji 2 ise sorunuzun cevabı hayır. 3. stratejiyi kullandıklarında, beklenti 3'e yakın olacak, ancak biraz daha küçük olacaktır. Çünkü oğlunuz bir “slot” alıyor ve rastgele bir İtalyan için daha az şansınız var.

Okul strateji 1'i kullandığında beklenti de artar; sınıf başına düşen yabancı uyrukluların sayısına ne kadar bağlı olduğu.

Okulunuzu tanımadan bunu daha iyi cevaplamanın yolu yoktur. Yılda sadece bir sınıfınız varsa ve kabul kriterleri tanımlandığı şekilde ise, cevap yukarıdaki 3 ile aynı olacaktır.

3 için ayrıntılı hesaplama:

E (X) = 1 + E (B (29, 2 / 30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.

$E(X) = 1 + E(B(29, 2/30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.$

X, sınıftaki İtalyan çocuklarının sayısıdır. 1 bilinen çocuktan gelir, 29 sınıfın geri kalanıdır ve 2/30 okulun söylediklerini göz önüne alındığında İtalyan olma bilinmeyen bir çocuğun olma olasılığıdır. B, binom dağılımıdır.

$E(X|X\geq1)$

— Erik
kaynak

2

n = 30

$n=30$

E (X \sim B (30, 2 / 30) | X \geq 1)

$E(X\sim B(30,2/30)|X\ge1)$

E (B (29, 2 / 30))

$E(B(29,2/30))$

E (X | X \geq 1)

$E(X|X\ge1)$

2

E (X | X > 1)

$E(X|X>1)$

Bu doğru, teşekkürler Erik. Önceki yorumda kastettiğim, e-posta örneğinize benzer bir şey. Sınıftaki tüm İtalyan ebeveynlerin buraya bir soru göndereceğini varsayarsam, bu soruyu görmek en yaşlı İtalyan çocukla temasa geçmek gibidir. Genelde anlaşmaya vardığımız anlaşılıyor, +1. Wiki bağlantısı gerçekten ilginç.

— amip diyor Reinstate Monica

(+1) Ama neden "Senede sadece bir sınıfın varsa [...]" dediğine şaşırdın.

— Scortchi

@Scortchi Okul yılda sadece bir sınıfa sahipse, bu yıl okulda kabul edilen her çocuk aynı sınıfa girdiği için, 1 ve 2 olarak belirtilen iki stratejiyi kullanabilir.

— Erik,

13

$2/30$ $1/15$

30 kişiden birinin İtalyan olduğunu bildiğimize göre, sadece kalan çocuklar için olasılığı hesaplamamız gerekiyor:

29 \cdot 1 / 15 = 29 / 15 = 1.933 \dots

$29 \cdot 1/15 = 29/15 = 1.933\ldots$

Bu nedenle, çocuğunuzun İtalyanca olduğunu bilmek, sınıfta beklenen İtalyan çocuk sayısını yaklaşık 2.933'e değiştirir ki bu da 2'ye 3'e daha yakındır.

— Thomas Cleberg
kaynak

5

İşte buna nasıl yaklaşılacağı konusundaki düşüncelerim:

$S_n$ $n$ $X$ $X$ $n+1$ $\mathbb E(S_n + X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb E(X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb P(X = 1)$ $X$ $X = 1$

— JLD
kaynak

1

n + 1

$n+1$

Evet. Bununla ilgili kaçırdığım bir şey var mı?

— jld

1

Soruyu nasıl okuduğunuza bağlı. Diyelim ki sınıflar tam olarak 30 çocuklu.

— Scortchi - Monica'yı yeniden kurun

1

Belki de soruyu yanlış anladım. Bilinen bir İtalyan çocuğun eklenmesinin beklentiyi nasıl değiştirdiğini sorduğunu sanıyordum.

— jld

1

Bu, sınıfların büyük olasılıkla kapatıldığı konusunda çok iyi bir nokta

— jld

1

$\mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $\mathbb{E}(X|X\geq1)$ $X\sim \mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $2.28$

E [X | X \geq 1] = \sum_{i = 0}^{30} i P (X = i | X \geq 1) = \sum_{0}^{30} i \cdot \frac{P (X = i, X \geq 1)}{P (X \geq 1)} = \sum_{1}^{30} i \cdot \frac{P (i)}{1 - P (0)}

$E[X|X\geq1]=\sum_{i=0}^{30}iP(X=i|X\geq1)=\sum_0^{30}i\cdot \frac{P(X=i, X\geq1)}{P(X\geq1)}=\sum_1^{30}i\cdot \frac{P(i)}{1-P(0)}$

(son adımda toplama alt sınırındaki değişime dikkat edin)

— jf328
kaynak

1

Koşullu beklenti hakkında ayrıntılı bilgi verebilir misiniz?

— Antoni Parellada

3

Cevabınız yanlış. Bunu hesaplamanın doğru yolu, 2.9333 olarak ortaya çıkan 1 (bilinen çocuk) + E (B (29, 2/30)) olacaktır. Ve binom dağılımının varsayımı sorgulanabilir.

— Erik,

İşaret etmek istediğim bir şey daha: a) Koşullu beklenti hesaplamanız yanlış. Ancak b) daha önemlisi, koşullu beklentinizle başlamak yanlıştır. Belirli bir çocuğun İtalyan olduğunu bilmek, binormal dağılımın üstlendiği değişebilirliği bozuyor. Erkek çocuğun paradoksuna ( en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox ) çok benzer, burada büyük çocuğun bir kız olduğunu veya iki çocuktan birinin kız olduğunu bilmeniz fark yaratır.

— Erik,

Çizik yorum a) yukarıdan. Ama b) yine de daha ciddi;)

— Erik

Katılıyorum. OP için, dağıtım artık binom değil (30, 2/30), ama aslında 1 + binom (29,

— 2/30

-3

Hayır. Yaklaşan olaylarla ilgili bilginiz, okulun tipik deneyimiyle ilgili hiçbir şeyi değiştirmez.

— çarşı
kaynak

2

-1. Buradaki diğer cevaplarda ve yorumlarda ayrıntılı olarak açıklandığı gibi bu yanlıştır.

— amip diyor Reinstate Monica

gelişmiş matematik benim eksikliği affet, ama ne DEĞİL 'tipik 2' çocuklardan biri olmak için bu Gent'ın çocuğu yapar .. Böyle biz 3 yakın sona mı?

— Mart

Bkz stats.stackexchange.com/questions/173844/#comment328621_173844

— amip eski haline Monica diyor

Mart: On kez bir bozuk para attığımı ve kafaları saydığımı hayal edin; madeni para ya da atma şeklim hakkında garip bir şey yok. Bu deneyi birçok kez tekrarlıyorum ve ortalama olarak on fırlatmada neredeyse tam olarak 5 kafa görüyorum; hangi sonuçları görüyorsunuz (toplamda% 100 oy atıyor, bunların% 50,3'ü iyi bir maddi para kazanma prosedürü için beklenen değişiklik dahilinde; sürecin en azından pratik olarak adil göründüğüne karar veriyoruz). Şimdi deneyi seninle bir kez daha yapıyorum ve ilk 4 fırlamanın hepsinin kafa olduğunu görüyorsun. Komple on atış setindeki beklenen kafa sayısı nedir? 5? Daha?

— Glen_b

Önceki argümanınıza göre, ilk dördünün "beklenen beşte dördü" olabileceğini unutmayın. Ancak, sonraki altı fırında% 50'den az şans olduğunu söylersiniz (aslında ortalama olarak sadece 1/6 şans olduğunu söylüyorsunuz). Bozuk para kafaları daha az sıklıkta nasıl bilebilir?

— Glen_b