1300 yılında doğmuş belirli bir kişiden gelme ihtimalim ne kadar?

26

Başka bir deyişle, aşağıdakilere dayanarak, p nedir?

Bunu, antropoloji veya sosyal bilimler yerine bir matematik problemi yapmak ve problemi basitleştirmek için, eşlerin asla eşler arasında eşleşme olasılığı olmadığını, kardeşlerin ve ilk kuzenlerin asla eşleşmediğini ve eşlerin daima aynı şeyden seçildiğini varsayalım. nesil.

$n_1$ - ilk nüfus
$g$ - sayı nesiller.
$c$ - çift başına ortalama çocuk sayısı. (Cevap için gerekirse, her çiftin aynı sayıda çocuğa sahip olduğunu varsayalım.)
$z$ - Çocuğu olmayan ve bir çiftin parçası sayılmayan kişilerin yüzdesi.
$n_2$ - son nesildeki nüfus. ( veya verilmelidir ve (bence) diğeri hesaplanabilir.) $n_2$ $z$
$p$ - son nesildeki birinin ilk nesildeki belirli bir kişinin soyundan gelme olasılığı.

Bu değişkenler elbette değiştirilebilir, atlanabilir veya eklenebilir. Basitlik için ve zamanla değişmediğini farz ediyorum . Bunun çok zor bir tahminde bulunacağının farkındayım , ama bu bir başlangıç noktası. $c$ $z$

2. Bölüm (daha fazla araştırma önerisi):

Eşlerin küresel olarak eşit olasılıkla seçilmediğini nasıl düşünebilirsiniz? Gerçekte, eşlerin aynı coğrafi alana, sosyo-ekonomik geçmişe, ırka ve dini geçmişe sahip olma olasılığı daha yüksektir. Bunun için gerçek olasılıkları araştırmadan, bu faktörlerin değişkenleri nasıl ortaya çıkacak? Bu ne kadar önemli olurdu?

probability stochastic-processes genetics

— xpda
kaynak

2

bu bir ev ödevi sorusu mu? Aksi takdirde, bağlam nedir?

— David LeBauer

1

@John: Düzenlemeniz için teşekkürler. Bence bu fikir birliği (bu sitede ve diğerleri) sadece homeworketiketi eklemek için soruları düzenlemediğimizdir . OP'nin bunu yapmasına izin vermek herkes için daha iyidir. Daha önce görmediyseniz bu meta iplikle ilgilenebilirsiniz .

— kardinal

Sadece merak ediyorum. Ben öğrenci değilim ve bu kimsenin ödevi değil. Sadece ekstra kredi için şaka yapıyordum, ancak bunun nasıl bir ev ödevi olacağını görebiliyorum.

— xpda

3

Cevapları ilk olarak anlamak için, belirli bir ata ile ilgili olmayan popülasyonun oranını iniş olarak düşünün . İlk olarak, için bir popülasyon için . Rastgele karıştırma ile, edilir karesi her nesilde sonra. Bir başlangıç popülasyonda , diyelim ki, bu ima neredeyse emin adımlarla sonra (yaklaşık nesillerin - yıl).

f

$f$

f = (n - 1) / n

$f = (n-1)/n$

n

$n$

f

$f$

n = 10^{8}

$n=10^8$

f

$f$

0

$0$

32

$32$

600

$600$

800

$800$

— whuber

1

Eşsiz bir soyadının neslinin tükenme olasılığı üzerine bazı akademik araştırmalar olduğuna inanıyorum. Ortaya çıkan sorunla aynı olmasa da, bazı ilginç bilgiler sağlayabilir (ancak ne yazık ki nereden geldiğini hatırlayamıyorum). İşin tuhafı, bu çalışmaların bulaşıcı hastalığın yayılmasının ardındaki matematiksel bir kavrayışa neden olduğuna inanıyorum ...

— Michael McGowan

13

Bu soru, astronomik olarak küçükten neredeyse% 100'e kadar değişen cevaplar aldığından, gelişmiş çözümler için referans ve ilham kaynağı olarak bir simülasyon sunmak istiyorum.

Ben buna "alev arsaları" diyorum. Her biri, farklı nesiller içerisinde çoğaldığı için genetik materyalin bir popülasyon içindeki dağılımını belgelemektedir. Grafikler insanları betimleyen ince dikey bölümler dizisidir. Her satır bir nesli temsil eder, başında bir tanesi üsttedir. Her neslin soyundan gelenler hemen altında duruyor.

Başlangıçta, büyüklüğündeki bir kişi yalnızca bir kişi olarak işaretlenir ve kırmızı olarak işaretlenir. (Görmesi zor, ama her zaman üst sıranın sağ tarafında çizilirler.) Doğrudan onların torunları da aynı şekilde kırmızı renkte çizilir; tamamen rastgele pozisyonlarda ortaya çıkacaklar. Diğer torunları beyaz olarak çizilir. Popülasyon boyutları bir nesilden diğerine değişebildiğinden, boş alanı doldurmak için sağdaki gri renkli bir sınır kullanılır. $n$

İşte 20 bağımsız simülasyon sonucu dizisi.

Alev arazileri

Kırmızı genetik materyal sonunda bu simülasyonların dokuzunda öldü ve kalan 11'de (% 55) hayatta kalanlar kaldı. (Bir senaryoda, sol altta, tüm popülasyon sonunda ölmüşe benziyor.) Kurtulanların olduğu her yerde, hemen hemen tüm popülasyon kırmızı genetik materyali içeriyordu. Bu, kırmızı geni içeren son nesilden rastgele seçilen bir bireyin şansının yaklaşık% 50 olduğuna dair kanıt sağlar.

Simülasyon, hayatta kalmayı ve her neslin başında ortalama doğum oranını rastgele belirleyerek çalışır. Hayatta kalma, bir Beta (6,2) dağılımından elde edilir: ortalama olarak% 75'tir. Bu sayı hem yetişkinlikten önce ölüm oranını hem de çocuk sahibi olmayan insanları yansıtıyor. Doğum oranı bir Gamma (2.8, 1) dağılımından alınmıştır, bu yüzden ortalamaları 2.8'dir. Sonuç, genellikle yüksek ölüm oranlarını telafi etmek için yetersiz üreme kapasitesinin acımasız bir hikayesidir. Son derece karamsar, en kötü durum modelini temsil ediyor - ama (yorumlarda da önerdiğim gibi) nüfusun büyümesi için gerekli değil. Her nesilde önemli olan, nüfus içindeki kırmızının oranıdır .

Çoğaltmayı modellemek için, mevcut popülasyon, istenen boyutta basit bir rastgele numune alınarak sağ kalanlara inceltilir. Bu kurtulanlar rastgele eşleştirilir (eşleştirmeden sonra kalan herhangi bir garip kurtulan kişi çoğalmaz). Her çift, bir kuşak doğum oranının ortalaması olan bir Poisson dağılımından çekilen bir dizi çocuk üretir. Eğer her iki ebeveyn kırmızı işaret içeren, bütün çocuklar bunu miras: Doğrudan Bu iniş modeller fikri ya ebeveyn yoluyla.

Bu örnek 512'lik bir popülasyonla başlar ve 11 kuşak için simülasyonu çalıştırır (başlangıç dahil 12 satır). Olduğunca az olarak başlayan bu simülasyonun Varyasyonları , istedikleri kadar da hayatta kalma ve doğum oranları, bütün sergi benzer özelliklere farklı miktarlarda kullanılarak, insanların: sonuna kadar kuşaklar ( bu durumda dokuzu), tüm kırmızıların ölmüş olma ihtimalinin yaklaşık 1 / 3'ü vardır, ancak eğer olmadıysa, o zaman nüfusun çoğunluğu kırmızıdır. İki ya da üç kuşak içinde, nüfusun neredeyse tamamı kırmızıdır ve kırmızı kalacaktır (ya da nüfus tamamen birlikte ölecektir). $n=8$ $2^{14} = 16,384$ $\log_2(n)$

Bir kuşakta% 75 veya daha az hayatta kalmak, bu arada hayal bile etmez. 1347’nin sonlarında, hıyarcıklı veba salgılı sıçanlar ilk olarak Asya’dan Avrupa’ya geçtiler; Önümüzdeki üç yıl boyunca, sonuç olarak Avrupa nüfusunun% 10 ila% 50'si arasında bir yerde hayatını kaybetti. Veba, neredeyse bir kuşaktan sonra yüzlerce yıl boyunca bir nesneyi tekrarladı (ancak aynı aşırı ölüm oranlarıyla değil).

kod

Simülasyon Mathematica 8 ile oluşturuldu :

randomPairs[s_List] := Partition[s[[Ordering[RandomReal[{0, 1}, Length[s]]]]], 2];

next[s_List, survive_, nKids_] := Flatten[ConstantArray[Max[#], 
   RandomVariate[PoissonDistribution[nKids]]] & /@ 
   randomPairs[RandomSample[s, Ceiling[survive Length[s]]]]] 

Partition[Table[
   With[{n = 6}, ArrayPlot[NestList[next[#, RandomVariate[BetaDistribution[6, 2]], 
        RandomVariate[GammaDistribution[3.2, 1]]] &, 
        Join[ConstantArray[0, 2^n - 1], ConstantArray[1, 1]], n + 2], 
     AspectRatio -> 2^(n/3)/(2 n), 
     ColorRules -> {1 -> RGBColor[.6, .1, .1]},  
     Background -> RGBColor[.9, .9, .9]]
    ], {i, 1, 20}
   ], 4] // TableForm

— whuber
kaynak

1

Bunun gibi modellemenin en iyi yaklaşım olabileceğini düşünüyorum. Matematiğe göre çok daha basit ve daha eğlenceli (benim için) ve eş seçimini kısıtlayan faktörleri ortaya koymak çok daha kolay olmalı. Buna dalmadan önce herhangi bir önerin, ihtar veya başka bir önerin var mı?

— xpda

3

@xpda Matematiksel çözümler, neyin önemli olup neyin olmadığı konusunda fikir verecektir. Örneğin, büyük popülasyonları modellemeniz gerekmediğini göstereceklerdir. Ayrıca analitik olarak ele almak daha zor olan ve bir simülasyonda öne çıkan değişkenlik rolünü de göstereceklerdir.

— whuber

1

@whuber Simülasyonu Mathematica'da mı yaptınız? Kod gönderme sakıncası var mı?

— normal

1

@Max Kod şimdi açık. Yorumların yetersizliği için özür dilerim. Her birini randomPairsve nexttest verilerini çalıştırıyorsanız , işlevleri belirgin hale gelmelidir. Çoklu nesiller üretmek NestListiçin yinelemenin kullanıldığına dikkat edin next.

— whuber

3

Ataları saymayı denediğinde ne olacak?

2 ebeveyniniz, 4 büyük ebeveyniniz, 8 büyük büyükbabanız var ... Eğer kuşaklara geri , atalarınız olur. yıllık bir ortalama üretim uzunluğunu varsayalım . O zaman 1300'den bu yana nesil var ve o zaman bize 268 milyon ata veriyor. $n$ $2^n$ $25$ $28$

Bu doğru basketbol sahası, ancak bu hesaplamada yanlış bir şey var, çünkü 1300'deki Dünya nüfusu eşit şekilde karışmıyordu ve atalarınızın "ağacının" içindeki içselliği görmezden geliyoruz, yani bazı ataları çift sayıyoruz.

Yine de bence bu 1300'de rastgele seçilen kişinin 1300'de oranını nüfusa alarak ataya girme ihtimaline doğru bir üst sınır getirebileceğini düşünüyorum. $2^{28}$

— vqv
kaynak

2

O zamanlar nüfusun büyük bir kısmı göz önüne alındığında çok önemliydi, birbirlerinden oldukça izole edildiler, bu nedenle evlilikleri önlemek için çok daha az fırsat vardı.

— dcl

2

Öyleyse, OP’nin İngiliz asıllı ve 1300’lerin civarında olduğunu, İngiltere’nin nüfusunun bir milyonun üzerinde olduğunu varsayalım. (Büyük kıtlıktan önce diyelim). Bu analizinizi nasıl değiştirir?

— dassouki

2^{28} \approx 268

$2^{28}\approx 268$

2^{28} / 3

$2^{28} / 3$

4

$4$

2

Geriye doğru ne kadar ileri giderseniz, o dönemde yaşayan genlerini başarıyla geçen bir kişiyle daha fazla ilişki kurarsınız. 1300’de yaşamış olduğunuz 1/4 milyar atadan birçoğu soy ağacınızda yüzlerce (binlerce, olmasa bile) kez görülecektir. Genetik sapma ve birisiyle doğrudan ilişkide olduğumuz sayı, genetik kodumuzdaki atalarımızın kim olduğundan daha büyük farklılıklar gösteriyor.

— Tim
kaynak

0

Olasılık = 1-z'dir, bu problemdeki her soydan yukarıdaki atalarla ilgilidir. İlk üreme hızı (1-z) her ne ise, ilk popülasyondaki birinden soyundan gelme ihtimalinizdir. Sadece kesin olmayan olasılık, nihai popülasyonda hayatta kalma şansıdır.

Erad'ın cevabına katılıyorum, ancak şimdi sorulmamış bir soruya cevap verdiğini düşünüyorum - yani, hamilelerinizin bilinen bazı üreme ve nüfus kısıtlamaları nedeniyle yaşama olasılığınız nedir?

— Biz sol kadar andan
kaynak

Soru, son nesildeki birinin ilk nesildeki belirli bir kişiden gelme ihtimalini bulmaktır . Eğer = 360 milyon ve = .2 ise, olasılık , örneğin, = 1'de 1 - olmazdı .

n_{1}

$n_1$

z

$z$

z

$z$

g

$g$

— xpda

Ayrıca, açıklığa kavuşturmak için, soru, son nesilde belirli bir kişinin ilk nesilde belirli bir kişiden gelme ihtimalini bulmaktır .

— xpda

1

@xpda Bu garip bir yorumlama, çünkü herkes DNA testi ile oluşturulabileceği gibi herhangi bir bireyden geliyor ya da gelmiyor. Sanırım birçok insanın sorunuzu anlıyor olmasının yolu , 1300 yılında rastgele bir " " kişisini seçersek ve bugün yaşayan rastgele bir kişiyi seçersek, gelme şansları nedir? Bu, gelen günümüz nüfusunun oranını tahmin ederek cevaplanır . rastgele seçilmek üzere alabiliriz .

A

$A$

A

$A$

A

$A$

A

$A$

— whuber

@Wipa Descartes'ın cogito, ergo sum kuvvetle verilen hayatta olduğum olasılığını da anlaşılacağı herhangi benim ataları üzerinde kısıtlamalar% 100 :-) olduğunu

— whuber

@whuber, haklısın. Aynı sorun hakkında konuştuğumuza inanıyorum. Açıklığa kavuşturmak istediğim şey, ilk nesildeki birinin soyunun son nesilde canlı bir soydan gelme olasılığını aramayacağım. Bu yüzden cevap için Wipa'nın (1-z) bulduğu yerdi.

— xpda

0

p > (1 - z) \times \frac{\frac{1}{n_{1} (1 - z)}}{2} = \frac{2}{n_{1}}

$p > {(1-z)} \times {{{1} \over {n_1(1-z)}} \over {2}} = {2 \over n_1}$

Açıklanan cevap:
Bugün belirli bir kişi göz önüne alındığında , 1300'de en az 2 kişinin soyundan geldiği kesindir .

1300'de belirli bir kişiyi seçerken, (1-z) hiç kimsenin çoğaltılma şansı yoktur ve diğer terim 'ebeveyn çiftlerin' sayısı ve kişinin bu çiftle ilgili olma olasılığı içindir (1 / çift sayısı).

(1-z) iptal eder ve bizi ile bırakır

p > \frac{2}{n_{1}}

$p > {2 \over n_1}$

n_{k + 1} = \frac{n_{k} (1 - z) \times c}{2} = \frac{n_{1} (1 - z)^{k} c^{k}}{2^{k}}

$n_{k+1} = {{n_k(1-z)\times c} \over 2} = {n_1(1-z)^kc^k \over 2^k}$

p > 2 / 360, 000, 000 = 5.56 \times 10^{- 9}

$p > 2 / 360,000,000 = 5.56 \times 10^{-9}$

Okuduğun için teşekkürler, Erad

— ERAD
kaynak

c

$c$

z

$z$

Yukarıdaki orijinal soruya göre: c = çift başına ortalama çocuk sayısı, ve z = çocuğu olmayan insanların yüzdesi

— Erad

2

1 / n

$1/n$

1 / 360 M \approx 10^{- 9}

$1/360M\approx 10^{-9}$

3

360, 000, 000 / (2.66 \times 10^{249}) ≪ 1

$360,000,000 / (2.66 \times 10^{249}) \ll 1$

1

10^{- 8}

$10^{-8}$

0

Bu çok ilginç bir sorudur çünkü bir fraktal matematiksel olarak çözmemizi istiyor. Hayatın ünlü oyunu gibi .

$p_1={2 \over n_1}$ $\lim_{k \to \infty } p_k = (1-z)$

$p_k$ $k$

p_{1} = \frac{2}{n_{1}}

$p_1 = {2 \over n_1}$

p_{2} = r e l a t i v e s \times \frac{2}{n_{2}} + n o n . r e l a t i v e s \times \frac{4}{n_{2}}

$p_2 = relatives \times {2 \over n_2} + non.relatives \times {4 \over n_2}$

r e l a t i v e s = \frac{(\binom{c}{2}) \times \frac{n}{c}}{(\binom{n}{2})} = \frac{c - 1}{n - 1}

$relatives = {\binom{c}{2} \times {n \over c} \over \binom{n}{2}} = {c-1 \over n-1}$

p_{3} = i m m e d i a t e . r e l a t i v e s \times \frac{4}{n_{3}} + c o u s i n s \times \frac{6}{n_{3}} + n o n . r e l a t i v e s \times \frac{8}{n_{3}}

$p_3 = immediate.relatives \times {4 \over n_3} + cousins \times {6 \over n_3} + non.relatives \times {8 \over n_3}$

Her nesilde, ilk popülasyondaki biriyle ilişki kurma olasılığı hiç kuşkusuz artacak, ancak azalan bir hızda olacaktır. Bunun nedeni, aynı veya benzer bir ağaçtan gelen "akrabaları" çekme olasılığının artacağıdır.

Örnek olarak etnik köken kullanalım. Diyelim ki birileri% 100 Kafkas. Kuşak 28'de, büyük olasılıkla, 1300'deki Kafkas popülasyonunun önemli bir kısmı ile ilgilidir (@whuber simülasyonunda gösterildiği gibi). Diyelim ki farklı bir etnisitenin% 100'ü olan biriyle evleniyor. Onların yavruları, 1300'den bağlandıkları kişi sayısının yaklaşık iki katı kadar olacak.

Bir başka ilginç düşünce, insan (homosapien) yarışının Afrika'daki ~ 600 kişiden başlaması durumunda, büyük olasılıkla başarılı bir şekilde çiftleşen hepsinin genetik bir permürasyonu olduğumuzdur.

— Erad
kaynak