Regresyon katsayıları için bu sapma sapması dengesi nedir ve nasıl türetilir?

9

Olarak , bu kağıt , ( Varyans Bileşenleri Bayes Çıkarım tezat teşkil hata sadece kullanarak , yazar istemlerde Harville, 1974) "iyi bilinen" ilişki ", doğrusal bir regresyon için burada

(y - X β)^{'} H^{- 1} (y - X β) = (y - X \hat{β})^{'} H^{- 1} (y - X \hat{β}) + (β - \hat{β})^{'} (X^{'} H^{- 1} X) (β - \hat{β})

$(y-X\beta)'H^{-1}(y-X\beta)=(y-X\hat\beta)'H^{-1}(y-X\hat\beta)+(\beta-\hat\beta)'(X'H^{-1}X)(\beta-\hat\beta)$

y = X β + ϵ,

$y=X\beta+\epsilon,$

ϵ \sim N (0, H) .

$\epsilon\sim\mathcal{N}(0, H).$

Bu nasıl biliniyor? Bunu kanıtlamanın en basit yolu nedir?

— Sibbs Kumar
kaynak

1

Bu açık wikipedia , orada 'türetilmesi' bkz.

— user603

@ user603 Bağlantıyı daha net hale getirebilir misiniz? Teşekkürler!

— Sibbs Kumar

@ user603 Maalesef bağlantının sorunu nasıl çözdüğünü gerçekten göremiyorum. Benim için, benim durumumda, denklem Var (y) = önyargı + ... Ayrıntılı olabilir misiniz?

— Sibbs Kumar

4

@SibbsGambling Denkleminizin bu ağırlıklı doğrusal regresyon formülasyonunda iki varyansla ilgili terime sahip olduğunu unutmayın . Soldaki terim, gerçek modelin etrafındaki varyansla ilgilidir ( hassas matrisiyle tartılır ). Sağdaki ilk terim, monte edilen modeller etrafındaki varyansla ilgilidir. Sağdaki ikinci terim ile ilgilidir meydanda önyargı. Bu varyans önyargısı dengesidir.

H^{- 1}

$H^{-1}$

— EdM

6

Denklemdeki son dönem şu şekilde yazılabilir:

(X β - X \hat{β})^{'} H^{- 1} (X β - X \hat{β}) .

$(X\beta - X\hat{\beta})'H^{-1}(X\beta - X\hat{\beta}).$

Bu formda denklem ilginç bir şey söylüyor. pozitif kesin ve simetrik olduğu varsayıldığında , tersi de geçerlidir. Bu nedenle, bize geometri veren bir iç ürün . O zaman yukarıdaki eşitlik esasen diyor $H$ $<x, y>_{H^{-1}} = x'H^{-1}y$

(X β - X \hat{β}) ⊥ (y - X \hat{β}) .

$(X\beta - X\hat{\beta}) \perp (y - X\hat{\beta}).$

Bir yorumcu türetmeye zaten bir bağlantı bıraktığından size bu sezgiyi vermek istedim.

Düzenle: Posterity için

LHS:

\begin{array}{rcl} (y - X β)^{'} H^{- 1} (y - X β) & = & y^{'} H^{- 1} y & - & 2 y^{'} H^{- 1} X β & + & β^{'} X^{'} H^{- 1} X β \\ = & (A) & - & (B) & + & (C) \end{array}

$\begin{eqnarray} (y-X \beta)'H^{-1}(y-X \beta) &=& y'H^{-1}y &-& 2y'H^{-1}X \beta &+& \beta'X'H^{-1}X\beta \\ &=& (A) &-& (B) &+& (C) \end{eqnarray}$

RHS:

(y - X \hat{β})^{'} H^{- 1} (y - X \hat{β}) + (β - \hat{β})^{'} (X^{'} H^{- 1} X) (β - \hat{β})

$(y-X\hat\beta)'H^{-1}(y-X\hat\beta)+(\beta-\hat\beta)'(X'H^{-1}X)(\beta-\hat\beta)$

\begin{array}{rcl} = & y^{'} H^{- 1} y & - 2 y^{'} H^{- 1} X \hat{β} & + {\hat{β}}^{'} X^{'} H^{- 1} X \hat{β} & + β X^{'} H^{- 1} X β & - 2 \hat{β} X^{'} H^{- 1} X β & + {\hat{β}}^{'} X^{'} H^{- 1} X \hat{β} \\ = & (A) & - (D) & + (E) & + (C) & - (F) & + (E) \end{array}

$\begin{eqnarray} &=& y'H^{-1}y &- 2y'H^{-1}X\hat{\beta} &+ \hat{\beta}'X'H^{-1}X\hat{\beta} &+ \beta X'H^{-1}X\beta &- 2\hat{\beta}X'H^{-1}X\beta &+ \hat{\beta}'X'H^{-1}X\hat{\beta} \\ &=& (A) &- (D) &+ (E) &+ (C) &- (F) &+ (E) \end{eqnarray}$

İlişkisi:

\hat{β} = (X^{'} H^{- 1} X)^{- 1} X^{'} H^{- 1} y

$\hat{\beta} = (X'H^{-1}X)^{-1}X'H^{-1}y$

İlişkiyi takarak (B) = (F) ve 2 (E) = (D) olduğunu gösterebilirsiniz. Hepsi tamam.

— jlimahaverford
kaynak

Maalesef bağlantının sorunu nasıl çözdüğünü gerçekten göremiyorum. Benim için, benim durumumda, denklem Var (y) = önyargı + ... Ayrıntılı olabilir misiniz?

— Sibbs Kumar

@SibbsGambling, türetme dahil cevabımı düzenledi.

— jlimahaverford

@jlimahaverford Eğer unutmak değildir formül sonunda ?

y

$y$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

— Gumeo

7

Bu kimliğe, kareyi tamamlama adı verilen bir teknikle ulaşıyorlar. Sol taraf ikinci dereceden bir formda, bu yüzden çarparak başlayın

(y - X β)^{'} H^{- 1} (y - X β) = y^{'} H^{- 1} y - 2 y^{'} H^{- 1} X β + β^{'} X^{'} H^{- 1} X β

$(y-X\beta)'H^{-1}(y-X\beta)= y'H^{-1}y - 2y'H^{-1}X\beta + \beta'X'H^{-1} X\beta$

devam edip . Cebir, Bayesian regresyonundaki meydanı tamamlayan bir tür uzun ama googling ve çok sayıda ipucu bulabilirsiniz. Örneğin, Bayesian doğrusal regresyon hakkındaki wikipedia'ya ve karenin tamamlanmasına ilişkin diğer CrossValided cevaplarına buradan bakın . $\hat{\beta} = (X'H^{-1}X)^{-1}X'H^{-1}y$

— bill_e
kaynak

2

Matris cebirinizi biliyorsanız, bu her şeyi çarparak ve gerçekten her iki tarafta da aynı olduğunu doğrulayarak yapılabilir. Jlimahaverford bunu gösterdi.

Bunu yapabilmek için tahmini formülüne ihtiyacınız var . İlişkisiz hata terimlerimiz olduğunda formülü doğrusal regresyona benzer şekilde türetebiliriz. İşin püf noktası standartlaştırmak. $\hat{\beta}$

İşte çok değişkenli normal dağılıma gelen bir RV standardize konusunda bazı bilgiler. Diyelim ki pozitif tanımlıdır, bu yüzden olarak çarpanlarına ayırabilirsiniz . Şimdi rastgele değişkeni dağılımından geliyor . Şimdi bu numarayı bulmak için sorunumuz için kullanabiliriz . çarpanlarına ayıralım . Biz Şimdi standartlaştırılmıştır, öyle ki

X \sim N (μ, Σ) .

$\mathbf{X}\sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma).$

Σ

$\Sigma$

Σ = P P^{T}

$\Sigma = PP^T$

Y = P^{- 1} (X - μ)

$\mathbf{Y}=P^{-1}(\mathbf{X}-\mu)$

N (0, I)

$\mathcal{N}(0,I)$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

H = P P^{T}

$H=PP^T$

\begin{aligned} y & = X β + ϵ \\ P^{- 1} y & = P^{- 1} X β + P^{- 1} ϵ \end{aligned}

$\begin{align} y&=X\beta+\epsilon\\ P^{-1}y &= P^{-1}X\beta + P^{-1}\epsilon \end{align}$

ϵ

$\epsilon$

cov (P^{- 1} ϵ) = I

$\text{cov}(P^{-1}\epsilon)=I$ , şimdi bunu basit bir çoklu doğrusal regresyon modeli olarak ele alabiliriz: Regresyon sorun Böylece: formülü olan Bu yapılacak anahtar bu, gerisi jlimahaverford tarafından çözelti içinde gösterilen cebirsel manipülasyon.

\tilde{X} = P^{- 1} X, \tilde{y} = P^{- 1} y and \tilde{ϵ} = P^{- 1} ϵ .

$\tilde{X}=P^{-1}X,\qquad \tilde{y}=P^{-1}y\quad\text{and}\quad \tilde{\epsilon}=P^{-1}\epsilon.$

\tilde{y} = \tilde{X} β + \tilde{ϵ}

$\tilde{y}=\tilde{X}\beta+\tilde{\epsilon}$

\hat{β}

$\hat{\beta}$

\begin{aligned} \hat{β} & = ({\tilde{X}}^{T} \tilde{X})^{- 1} {\tilde{X}}^{T} \tilde{y} \\ = ((P^{- 1} X)^{T} P^{- 1} X)^{- 1} (P^{- 1} X)^{T} P^{- 1} y \\ = (X^{T} (P P^{T})^{- 1} X)^{- 1} X (P P^{T})^{- 1} y \\ = (X^{T} H^{- 1} X)^{- 1} X H^{- 1} y \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\beta} &= (\tilde{X}^T\tilde{X})^{-1}\tilde{X}^T\tilde{y}\\ &=((P^{-1}X)^TP^{-1}X)^{-1}(P^{-1}X)^TP^{-1}y\\ &=(X^T(PP^T)^{-1}X)^{-1}X(PP^T)^{-1}y\\ &=(X^TH^{-1}X)^{-1}XH^{-1}y \end{align}$

— Gumeo
kaynak