İlişkisiz ancak doğrusal bağımlı değişkenler kümesi

9

İlişkisiz ancak doğrusal olarak bağımlı olan bir dizi değişkenine sahip olmak mümkün müdür ? $K$

yani ve $cor(x_i, x_j)=0$ $\sum_{i=1}^K a_ix_i=0$

Evet ise bir örnek yazabilir misiniz?

EDIT: Cevaplardan mümkün olmadığını takip ediyor.

O en azından mümkün olabilir mi nerede tahmini korelasyon katsayısı tahmin edilmektedir değişkenlerinin örnekleri ve , ile ilgisiz bir değişkendir . $\mathbb{P}(|\hat \rho_{x_i, x_j}-\hat \rho_{x_i, v}|<\epsilon)$ $\hat\rho$ $n$ $v$ $x_i$

Ben böyle bir şey düşünüyorum $x_K=\dfrac{1}{K} \sum_{i=1}^{K-1} x_i$ $K>>0$

correlation mathematical-statistics multicollinearity

— Donbeo
kaynak

11

@ RUser4512'nin cevabının gösterdiği gibi, ilişkisiz rasgele değişkenler doğrusal olarak bağımlı olamaz. Ancak, neredeyse ilişkisiz rastgele değişkenler doğrusal olarak bağımlı olabilir ve bunların bir örneği istatistikçinin kalbi için değerli bir şeydir.

Diyelim ki , ortak ortalamaya sahip ilişkisiz birim-varyans rasgele değişkenler kümesidir . tanımlayın, burada . Ardından, sıfır ortalama rasgele değişkenlerdir, öyle ki , yani doğrusal olarak bağımlıdırlar. Şimdi, böylece , gösteren bu $\{X_i\}_{i=1}^K$ $K$ $\mu$ $Y_i = X_i - \bar{X}$ $\bar{X} = \frac 1K \sum_{i=1}^K X_i$ $Y_i$ $\sum_{i=1}^K Y_i = 0$

Y_{i} = \frac{K - 1}{K} X_{i} - \frac{1}{K} \sum_{j \neq i} X_{j}

$Y_i = \frac{K-1}{K} X_i - \frac 1K\sum_{j \neq i}X_j$

var (Y_{ben}) = {(\frac{K - 1}{K})}^{2} + \frac{K - 1}{K^{2}} = \frac{K - 1}{K}

$\operatorname{var}(Y_i) = \left(\frac{K-1}{K}\right)^2+\frac{K-1}{K^2} = \frac{K-1}{K}$

cov (Y_{ben}, Y_{j}) = - 2 (\frac{K - 1}{K}) \frac{1}{K} + \frac{K - 2}{K^{2}} = \frac{- 1}{K}

$\operatorname{cov}(Y_i,Y_j) = -2\left(\frac{K-1}{K}\right)\frac 1K + \frac{K-2}{K^2}= \frac{-1}{K}$

Y_{i}

$Y_i$ , korelasyon katsayısı ile neredeyse ilişkisiz rasgele değişkenlerdir .

- \frac{1}{K - 1}

$\displaystyle -\frac{1}{K-1}$

Ayrıca daha önceki cevabım da bakınız .

— Dilip Sarwate
kaynak

1

Bu gerçekten güzel bir örnek!

— RUser4512

9

Hayır.

birinin sıfır olmadığını varsayalım . Genelliği kaybetmeden, olduğunu varsayalım . $a_i$ $a_1=1$

İçin , bunun anlamı ve . Ancak bu korelasyon sıfırdır. de doğrusal olmalı ve doğrusal bir ilişkinin varlığına aykırı olmalıdır. $K=2$ $x_1=-a_2x_2$ $cor(x_1,x_2)=-1$ $a_1$

Herhangi bir , ve . Ancak, hipotezinizle, . ( 'la sıfır ) ve bu olmalıdır . $K$ $x_1=-\sum_{i>1}a_ix_i$ $cor(x_1,x_k)=-1$ $cor(x_1,x_k)=0$ $a_i$ $i>1$ $a_1$

— RUser4512
kaynak

Gauss vektörleri durumunda, tek satırlık bir kanıtınız bile var (yorum olarak tutmayı tercih ederim). Korelasyon eşittir 0 bağımsızlığı ifade eder.

\sum_{i} a_{i} x_{i} = 0

$\sum_i a_ix_i =0$ ima

\sum_{i} a_{i}^{2} = 0

$\sum_i a_i^2 =0$ ve işiniz bitti.

— RUser4512

Çok iyi bir cevap. Düzenlenen soruya da cevap verebilirseniz iyi olur.

— Donbeo

Düzenlenen soru çok daha zor;)

v

$v$ ve

x_{K}

$x_K$ aynı şeyle mi ilgili? 1 / K faktörünün noktasını görmüyorum, eğer bir korelasyon arıyorsanız, sonuçta hiçbir şey değişmeyecek

— RUser4512

1 / K yapmak gerekiyordu

c o r (x_{K}, x_{i}) = 1 / K

$cor(x_K, x_i)=1/K$ .

— Donbeo

4

Bu biraz hile olabilir, ancak 'ilişkisiz' 0 kovaryansına sahip olarak tanımlanırsak , cevap evettir . İzin Vermek $X$ ve $Y$ her ikisi de olasılık 1 ile sıfır olur. Sonra

$\mathop{\mathrm{Cov}}(X,Y)= \mathop{\mathrm{E}}(XY)-\mathop{\mathrm{E}}(X)\mathop{\mathrm{E}}(Y)=0-0=0$

süre $X+Y=0$ , yani $X$ ve $Y$ doğrusal olarak bağımlıdır (tanımınıza göre).

Eğer korelasyonun tanımlanmasını istiyorsanız , yani her ikisinin de varyansları $X$ ve $Y$ kesinlikle olumlu, kriterlerinizi karşılayan değişkenler bulmak mümkün değildir (diğer cevaplara bakınız).

— Karl Ove Hufthammer
kaynak