Ağımın (grafik) “küçük dünya” ağı olup olmadığını istatistiksel olarak nasıl test edebilirim?

Bir küçük dünya ağ en düğümleri birbirine komşu değildir olan matematiksel grafik türüdür, ancak çoğu düğümleri şerbetçiotu veya adımların az sayıda her ulaşılabilir. Özellikle, küçük dünya ağı, rasgele seçilen iki düğüm arasındaki tipik L mesafesinin (gerekli adım sayısı), ağdaki N düğüm sayısının logaritmasına orantılı olarak büyüdüğü bir ağ olarak tanımlanır.

$$L \approx \log(N)$$

L ve N arasındaki bu ilişki bir "başparmak kuralı" dır. Araştırmam için küçük dünya grafiklerinin daha profesyonel bir şekilde belirlenmesini arıyorum. Grafiğimin küçük dünyalı bir grafik olup olmadığını nasıl test edebilirim?

Küçük dünya deneyi Stanley Milgram ve ABD'de insanların sosyal ağlar için ortalama yol uzunluğu inceleyerek diğer araştırmacılar tarafından yürütülen çeşitli deneyler oluşmaktadır. Araştırma, insan toplumunun kısa yol uzunluklarıyla karakterize küçük dünya tipi bir ağ olduğunu öne sürdüğü için çığır açıcıydı. Deneyler genellikle "altı derece ayrılık" ifadesi ile ilişkilidir, ancak Milgram bu terimi kendi başına kullanmamıştır.

Şimdiden teşekkür ederim.

TL; DR:

Yapamazsın.

Tipik olarak ne yapılır

Bir ağın küçük bir dünya olup olmadığının belirlenmesinde mevcut “son teknoloji” aşağıdaki yaklaşımı kullanır:

1. $L$$C$

2. Gibi boş modeli ağlar, uygun bir topluluğu oluşturmak erdos-Renyi rastgele grafikler veya Maslov-Sneppen rastgele grafikleri .

3. $L_\text{r}$$C_\text{r}$

4. Normalleştirilmiş en kısa yolu hesaplayın . ve .$λ := L/L_\text{r}$$γ := C/C_\text{r}$

5. Eğer ve belirli kriterleri (örneğin, yerine ve ), Şebekeye bir küçük dünya ağı diyoruz.$λ$$γ$$λ≈1$$γ>1$

Bunun arkasındaki fikir şudur:

• Küçük dünya ağları, yüksek bir kümeleme katsayısı ile yansıtılan bazı uzamsal yapıya sahip olmalıdır. Aksine, rastgele ağların böyle bir yapısı ve düşük bir kümeleme katsayısı yoktur.

• Küçük dünya ağları iletişimde ve benzer şekilde etkilidir ve bu nedenle rastgele ağlarla karşılaştırılabilecek en kısa yol uzunluğuna sahiptir. Aksine, tamamen uzaysal ağlar en kısa yol uzunluğuna sahiptir.

Sorunlar nerede

• Bu, ortalama en kısa yolun ağ boyutuyla nasıl ölçeklendiği hakkında hiçbir şey söylemez. Aslında, gerçek ağlar için, alıntıladığınız tanımın tamamı uygulanamaz çünkü farklı sayıda düğüme sahip aynı ağ diye bir şey yoktur.

• Varsayalım, doğrudan ve değerlerine dayanmayan küçük bir dünyanın başka bir tanımını alıyoruz , örneğin:$λ$$γ$

  Küçük dünya ağı, uzun menzilli bağlantılar eklenmiş uzamsal bir ağdır.

  Öyleyse, hala ve (veya aslında diğer ağ önlemleri) kullanılarak böyle bir tanımlamanın gerçekleştirilip gerçekleştirilmediği konusunda güçlü sonuçlar veremeyiz . Birçok çalışmanın yorumlanması, tüm ağların, bazı yeniden kablolama olasılığı için Watts – Strogatz modelinin bir gerçekleştirimi olduğunu varsaymaktadır; bu, hiç haklı değildir: Gerçekleştirmeleri Watts – Strogatz modelinden tamamen farklı olan birçok ağ modelini biliyoruz.$λ$$γ$

• Yukarıdaki yöntem ölçüm hatalarına karşı sağlam değildir. Ölçümlerden bir ağ oluştururken küçük hatalar yapmak, örneğin bir kafesin küçük dünya ağına benzemesi için yeterlidir , bakınız örneğin Bialonski ve arkadaşları, Chaos (2010) ve Papo ve arkadaşları, Front. Hum. Neurosci. (2016) . Aslında, tek bir çalışmanın farkında değilim bazı ampirik ağ olduğunu iddia olduğunu değil küçük dünya ağı.

Sidenote: Ne kazanırdınız?

Küçük bir dünya olan bazı ağlardan türetilebilecek yararlı bir kavrayışın farkında değilim. Bir tür ağın belirli bir ağ modeli (örn. Watts-Strogatz modeli) tarafından iyi tanımlandığı iddiası, modelleme çalışmaları için yararlı olabilir, ancak bu sadece küçük dünyayı iddia etmekten çok daha fazlasıdır.

^{Tam feragatname: Yukarıdaki belgelerden biri doğrudan akademik çevremden.}

Small Worldness Endeksi , paket qgraph'ta smallworldness fonksiyonu kullanılarak "R" olarak hesaplanabilir .

Buna dayanır: Humphries, MD ve Gurney, K. (2008). Ağ " küçük dünyalık": standart ağ denkliğini belirlemek için nicel bir yöntem . PLoS One, 3 (4), e0002051

Makaleden:

"Eğer S> 1 ise bir ağ" küçük dünya "olarak kabul edilir - istatistiksel olarak test edilebilecek bir iddia."