Olasılık dağılımının “momentleri” ile ilgili “an” nedir?

Momentlerin ne olduğunu ve nasıl hesaplanacağını ve moment oluşturma fonksiyonunu daha yüksek dereceli momentler elde etmek için nasıl kullanacağımı biliyorum. Evet, matematiği biliyorum.

Şimdi istatistik bilgilerimi iş için yağlamam gerektiğine göre, bu soruyu sorabilirim diye düşündüm - birkaç yıldan beri beni rahatsız ediyordu ve üniversiteye geri döndüğümde hiçbir profesör cevabı bilmiyordu ya da soruyu reddetti (dürüstçe) .

Peki bu durumda "moment" kelimesi ne anlama geliyor? Neden bu kelime seçimi? Bana sezgisel gelmiyor (ya da kolejde bu şekilde hiç duymadım :) Bunu düşününce, "atalet momentinde" kullanımıyla aynı derecede merak ediyorum;) ama şimdilik buna odaklanmayalım.

Öyleyse, bir dağıtımın "anı" ne anlama geliyor ve ne yapmak istiyor ve niçin böyle bir şey! :) Neden birileri anları önemsiyor? Şu anda o an hakkında başka şeyler hissediyorum;)

Not: Evet, muhtemelen varyansla ilgili benzer bir soru sormuştum ancak 'bulmak için kitaba bakın' konusunda sezgisel bir anlayışa değer veriyorum :)

Gazeteye göre "Matematiksel İstatistik Ortak Terimler Birinci (?) Oluşum" HA David tarafından, bu durumda kelimenin 'an' ilk kullanımı için 1893 mektupta oldu Nature başlıklı Karl Pearson tarafından "Asimetrik Frekans Eğrileri" .

Neyman'ın 1938 Biyometrika makalesi "Karl Pearson'un Binom Anlarını Kesintisine İlişkin Tarihsel Bir Not" mektubunun iyi bir özeti ve Pearson'un daha sonra binom dağılımının anları ve anların yöntemi üzerine yaptığı çalışmaları anlatıyor. Gerçekten güzel bir okuma. Umarım JSTOR'a erişim hakkınız vardır, çünkü makalenin iyi bir özetini vermek için vaktim yok (bu haftasonu da vereceğim). Yine de, 'an' teriminin neden kullanıldığına dair bir fikir verebilecek bir parçadan bahsedeceğim. Neyman'ın gazetesinden:

[Pearson'un hatırası], temelde, kolay formüllerin hesaplanmasını gerektiren bazı işlemlerle sürekli frekans eğrilerine yaklaşma yöntemlerini ele almaktadır. Bu formüllerden biri, "point-binomial" veya "yüklü koordinatlara sahip binom" idi. Formül
, binom olarak adlandırdığımız günden farklıdır. (4), sadece , istenen eğrinin altındaki alanı temsil etmek için bir faktör , sığdırılmak istenmektedir.$\alpha$

Sonunda “momentler metodu” nu sağlayan budur. Neyman, yukarıdaki makalede, Pearson'un binom momentlerinin türevini ele alıyor.

Ve Pearson'un mektubundan:

Şimdi GN etrafındaki dikdörtgenler sisteminin ilk dört anını bulmaya devam edeceğiz. Eğer her dikdörtgenin ataleti, düşey ortası boyunca yoğunlaşmış olarak düşünülebilirse, moment anı NG için, . d = c ( 1 + n q $s^{\text{th}}$$d = c(1 + nq)$

Bu, Pearson’un moment moment ’terimini of atalet momenti’ kelimesini , fizikte ortak bir terim olarak kullandığı gerçeğine işaret ediyor .

İşte Pearson Doğa mektubunun çoğunun bir taraması :

615. sayfadaki makalenin tamamını buradan görebilirsiniz .

Herkesin anı anlarda vardır. Kümülanda mayın vardı ve varyans, çarpıklık ve kurtosisin ötesinde an adları vardı ve bu güzel ipliği okumak için biraz zaman harcadım.

İşin garibi, HA David'in kağıt "içindeki "an söz" bulamadık Gittiğim Yani. Karl Pearson: Bir İstatistiksel Çağında Bilimsel Yaşam , TM Porter ve bir kitap. Karl Pearson ve Modern İstatistik Origins: Bir Elastician Örneğin bir İstatistikçi olur , örneğin Esneklik Teorisi Tarihi ve Galilei'den Günümüze Kadar Materyallerin Gücünü düzenledi .

Geçmişi çok genişti ve özellikle bir köprü açıklığının bükülme momentlerini belirlemek ve duvar barajlarındaki gerilmeleri hesaplamakla ilgilenen bir mühendislik ve elastikçi profesörü idi. Esneklikte, yalnızca neler olup bittiğini (kopma) sınırlı bir şekilde gözlemler. Görünüşe göre ilgi duyuyordu (Porter'ın kitabından):

grafiksel hesaplama veya en onurlu ve matematiksel haliyle grafiksel statik.

Sonra :

İstatistiksel kariyerinin başından beri ve hatta ondan önce, “anlar yöntemini” kullanarak eğrilere uyar. Mekanikte bu, karmaşık bir cismi, aynı birinci ve ikinci anlarda aynı kütle merkezine ve "dönüş yarıçapına" sahip basit veya soyut bir cisimle eşleştirmek anlamına geliyordu. Bu nicelikler, istatistiklerle ortalamaya ve ölçümlerin ortalamanın etrafına yayılması veya dağılmasına karşılık geldi.

Dan beri:

Pearson ayrık ölçüm aralıklarında ele alındı, bu bir integralden ziyade bir miktardı.

Atalet momentleri hareketli bir cismin özeti için durabilir: vücut tek bir noktaya düşürülmüş gibi hesaplamalar yapılabilir.

Pearson, bu beş eşitliği dokuzuncu dereceden birine birleştirilen bir denklem sistemi olarak kurdu. Sayısal bir çözüm ancak ardışık yaklaşımlarla mümkün oldu. Mevcut durumda sadece iki tane olmasına rağmen, dokuz kadar gerçek çözüm olabilirdi. Her iki sonucu da orijinalin yanında yakaladı ve sonucun ortaya çıkmasından genel olarak memnun oldu. Bununla birlikte, aralarında karar vermek için görsel muayeneye güvenmedi, ancak en iyi eşleşmeye karar vermek için altıncı zamanı hesapladı.

Bize fiziğe geri dönelim. Bir an, fiziksel bir özelliğin lokal düzenini hesaba katan fiziksel bir niceliktir, genellikle belirli bir sıra noktası veya eksene (klasik olarak uzayda veya zamanda). Bir referanstan belirli bir mesafede ölçülen fiziksel miktarları özetler. Miktar tek bir noktada konsantre değilse, moment, integraller veya toplamlar aracılığıyla tüm alan üzerinde "ortalama" dır.

Anlaşılan, momentler kavramı Arşimed tarafından "keşfedilen" kolun çalışma prensibinin keşfi ile izlenebilir. Bilinen ilk olaylardan biri, şimdiki kabul edilen duyguyla (bir dönme merkezinin olduğu an) Latince kelimedir. 1565 yılında Federico Commandino Arşimet'in çalışmasını (Liber de Centro Gravitatis Solidorum) şöyle çevirdi:

Her bir katı figürün ağırlık merkezi, içinde eşit momentin her iki tarafında duran kısımların bulunduğu noktadır.

veya

Centrum gravitatis uniuscuiusque solidae figurae est punctum illud içi pozitumu, circa sod undique partes aequalium momentorum

Öyleyse, görünüşe göre, fizikle olan analoji oldukça güçlü: karmaşık, ayrık bir fiziksel şekilden, yeterince yaklaştırabilecek miktarları, bir sıkıştırma biçimini ya da paraziti bulun.

Aşırı derecede basit olan istatistiksel anlar, bir eğri / dağılımın ek tanımlayıcılarıdır. İlk iki ana aşinayız ve bunlar genellikle sürekli normal dağılımlar veya benzer eğriler için faydalıdır. Ancak bu ilk iki an diğer dağıtımlar için bilgi değerlerini kaybeder. Böylece diğer anlar dağılımın şekli / şekli hakkında ek bilgi sağlar.

Soru: Peki bu durumda "moment" kelimesi ne anlama geliyor? Neden bu kelime seçimi? Bana sezgisel gelmiyor (ya da kolejde bu şekilde hiç duymadım :) Bunu düşününce, "atalet momentinde" kullanımıyla aynı derecede merak ediyorum;) ama şimdilik buna odaklanmayalım.

Cevap: Aslında, tarihsel anlamda, atalet momenti muhtemelen moment kelimesi anlamının geldiği yerdir. Aslında, biri (aşağıda olduğu gibi) atalet momentinin varyans ile nasıl ilişkili olduğunu gösterebilir. Bu aynı zamanda daha yüksek anların fiziksel bir yorumunu verir.

Fizikte, bir an , mesafenin çarpımını ve fiziksel miktarın çarpımını içeren bir ifadedir ve bu şekilde fiziksel miktarın nasıl yerleştirildiğini veya düzenlendiğini açıklar. Momentler genellikle sabit bir referans noktasına göre tanımlanır; bu referans noktadan belirli bir mesafede ölçülen fiziksel büyüklüklerle ilgilenirler. Örneğin, genellikle tork olarak adlandırılan bir nesneye etkiyen kuvvet momenti, aşağıdaki örnekte olduğu gibi kuvvetin ürünü ve bir referans noktasından olan mesafedir.

$\dfrac{d\omega}{dt}=\alpha,\,\dfrac{d\theta}{dt}=\omega$$\theta$

$$\beta(x;\alpha,\beta)=\begin{array}{cc} \Bigg\{ & \begin{array}{cc} \dfrac{x^{\alpha -1} (1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta )} & 0<x<1 \\ 0 & \text{True} \\ \end{array} \\ \end{array}\,,$$ $B(\alpha,\beta)=\dfrac{\Gamma(\alpha)\,\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$$\Gamma(.)$$\Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx$

$z$$x$$x,y$

$$\mu=\int_0^1r\,\beta(r;\alpha,\beta)\,dr=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$\mu=\dfrac{1}{2}$

$0\leq r\leq1$$2\leq r\leq4$

$r$$z$

$$\sigma^2=\int_0^1 (r-\mu)^2 \beta(r;\alpha,\beta) \, dr =\frac{\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^2 (\alpha +\beta +1)}\,,$$ $\beta(r;2,2)$$I=\sigma^2=\dfrac{1}{20}$$I$

$n^{\text{th}}$

$$\int_0^1 (r-\mu)^n \beta(r;\alpha,\beta) \, dr\,.$$ $n^{\text{th}}$

Ya geriye doğru hesaplamak istiyorsak, yani 3B katı bir nesneyi alıp bir olasılık fonksiyonuna dönüştürmek istiyorsak? O zaman işler biraz daha zorlaşıyor. Örneğin, bir torus alayım .

$r$$z$

$I$$\sigma^2$$I=\dfrac{\tau}{a}$$\tau$$a$