P-değerinin iki tanımı: denklikleri nasıl kanıtlanır?

Larry Wasserman'ın Tüm İstatistikler kitabını ve şu anda p değerleri hakkında okuyorum (sayfa 187). Önce bazı tanımları sunayım (alıntı yapıyorum):

Tanım 1 ret bölgesi olan bir testin gücü fonksiyonu ile tanımlanır bir test boyutu olarak tanımlanır bir test seviyesi olduğu söylenir \ alfa boyutu daha az ya da buna eşit göre ise \ alfa .$R$

$$\beta(\theta)=P_{\theta}(X\in R)$$ $$\alpha = \sup_{\theta\in\Theta_0}\beta(\theta)$$ $\alpha$$\alpha$

Bu temelde $\alpha$ , boyutun I tipi bir hatanın "en büyük" olasılığı olduğunu söyler . Daha sonra $p$ değeri (I alıntı) ile tanımlanır

Tanım 2 Varsayalım ki her \ alpha \ in (0,1) için red_ bölgesi R_ \ alpha olan $\alpha\in(0,1)$bir size $\alpha$ testimiz var . Daha sonra, R_ \ alpha \} içindeki p \ text {-value} = \ inf \ {\ alpha: T (X ^ n) \ burada X ^ n = (X_1, \ dots, X_n) .$R_\alpha$

$$p\text{-value}=\inf\{\alpha:T(X^n)\in R_\alpha\}$$ $X^n=(X_1,\dots,X_n)$

Benim için bu şu anlama gelir: belirli bir $\alpha$ verildiğinde bir test ve ret bölgesi $R_\alpha$ böylece $\alpha=\sup_{\theta\in\Theta_{0}(\alpha)}P_\theta(T(X^n)\in R_\alpha)$ . İçin $p$ ben sadece o zaman bütün bu küçük almak-değeri $\alpha$ .

Soru 1 Bu durumda, keyfi olarak küçük \ epsilon için \ alpha = \ epsilon'u seçebilirim . Tanım 2'nin yanlış yorumum nedir, yani tam olarak ne anlama geliyor?$\alpha = \epsilon$$\epsilon$

Şimdi Wasserman sürekli ve tanıdığım $p$ değeri "eşdeğer" tanımına sahip bir teorem belirtiyor (Ben alıntı):

Teoremi boyutu Varsayalım ki test formunun olan Daha sonra, burada , gözlenen değeridir .$\alpha$

$$\text{reject } H_0 \iff T(X^n)\ge c_\alpha$$ $$p\text{-value} = \sup_{\theta\in\Theta_0}P_{\theta}(T(X^n)\ge T(x^n))$$ $x^n$$X^n$

İşte ikinci sorum:

Soru 2 Bu teoremi nasıl ispatlayabilirim? Belki de değerinin tanımını yanlış anladığımdan dolayı , ama anlayamıyorum.$p$

dağılımından bilinmeyen bazı parametreler ile çizilen bazı çok değişkenli veriler var . örnek sonuçlar olduğunu unutmayın .$x$$\mathcal{D}$$\theta$$x$

Bilinmeyen bir parametre hakkında bazı hipotezleri test etmek istiyoruz , boş hipotez altındaki değerleri kümede .$\theta$$\theta$$\theta_0$

Uzaydaki , bir red bölge tanımlayabilir ve bu bölge gücü aşağıdaki gibi tanımlanır . Güç Böylece hesaplanan belirli bir değeri için arasında olasılık olarak örnek sonuç olduğunu reddi bölgesi içinde zaman değeri isimli . Açıkçası, güç ve seçilen .$X$$R$$R$$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R=P_\bar{\theta}(x \in R)$$\bar{\theta}$$\theta$$x$$R$ $\theta$$\bar{\theta}$$R$$\bar{\theta}$

Tanım 1 tanımlar bölge boyutu$R$ tüm değerlerinin Supremum olarak için içinde , yani sadece değerleri için altında . Tabii ki, bu bölgede bağlıdır, böylece .$\mathcal{P}_\bar{\theta}^R$$\bar{\theta}$$\theta_0$$\bar{\theta}$$H_0$$\alpha^R=sup_{\bar{\theta} \in \theta_0} \mathcal{P}_\bar{\theta}^R$

Şöyle bağlıdır başka bir değer bölge değişiklikleri vardır ve bu, p-değeri tanımlamak için temel oluşturur: Örnek gözlenen değeri hala için bölgeye ait olduğu değişim bölgesi, ancak bu tür bir şekilde her bir bölge, hesaplamak yukarıda tanımlandığı gibi ve infimum alır: . Dolayısıyla p değeri, içeren tüm bölgelerin en küçük boyutudur .$\alpha^R$$R$$\alpha_R$$pv(x)=inf_{R |_{x \in R}} \alpha^R$$x$

Teoremi bunun sadece bir 'çeviri', bölgeler, yani durum daha sonra , bir istatistik kullanılarak tanımlanır ve bir değer için bir bölge tanımlamak olarak . Yukarıdaki muhakemede bu tür bölgesini kullanırsanız , teorem takip eder.$R$$T$$c$$R$$R=\{ x | T(x) \ge c \}$$R$

Yorumlar nedeniyle DÜZENLE:

@ user8: teorem için; Eğer boyuttaki bir red bölgesi teoremi olarak ret bölgeleri tanımlarsak bir dizi böyle görünüyorBazı için .$\alpha$$R^\alpha= \{X | T(X) \ge c_\alpha \}$$c_\alpha$

Gözlemlenen değeri p-değerini bulmak için , yani en küçük bölgesi bulmak zorunda , örneğin, en büyük değeri , öyle ki hala içerir , ikincisi (bölge içerir ) (bölgelerin tanımlanma şekli nedeniyle) eşdeğerdir , bu nedenle büyük şekilde$x$$pv(x)$$R$$c$$\{X | T(X) \ge c \}$ $x$$x$$c \ge T(x)$$c$$\{X | T(X) \ge c \& c \ge T(x) \}$

Açıktır ki, en büyük şekilde olmalıdır ve daha sonra, yukarıda olur$c$$c \ge T(x)$$c = T(x)$$\{ X | T(X) \ge c = T(x)\}=\{ X | T(X) \ge T(x)\}$

Tanım 2'de, bir test istatistiğinin değeri, tüm en büyük alt sınırıdır, öyle ki hipotez testi için reddedilir . ne kadar küçük yaparsak , izin verdiğimiz Tip I hataya daha az tolerans olduğunu hatırlayın , bu nedenle red bölgesi da azalacaktır. Yani (çok) gayri resmi olarak, değeri seçebileceğimiz en küçük , yine de gözlemlediğimiz veriler için reddetmemize izin verir . Keyfi olarak daha küçük bir çünkü bir noktada$p$$\alpha$$\alpha$$\alpha$$R_\alpha$$p$$\alpha$$H_0$$\alpha$$R_\alpha$ o kadar küçük olacak ki, gözlemlediğimiz olayı hariç tutacak (yani içeremez).

Şimdi, yukarıdakilerin ışığında, sizi teoremi yeniden düşünmeye davet ediyorum.