Ayrık rasgele bir değişkeni yarıya indirmek mi?

9

Let kendi değerlerini alan ayrı bir rasgele değişken . Bu değişkeni yarıya indirmek istiyorum , yani, rastgele bir değişken bulmak için : $X$ $\mathbb{N}$ $Y$

X = Y + Y^{*}

$X = Y + Y^*$

burada , bağımsız bir kopyasıdır . $Y^*$ $Y$

Bu sürece yarı yarıya atıfta bulunuyorum ; bu uydurma bir terminolojidir. Bu operasyon için literatürde uygun bir terim var mı?
Bana öyle geliyor ki böyle bir daima olumsuz olasılıkları kabul edersek var olur. Gözlemimde doğru muyum? $Y$
İyi bir fikir var mı olumlu yönelik uyum ? Aka, yukarıdaki denklemi çözmek için "en yakın" olan rastgele değişken. $Y$

Teşekkürler!

random-variable

— Joannes Vermorel
kaynak

1

Tam olarak "yarıya" varamayacağınız durumlarda, "en yakın" nın birden çok olası tanımı vardır; neyi optimize etmek istediğinize bağlıdır.

— Glen_b-Monica'yı geri yükle

10

Bu özellikle (zayıfsa) güçlü bir şekilde ilişkili bir kavram ayrışabilirliktir . Ayrıştırılamaz bir yasa, önemsiz olmayan iki bağımsız rasgele değişkenin toplamının dağılımı olarak temsil edilebilen bir olasılık dağılımıdır. (Ve ayrıştırılamaz bir yasa bu şekilde yazılamaz. "Veya daha fazlası" kesinlikle ilgisizdir.) Ayrıştırılabilirlik için gerekli ve yeterli bir koşul, karakteristik fonksiyonun iki (veya daha fazla) karakteristik fonksiyonun ürünüdür.

ψ (t) = E [tecrübe {ben t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

Düşündüğünüz mülkün olasılık teorisinde zaten bir adı olup olmadığını bilmiyorum, belki de sonsuz bölünebilirlikle bağlantılı . çok daha güçlü bir özelliği olan , ancak bu özelliği içeren: tüm sonsuz bölünebilir RV'ler bu ayrışmayı tatmin eder. $X$

Bu "birincil bölünebilirlik" için gerekli ve yeterli bir koşul, karakteristik fonksiyonunun tekrar karakteristik bir fonksiyon olmasıdır.

ψ (t) = E [tecrübe {ben t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

Tamsayı desteğine sahip dağılımlar söz konusu olduğunda, karakteristik fonksiyon bir polinom olduğundan $\exp\{it\}$ . Örneğin, bir Bernoulli rastgele değişkeni ayrıştırılamaz.

Ayrıştırılabilirlik hakkındaki Wikipedia sayfasında belirtildiği gibi, yoğunluklu olan gibi ayrıştırılamayan kesinlikle sürekli dağılımlar da vardır.

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2 π}} tecrübe {- x^{2} / 2}

$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$

Durumunda karakteristik fonksiyonu $X$ gerçek değerlidir, Polya teoremi kullanılabilir:

Pólya teoremi. Eğer conditions koşulları sağlayan gerçek değerli, eşit, sürekli bir işlevse
φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,
o zaman φ kesinlikle sürekli simetrik dağılımın karakteristik fonksiyonudur.

Gerçekten de, bu durumda, $\varphi^{1/2}$ yine gerçek değerlidir. Bu nedenle, $X$ birincil bölünebilir olmak φ kök dışbükey olmasıdır. Ancak sadece simetrik dağılımlar için geçerlidir, bu nedenle Böchner teoreminden çok daha sınırlı kullanımlıdır .

— Xi'an
kaynak

6

Bunun geçerli olduğu bazı özel durumlar vardır, ancak rastgele ayrık rasgele bir değişken için "yarıya indirmek" mümkün değildir.

İki bağımsız Binomun toplamı $(n,p)$ rastgele değişkenler bir Binom $(2n,p)$ rastgele değişken ve böylece bir Binom $(2n,p)$ "yarıya" olabilir.
Alıştırma: bir Binom olup olmadığını anlayın $(2n+1,p)$ rastgele değişken "yarıya" yapılabilir.
Benzer şekilde, Negatif Bir Binom $(2n,p)$ rastgele değişken "yarıya" yapılabilir.
İki bağımsız Poisson toplamı $(\lambda)$ rastgele değişkenler bir Poisson $(2\lambda)$ ; tersine, bir Poisson $(\lambda)$ rastgele değişken iki bağımsız Poisson toplamıdır $(\frac{\lambda}{2})$ rastgele değişkenler. Gerçekten, @ Xi'an'ın bir yorumda belirttiği gibi, bir Poisson $(\lambda)$ rastgele değişken, istediğimiz kadar "yarıya" indirilebilir: her pozitif tamsayı için $n$ , toplamı $2^n$ bağımsız Poisson $\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$ rastgele değişkenler.

— Dilip Sarwate
kaynak

2

+1 Benim hatırlamam, ayrık üniformanın mümkün olmadığı özel bir durum olduğu (çok sayıda başka olduğuna inanıyorum, ama baktığım bir şey).

— Glen_b -18

Aslında, tekdüze bir dağılım ayrıştırılabilir, ancak yukarıdaki anlamda bölünemez.

— Xi'an

2

Poisson dağılımı, sonsuz bölünebilir dağılımın bir örneğidir, bu nedenle keyfi sayıda iid değişkeninin toplamına bölünebilir.

— Xi'an

-1

Sorun bana "bağımsız bir kopya" istediğini söylüyor, aksi takdirde sadece $\frac{1}{2}$ ? Kopya yazmak yerine (bir kopya her zaman bağımlıdır), belki "iki bağımsız, ancak aynı şekilde dağıtılmış rasgele değişken" yazmalısınız.

Sorularınızı cevaplamak için,

en yakın şey belki de evrişim terimidir. Verilen için $X$ , kıvrımlı iki iid RV arıyorsunuz $X$ .
negatif olasılıkları kabul ederseniz, artık olasılık alanı olmadığı için bunlar artık rastgele değişkenler değildir. Böyle bulabileceğiniz durumlar var $Y,Y^*$ ( $X$ $\lambda$ -Poisson şekilde dağıtılmış, $Y$ , $Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$ -Poisson dağıtılmış) ve mümkün olmadığı durumlar ( $X$ Bernoulli, örneğin).
Hiç görmedim ve böyle en iyi uyumu nasıl resmileştirdiğimi hayal bile edemiyorum . Genellikle, rasgele değişkenlere yaklaşımlar rasgele değişkenlerin uzayı üzerindeki bir norm ile ölçülür. Rasgele değişkenlerin rasgele değişkenler tarafından veya rasgele olmayan değişkenlere yaklaşmasını düşünemiyorum.

Umarım yardımcı olabilmişimdir.

— mattd
kaynak