İkinci moment yöntemi, Brown hareketi?

Let $B_t$ standart Brownian hareketi. Let $E_{j, n}$ ifade etkinlik

{B_{t} = 0 for some \frac{j - 1}{2^{n}} \leq t \leq \frac{j}{2^{n}}},

$\left\{B_t = 0 \text{ for some }{{j-1}\over{2^n}} \le t \le {j\over{2^n}}\right\},$ ve izin

O anlamına gelir göstergesi işlevi. Orada var mı

öyle ki için

herkes için

K_{n} = \sum_{j = 2^{n} + 1}^{2^{2 n}} 1_{E_{j, n}},

$K_n = \sum_{j = 2^n + 1}^{2^{2n}} 1_{E_{j,n}},$

1

$1$

ρ > 0

$\rho > 0$

P {K_{n} \geq ρ 2^{n}} \geq ρ

$\mathbb{P}\{K_n \ge \rho2^{n}\} \ge \rho$

n

$n$ ? Cevabın evet olduğundan şüpheleniyorum; İkinci an yöntemi ile uğraşmayı denedim, ama pek boşuna değil. Bu ikinci moment yöntemiyle gösterilebilir mi? Yoksa başka bir şey mi denemeliyim?

— Öğrenci
kaynak

İlk olarak, toplamı olmamalı:

büyüme oranı olduğunu etkinlik ipuçları olarak

ise

kimse toplamı olması beklenebilir böylece

terimleri , Hayır?

K_{n} = \sum_{j = 2^{n} + 1}^{2^{n + 1}}

$K_n = \sum_{j=2^n+1}^{2^{n+1}}$

K_{n}

$K_n$

2^{n}

$2^n$

2^{n + 1}

$2^{n+1}$

— Grant İzmirliyan

Cevap değil, muhtemelen yararlı bir reform

Yukarıda yapılan yorumun doğru olduğunu varsayalım (toplamın terimi vardır). $2^{n+1}$

Göstermek gözlemleyin

p_{n} (ρ) = P (K_{n} > ρ 2^{n}) = P (K_{n} / 2^{n} > ρ)

$p_n(\rho)=P(K_n>\rho 2^n)=P(K_n/2^n>\rho )$

ise

p_{n} (ρ_{1}) > p_{n} (ρ_{2})

$p_n(\rho_1)>p_n(\rho_2)$

ρ_{1} < ρ_{2}

$\rho_1 < \rho_2$

İlk nokta: Eğer böyle bir tüm n için var olup olmadığını sorarsanız , bazı için sınırın pozitif sonra pozitif limite sahip ve değerler pozitif, sıfır ayrılmalıdır, diyelim ki . Sonra $\rho$ $\delta$

lim_{n \to \infty} p_{n} (δ) > 0

$\lim_{n\rightarrow \infty} p_n(\delta)>0$

p_{n} (δ)

$p_n(\delta)$

p_{n} (δ) > ε

$p_n(\delta)>\varepsilon$

böylece

için istediğiniz özelliği istersiniz.

p_{n} (min (ε, δ)) \geq p_{n} (δ) > ε \geq min (ε, δ)

$p_n(\min(\varepsilon,\delta)) \geq p_n(\delta)>\varepsilon \geq \min(\varepsilon,\delta)$

ρ = min (ε, δ)

$\rho=\min(\varepsilon, \delta)$

Bu nedenle, pozitif olmak için sadece sınırını göstermeniz yeterlidir . $p_n$

Daha sonra değişkenini ve beklenen değerini araştıracağım $K_n/2^n$

— krzmip
kaynak