Sonsuz rulo serisinden seçilen bir kalıbın ortalama değeri

13

Bir çift zar sonsuz sayıda döndürürsem ve her zaman ikisinin daha yüksek değerini seçersem, en yüksek değerlerin beklenen ortalaması 3,5'i aşar mı?

Bir milyon zar attığımda ve her seferinde en yüksek değeri seçtiğimde, her bir ruloda altı adet bulunabileceği ihtimalleri ezici görünüyor. Dolayısıyla, beklenen ortalama 5.999999999999 gibi bir şey olmalı ...

Ancak, sadece 2 zar kullanarak benim örnek ile beklenen değerin ne olacağını anlayamıyorum. Birisi bir numaraya ulaşmama yardım edebilir mi? Çok az 3.5'i geçebilir mi? Bu bile hesaplanabilecek bir şey mi?

dice

— Jason
kaynak

3

Örnek alanı numaralandırabilir misiniz? 2 zar örneği için olasılıkları listeleyin.

— soakley

6

Deney ayrıca simüle edilebilir. Bu yaklaşım numaralandırma zor olduğunda yararlıdır (3 zar atmak gibi).

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

— Nishanth
kaynak

30

Bunun için simülasyon kullanmaya gerek yoktur, genel durumu analiz etmek oldukça kolaydır. Izin zar sayısı ve zar yuvarlanırken yapılan maksimum rulo . $n$ $X$ $n$

Bu izler ve genel olarak , 1 ile 6 arasında için . Bu nedenle

P (X \leq 1) = {(\frac{1}{6})}^{n}

$P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$

P (X \leq k) = {(\frac{k}{6})}^{n}

$P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n$

k

$k$

P (X = k) = P (x \leq k) - P (x \leq k - 1) = {(\frac{k}{6})}^{n} - {(\frac{k - 1}{6})}^{n} .

$P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$

Böylece olasılık dağılımını kapalı biçimde yazabiliriz. Bunu için beklenen değer olan 4.472222'yi elde edersiniz. $n = 2$

— Erik
kaynak

2

Uyarı limiti, bu olarak , bu formül de sorusundan sezgi teyit yüzden .

P (X = 6) = 1^{n} - (\frac{5}{6})^{n} \to 1

$P(X = 6) = 1^n - (\frac{5}{6})^n \rightarrow 1$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

— Matthew Drury

11

Sadece cevabı görmek için önemsiz dava üzerinde çalışmanızı öneririm.

İki zar olası sonuçları 6x6 matrisi oluşturur:

[\begin{matrix} (1, 1) & (1, 2) & . . . \\ (2, 1) & (2, 2) & . . . \\ (3, 1) & (3, 2) & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$

Toplamın beklenen değeri 7'dir. Bu durum, ruloların özdeş bağımsız çizimler olması nedeniyle toplanabilir. Adil bir kübik kalıp haddeleme beklentisi 3.5.

Ama siz maksimizasyonu istiyorsunuz. Şimdi iki zar yuvarlayarak maksimizasyonu sıralayalım. Yine, 6x6 bir matristir:

[\begin{matrix} 1 & 2 & . . . \\ 2 & 2 & . . . \\ 3 & 3 & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$

Beklenen değeri şu şekilde hesaplayın: .

E [x] = Σ (x P (x)) = 1 / 36 (1) + 1 / 36 (2) + . . . + 1 / 36 (6) \approx 4.47

$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$

Haddeleme olduğuna dikkat edin zar (olasılıksal anlamda) bir kalıba yuvarlanma eşdeğerdir kez. Yani haddeleme için nasıl matriks değişiklikleri ve nasıl ortaya çıkan beklenti değişiklikleri zar sen de görebilirsiniz. $n$ $n$ $n$

— d0rmLife
kaynak

2

36 kombinasyonun her birinin eşit olasılığa sahip olduğunu varsayarsak, 36 kombinasyonun her birinin değerlerini eklememiz ve ortalamayı elde etmek için 36'ya bölmemiz gerekir:

1 olasılık: 11
3 olasılık: 12, 21, 22
5 olasılık: 13, 23, 31, 32, 33
7 olasılık: 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
9 olasılık: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
11 olasılık: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11) / 36 = 4.47222 ..

— Briguy37
kaynak

1

Troll Zar Merdane olan zar olasılıkları bulmak için bir araç. Geride bir kağıt uygulaması açıklayan, ama oldukça akademik var.

max(2d6) verim

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642

— QuestionC
kaynak