Dikgen bir projeksiyon projeksiyon matrisi neden simetriktir?

Ben bu konuda çok yeniyim, umarım soru safsa beni affedersin. (Bağlam: Davidson & MacKinnon'un "Ekonometrik Teori ve Yöntemler" kitabından ekonometri öğreniyorum ve bunu açıklamıyorlar; Luenberger'in tahminlerini biraz daha ileri düzeyde ele alan optimizasyon kitabına da baktım , ancak şanssız).

İlişkili projeksiyon matrisi ile birlikte dikey bir projeksiyon sahip olduğumu varsayalım . Ben her vektör projelendirme ilgilenen am bazı altuzayın içine . $\mathbb P$ $\bf P$ $\mathbb{R}^n$ $A \subset \mathbb{R}^n$

Soru : , yani simetrik olduğunu neden takip ediyor ? Bu sonuç için hangi ders kitabına bakabilirim? $\bf{P}=P$ $^T$ $\bf P$

regression least-squares

— weez13
kaynak

en.wikipedia.org/wiki/…

— whuber

Yanıtlar:

Bu dikey projeksiyonlarda lineer cebirin temel sonuçlarıdır. Nispeten basit bir yaklaşım aşağıdaki gibidir. Eğer bir kapsayan ortonormal vektörlerdir boyutlu alt uzay ve olduğu matris $u_1, \ldots, u_m$ $m$ $A$ $\mathbf{U}$ $n \times p$ 'bölümlerinden daha sonra da s Bu ortogonal projeksiyonu olgusundan kaynaklanır aşağıdaki üzerine ortonormal esas cinsinden hesaplanabilir olarak $u_i$

P = U U^{T} .

$\mathbf{P} = \mathbf{U}\mathbf{U}^T.$

x

$x$

A

$A$

A

$A$

Bu yukarıdaki formül tarafından doğrudan aşağıdaki

\sum_{i = 1}^{m} u_{i} u_{i}^{T} x .

$\sum_{i=1}^m u_i u_i^T x.$

P^{2} = P

$\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}$

P^{T} = P .

$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}.$

Farklı bir argüman vermek de mümkündür. Eğer , bir ortogonal projeksiyonu için bir projeksiyon matris, daha sonra, tanım olarak, tüm Sonuç olarak, $\mathbf{P}$ $x,y \in \mathbb{R}^n$

P x ⊥ y - P y .

$\mathbf{P}x \perp y-\mathbf{P}y.$

tüm

0 = (P x)^{T} (y - P y) = x^{T} P^{T} (I - P) y = x^{T} (P^{T} - P^{T} P) y

$0 = (\mathbf{P} x)^T (y - \mathbf{P}y) = x^T \mathbf{P}^T (I - \mathbf{P}) y = x^T (\mathbf{P}^T - \mathbf{P}^T \mathbf{P}) y$

. Bu da gösteriyor ki

, nereden

x, y \in R^{n}

$x, y \in \mathbb{R}^n$

P^{T} = P^{T} P

$\mathbf{P}^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P}$

P = (P^{T})^{T} = (P^{T} P)^{T} = P^{T} P = P^{T} .

$\mathbf{P} = (\mathbf{P}^T)^T = (\mathbf{P}^T \mathbf{P})^T = \mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{P}^T.$

— NRH
kaynak

Anlayışlı yorumlarınız için teşekkürler! Bir şekilde projeksiyon operatörünün kendine bağlılığıyla ilgili bir şeyden bahseden Wikipedia makalesi, kanıtlarınız o kadar da zor olmadığından beni attı. :) BTW, bu tür şeylerle ilgilenen favori lineer cebir metniniz var mı?

— weez13

En iyi bildiğim temel lineer cebir kitabı bunu kapsamaz. Bildiğim en iyi referanslar fonksiyonel analiz üzerine gelişmiş kitaplar. Lineer cebir doğru yapılması kitap görünüyor iyi, ama bunu bilmiyorum.

— NRH

x = x^{T}

$x = x^T$

(P x)^{T} = x P^{T}

$(Px)^T = xP^T$

(P x)^{T} (y - P y) = x P^{T} (I - P) y

$(Px)^T(y-Py)=xP^T(I-P)y$

x = x^{T}

$x = x^T$

P

$P$

x

$x$

(P x)^{T} = x^{T} P^{T} .

$(Px)^T = x^TP^T.$

P^{T} - P^{T} P = 0

$P^T - P^TP = 0$

x = x^{T}

$x=x^T$

x \in R^{n}

$x\in\mathbb{R}^n$

n = 1

$n=1$

x

$x$

Geometrik sezgi girişimi ... Hatırlayın:

Simetrik bir matris kendiliğinden bitişiktir.
Skaler bir ürün sadece karşılıklı doğrusal uzaydaki bileşenler tarafından (ve vektörlerin herhangi birinin dik bileşenlerinden bağımsız olarak) belirlenir.

"Görmek" istediğiniz şey, bir projeksiyonun kendiliğinden bitişik olması ve böylece simetrik olmasıdır (1). Bu neden böyle? Bir vektörün skaler çarpımını düşünün $x$ $A$ $y$ $\langle x,Ay \rangle$ $x$ $y$ $\langle Ax,Ay \rangle$ $\langle Ax,y\rangle$

$A$

— JohnRos
kaynak

Çok teşekkürler! Yorumunuzu okumadan önce, burada öz-uyumluluğun neden önemli olduğu konusunda oldukça kafası karışmıştı. Şimdi bir ipucum var, teşekkürler!

— weez13