Gauss Sürecinin Türevi

12

Gauss sürecinin (GP) türevinin başka bir GP olduğuna inanıyorum ve bu yüzden GP'nin türev denklemleri için kapalı form denklemleri olup olmadığını bilmek ister miyim? Özellikle, kare üslü (Gaussian olarak da adlandırılır) kovaryans çekirdeğini kullanıyorum ve Gaussian sürecinin türevi hakkında tahminlerde bulunmak istiyorum.

stochastic-processes  gaussian-process  derivative 
GP'nin türevi ile ne demek istiyorsun? BP, den rastgele bir eğri oluşturup türevi alıyor musunuz? x(t)
— Placidia
@Placidia, hayır Başka bir Gauss işlemi olması gerektiğine inandığım hesaplamasını kastediyorum∂x(t)∂t
İyi soru. Ancak Brownian hareketinin hem bir GP hem de hiçbir yerde ayırt edilemez olduğunu hatırlıyorum. Yani genel bir ifade olabileceğinden emin değilim. Elbette x (t) -x (th) bir Gauss olmalıdır, bu nedenle belirli bir h için kovaryans fonksiyonu göz önüne alındığında olasılıkları düşünmek mümkün olmalıdır.
— varsayımlar
@conjectures, bu yüzden özellikle çekirdek fonksiyonunun kareli üstel olduğu bir GP'im olduğunu söyledim (çünkü bunun sonsuz derecede farklılaşabileceğini biliyorum) ve gerçekten sadece örneğimdeki türev durumunu arıyor. Ama iyi nokta hiçbiri daha az!

Yanıtlar:

13

Kısa cevap: Evet, Gauss Süreci (GP) farklılaşabilirse, türevi yine bir GP'dir. Diğer GP'ler gibi ele alınabilir ve tahmini dağılımları hesaplayabilirsiniz.

Ancak bir GP ve onun türevi birbiriyle yakından ilişkili olduğu için, birinin özelliklerini birbirinden çıkarabilirsiniz.G ′GG′

  1. varlığıG′

varsa kovaryans fonksiyonuna sahip sıfır ortalama GP farklılaştırılabilir (ortalama kare cinsinden . Bu durumda nin kovaryans fonksiyonu eşittir . İşlem sıfır ortalama değilse, ortalama işlevin de ayırt edilebilir olması gerekir. Bu durumda nin ortalama fonksiyonu, ortalama fonksiyonunun türevidir .K ′ ( x 1 , x 2 ) = ∂ 2 KKG′K′G′GK′(x1,x2)=∂2K∂x1∂x2(x1,x2)G′K′G′G

(Daha fazla ayrıntı için örneğin A. Papoulis'in "Olasılık, rasgele değişkenler ve stokastik süreçler" Ek 10A'sına bakınız)

Gauss Üstel Çekirdeği herhangi bir siparişten ayırt edilebilir olduğundan, bu sizin için sorun değildir.

  1. için tahmini dağılımG′

Sadece gözlemlerini koşullandırmak istiyorsanız, bu basittir : Ortalama ve kovaryans fonksiyonunu bildiğiniz ilgili türevleri hesaplayabiliyorsanız, bununla diğer herhangi bir GP ile aynı şekilde çıkarım yapabilirsiniz. G′

Ama aynı zamanda bir öngörü dağılımları türetebilirsiniz gözlemlerine dayalı . Bunu , gözlemlerinizi standart şekilde verilen arka kısmını hesaplayıp posterior sürecin kovaryansına ve ortalama fonksiyonuna 1. uygulayarak yaparsınız . G GG′GG

Tersi aynı şekilde bu eserler size gözlemlere durumunu yani bir posterior anlaması için . Bu durumda kovaryans fonksiyonu, integralleri tarafından verilir ve hesaplanması zor olabilir, ancak mantık gerçekten aynıdır. G G K ′G′GGK′

— İyi oyun
kaynak
Sorunu anlamadım. Kovaryans fonksiyonu ve yukarıda verilen ortalama fonksiyon (ve Rasmussen / Williams'ın 9.4'ünde) için açık bir formül vardır. Bir GP'yi bilmek ve kullanmak için her şey olduğu için başka ne isteyebilirsiniz?
— gg
Bu kovaryansa sahip bir süreç ayırt edilemez. Cevabın 1. Bölümünde belirtildiği gibi, çekirdek fonksiyonu her iki giriş için de ayırt edilebilir olmalıdır. Delta işlevi ne ayırt edilebilir ne de süreklidir. Yani bile yok. G′
— gg
Ortalama işlevi ve sürecin yollarını karıştırmanız mümkün mü? Ortalama işlevin yollardan daha yumuşak olduğunu ve işlem olmasa da farklılaşabileceğini unutmayın. Ancak ortalama işlev bir süreç değil deterministik bir işlevdir, bu nedenle hesaplanabilecek bir varyans yoktur.
— gg
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.