Rastgele bir yürüyüş için otokorelasyon nedir?

11

Gerçekten yüksek gibi görünüyor, ama bu bana mantıksız. Birisi açıklayabilir mi lütfen? Bu konuda çok kafam karıştı ve ayrıntılı, anlayışlı bir açıklamayı takdir ediyorum. Şimdiden çok teşekkürler!

autocorrelation random-walk

— Baron
kaynak

11

(Bunu, beste yaparken bunun bir kopyası olarak işaretlenmiş başka bir gönderinin cevabı olarak yazdım; onu atmak yerine buraya göndereceğimi düşündüm. cevap ama birisinin bundan bir şey çıkarabileceği kadar farklı.)

Rastgele bir yürüyüş biçimindedir $y_t = \sum_{i=1}^t \epsilon_i$

Not bu $y_t = y_{t-1}+ \epsilon_t$

Bu nedenle . $\text{Cov}(y_t,y_{t-1})=\text{Cov}(y_{t-1}+ \epsilon_t,y_{t-1})=\text{Var}(y_{t-1})$

Ayrıca $\sigma^2_t=\text{Var}(y_t) = t\,\sigma^2_\epsilon$

Sonuç olarak . $\text{corr}(y_t,y_{t-1})=\frac{\sigma_{t-1}^2}{\sigma_{t-1}\sigma_t} =\frac{\sigma_{t-1}}{\sigma_t}=\sqrt{\frac{t-1}{t}}=\sqrt{1-\frac{1}{t}}\approx 1-\frac{1}{2t}$

Yani neredeyse 1'lik bir korelasyon görmelisiniz, çünkü başlar başlamaz, ve hemen hemen aynı şeydir - aralarındaki göreceli fark oldukça küçük olma eğilimindedir. $t$ $y_t$ $y_{t-1}$

Bunu en kolay şekilde vs çizerek . $y_t$ $y_{t-1}$

Şimdi biraz sezgisel görebilirsiniz - hayal aşağı sürüklendiğini (biz standart normal gürültü terimi ile rasgele bir yürüyüşün benim simülasyonunda görmediniz gibi). Sonra oldukça yakın olacak ; bu olabilir veya bu olabilir ama birkaç birimleri içerisinde olmak, neredeyse kesin . Seri yukarı ve aşağı doğru sürüklendikçe, vs nin grafiği neredeyse her zaman çizgisinin oldukça dar bir aralığında kalacaktır ... ancak büyüdükçe noktalar daha büyük ve bu boyunca daha fazla uzanır $y_{t-1}$ $-20$ $y_t$ $-20$ $-22$ $-18.5$ $-20$ $y_t$ $y_{t-1}$ $y=x$ $t$ $y=x$ çizgi (çizgi boyunca yayılma ile büyür , ancak dikey yayılma kabaca sabit kalır); korelasyon 1'e yaklaşmalıdır. $\sqrt{t}$

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

9

Önceki sorunuz bağlamında, "rastgele bir yürüyüş" binom rastgele bir yürüyüşün bir gerçekleştirilmesidir . Otokorelasyon, vektör ile sonraki elemanların vektörü arasındaki korelasyondur. $(x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n)$ $(x_0, x_1, \ldots, x_{n-1})$ $(x_1,x_2, \ldots, x_n)$ .

Bir binom rasgele yürüyüş çok yapı her neden her biri farklı olmasına , bir sabit ile. $x_{i+1}$ $x_i$ Bir süre yürüyüş çalıştırdıktan sonra değerleri başlangıç değerinden, uzaklaştı olacaktır ve böylece genellikle, tipik olarak orantılı, iyi bir dizi kapsayacak $x_i$ $x_0$ uzunluğunda. Böyleceçiftleriningecikme-1 dağılım grafiği,sadeceçizgilerinde, ortalama olarakçizgisine yakınnoktalardan oluşacaktır. Kalanlaryakın olacaktır. Bu nedenle, gerçekleşmelerin büyük çoğunluğunda, kalıntıların varyansı (yaklaşık) değerlerin varyansına kıyasla (kabaca $\sqrt{n}$ $(x_i, x_{i+1})$ $y=x\pm 1$ $y=x$ $\pm 1$ $1$ ) küçük olacaktır. Biz beklenebiliryaklaşık olarak $(\sqrt{n}/2)^2 = n/4$ $R^2$

{R,}^{2} \approx 1 - \frac{1}{n / 4} = 1 - \frac{4}{n} .

$R^2 \approx 1 - \frac{1}{n/4} = 1 - \frac{4}{n}.$

Burada rastgele bir yürüyüşte adımın bir resmi ( solda) ve lag-1 dağılım grafiği (sağda). Renk kodlaması, iki grafikte ilgili noktaları bulmanıza yardımcı olmak için kullanılır. Olduğuna dikkat edin çok yakın gerçekten için bu durumda. $n=1000$ $R^2$ $1 - 4/n$

İşte Rgörüntüleri üreten kod.

set.seed(17)
n <- 1e3
x <- cumsum((runif(n) <= 1/2)*2-1)          # Binomial random walk at x_0=0
rho <- format(cor(x[-1], x[-n]), digits=3)  # Lag-1 correlation

par(mfrow=c(1,2))
plot(x, type="l", col="#e0e0e0", main="Sample Path")
points(x, pch=16, cex=0.75,  col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2))
plot(x[-n], x[-1], asp=1, pch=16, col=hsv(1:n/n, .8, .8, .2),
     main="Lag-1 Scatterplot",
     xlab="Current value", ylab="Next value")
mtext(bquote(rho == .(rho)))

— whuber
kaynak