Pdf


15

Varsayalım X1,X2,...,Xn gelen istatistiksel bağımsız olarak N(μ,σ2) Bilinmeyen ile μR ve σ2>0

Let Z=X1X¯S,S buradaki standart sapmadır.

Z Lebesgue pdf'sine sahip olduğu gösterilebilir

f(z)=nΓ(n12)π(n1)Γ(n22)[1nz2(n1)2]n/22I(0,(n1)/n)(|Z|)

Benim sorum o zaman bu pdf nasıl alınır?

Soru, burada UMVUE'yu bulmak için örnek 3.3.4'tendir P(X1c). UMVUE'yu bulmak için mantığı ve prosedürleri anlayabilirim ama pdf'yi nasıl alacağımı bilmiyorum.

Bu soru da bu ilişki düşünüyorum biri

Yardımınız için çok teşekkür ederiz veya ilgili referansların da uygun olacağına işaret edin.

Yanıtlar:


14

Bu sonuç hakkında bu kadar ilgi çekici olan şey, bir korelasyon katsayısının dağılımına ne kadar benzediğidir. Bir nedeni var.


(X,Y) nin her iki değişken için sıfır korelasyon ve ortak varyans ile iki değişkenli normal olduğunu varsayalım σ2. Bir iid örneği çizin (x1,y1),,(xn,yn). Örnek korelasyon katsayısının dağılımının iyi bilindiği ve geometrik olarak (Fisher'ın bir asır önce yaptığı gibi) kolayca kurulduğu bilinmektedir.

r=i=1n(xix¯)(yiy¯)(n1)SxSy

dır-dir

f(r)=1B(12,n21)(1r2)n/22, 1r1.

(Burada, her zamanki gibi, ve ˉ y örnek araçlardır ve G x ve S Y tarafsız varyans tahminleri kare kökleridir.) B olan Beta fonksiyonu için,x¯y¯SxSyB

(1)1B(12,n21)=Γ(n12)Γ(12)Γ(n21)=Γ(n12)πΓ(n21).

İşlem için , içinde dönüş altında değişmezliği yararlanabilir R n yoluyla üretilen hat etrafında ( 1 , 1 , ... , 1 ) , aynı dönmelerinden dağılımın değişmezliği ile birlikte, ve tercih y ı / S y , bileşenleri sıfıra eşit olan herhangi bir birim vektör olmalıdır. Böyle bir vektör v = ( n - 1 , - 1 , , - 1 ) ile orantılıdır . Standart sapmasırRn(1,1,,1)yi/Syv=(n1,1,,1)

Sv=1n1((n1)2+(1)2++(1)2)=n.

Sonuç olarak, ,r

i=1n(xix¯)(viv¯)(n1)SxSv=(n1)x1x2xn(n1)Sxn=n(x1x¯)(n1)Sxn=nn1Z.

Bu nedenle Z'nin dağılımını bulmak için tek ihtiyacımız olan yeniden satış :rZ

fZ(z)=|nn1|f(nn1z)=1B(12,n21)nn1(1n(n1)2z2)n/22

için . Formül (1) bunun sorunun cevabı ile aynı olduğunu göstermektedir.|z|n1n


Tamamen ikna olmadınız mı? İşte bu durumu 100.000 kez simüle etmenin sonucu ( dağıtımın tekdüze olduğu ile ).n=4

şekil

İlk histogram korelasyon katsayılarını gösterirken, ikinci histogram ( x i , v i ) , i = 1 , , 4 ) için korelasyon katsayılarını bir tüm iterasyonlar için sabit kalan rastgele seçilmiş vektör v i . İkisi de üniform. Sağdaki QQ grafiği, bu dağılımların özdeş olduğunu doğrulamaktadır.(xi,yi),i=1,,4(xi,vi),i=1,,4) vi

İşte Rkomployu oluşturan kod.

n <- 4
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
par(mfrow=c(1,3))
#
# Simulate spherical bivariate normal samples of size n each.
#
x <- matrix(rnorm(n.sim*n), n)
y <- matrix(rnorm(n.sim*n), n)
#
# Look at the distribution of the correlation of `x` and `y`.
#
sim <- sapply(1:n.sim, function(i) cor(x[,i], y[,i]))
hist(sim)
#
# Specify *any* fixed vector in place of `y`.
#
v <- c(n-1, rep(-1, n-1)) # The case in question
v <- rnorm(n)             # Can use anything you want
#
# Look at the distribution of the correlation of `x` with `v`.
#
sim2 <- sapply(1:n.sim, function(i) cor(x[,i], v))
hist(sim2)
#
# Compare the two distributions.
#
qqplot(sim, sim2, main="QQ Plot")

Referans

RA Fisher, süresiz olarak büyük bir popülasyondan alınan örneklerde korelasyon katsayısının değerlerinin frekans dağılımı . Biometrika , 10 , 507. Bkz. Bölüm 3. ( Kendall'ın İleri İstatistik Teorisi , 5. Baskı, bölüm 16.24.)


Referans bağlantısı koptu.
Sextus Empiricus

@Martijn Kontrol ettiğiniz için teşekkür ederiz. Ne demek istediğini anlıyorum - bağlantı işe yarıyor, ancak ilgili hiçbir şeye gitmiyor! Ben tamir ettim.
whuber

4

P(Xc)

E[I(,c)(X1)]=P(X1c)Z1=X¯, Z2=S2 are joint complete sufficient statistic, MVUE of P(Xc) would be like this:

ψ(z1,z2)=E[I(,c)(X1)|z1,z2]=I(,c)fX|Z1,Z2(x1|z1,z2)dx1

Now using Bayes' theorem, we get

fX|Z1,Z2(x1|z1,z2)=fZ1,Z2|X1(z1,z2|x1)fX1(x1)fZ1,Z2(z1,z2)

The denominator fZ1,Z2(z1,z2)=fZ1(z1)fZ2(z2) can be written in closed form because Z1N(μ,σ2n), Z2Γ(n12,2σ2n1) are independent of each other.

To get the closed form of numerator, we can adopt these statistics:

W1=i=2nXin1
W2=i=2nXi2(n1)W12(n1)1

which is the mean and the sample variance of X2,X3,...,Xn and they are independent of each other and also independent of X1. We can express these in terms of Z1,Z2.

W1=nZ1X1n1, W2=(n1)Z2+nZ12X12(n1)W12n2

We can use transformation while X1=x1,

fZ1,Z2|X1(z1,z2|x1)=nn2fW1,W2(w1,w2)=nn2fW1(w1)fW2(w2)

Since W1N(μ,σ2n1), W2Γ(n22,2σ2n2) we can get the closed form of this. Note that this holds only for w20 which restricts x1 to z1n1nz2x1z1+n1nz2.

So put them all together, exponential terms would disappear and you'd get,

fX|Z1,Z2(x1|z1,z2)=Γ(n12)πΓ(n22)nz2(n1)(1(n(x1z1)z2(n1))2)
where z1n1nz2x1z1+n1nz2 and zero elsewhere.

From this,at this point, we can get the pdf of Z=X1z1z2 using transformation.

By the way, the MVUE would be like this :

ψ(z1,z2)=Γ(n12)πΓ(n22)π2θccosn3θdθ
while θc=sin1(n(cz1)(n1)z1) and would be 1 if cz1+n1nz2

I am not a native English speaker and there could be some awkward sentences. I am studying statistics by myself with text book introduction to mathmatical statistics by Hogg. So there could be some grammatical or mathmatical conceptual mistakes. It would be appreciated if someone correct them.

Thank you for reading.

Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.