Oranlar basitleştirildi

Oranları anlama konusunda biraz sorun yaşıyorum ve bunları nasıl yorumlayacağımla ilgili temel bir açıklama istiyorum.

Oranlarla ilgili çeşitli yayınlar buldum, ancak çoğu anlamaya çalıştığımdan daha karmaşık. Oranları nasıl yorumladığımın bir örneği: Eğer bir olayın olasılığı 3'e 1 ise, olay gerçekleşmeyen her 1 seferde 3 kez olacaktır. Bu yorumun doğru olup olmayacağını bilmiyorum. Bu nedenle, oranları yorumlamaya ilişkin herhangi bir rehberlik ve daha fazla örnek çok takdir edilecektir.

probability intuition odds

— Davd
kaynak

Bu doğru.

— gung - Monica'yı eski

Başka bir iş parçacığında, @gung tarafından , oran oranı gibi ilgili teknik sorunlarla da ilgilenen çok daha geniş bir cevap var , ancak eldeki konuya sadık kalacağım: olasılıkları nasıl yorumlayacağınız ve özellikle " to ". Yeni başlayanların sorusu olarak, günlük bahislerde (özellikle bahis bölümünde) “bahis oranlarının” nasıl ifade edildiğinin yanı sıra bir istatistikçi için olasılıkların ne anlama geldiğini düşünmeye değer, çünkü ikisi arasındaki tutarsızlıklar öğrenciler için sorunludur. $a$ $b$

İçin bir istatistikçi tarafından ifade edildiği oran , senin çekişme doğrudur. Bir çantada, üçü ve biri üzere dört belirteç içerdiğini ve rastgele bir belirteç seçildiğini varsayalım. Olasılık seçilen belirteç mavimsi olduğunu 4: 3 olduğu, yani , genellikle "3 4'te" oku. Aynı derecede olası sonuçlarla, akuamarin için olasılıklar olumlu sonuçların sayısına (3), ve genellikle olarak okunan olumsuz sonuçların sayısına (1) bölünerek hesaplanır. $\color{aquamarine}{\text{aquamarine}}$ $\color{brown}{\text{brown}}$ $\frac{3}{4}$ $\frac{3}{1} = 3$ $\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}$ veya "üç" rakamı gibi. Daha genel olarak, "elverişsiz sonuçlar üzerinde olumlu sonuçlar" kısmını alabilir ve "elverişsiz bir sonuç olasılığı üzerinde olumlu bir sonuç olasılığı" elde etmek için hem pay hem de paydayı toplam sonuç sayısına göre iptal edebilir (bölebilir), küçük bir cebirin verdiği:

Odds = \frac{p}{1 - p} ⟹ p = \frac{Odds}{1 + Odds}

$\text{Odds} = \frac{p}{1-p} \implies p = \frac{\text{Odds}}{1 + \text{Odds}}$

Bahis şirketi tarafından ifade edilen oranlar genellikle "karşı bahis oranları" veya "bahis oranları" olarak belirtilir ve hangi şekilde yazıldıklarının yaygın bir karışıklık nedeni olduğu görülmektedir. Sözde yılında İngiliz oran , fraksiyonel oran veya geleneksel oran , aquamarin için oran "konulu 3-1" "konulu 3/1" yazılı veya olacağını, hem okumak . * Bir kumarbaz için bunların "bahis açık" olması, akuamarin için 3 sterlinlik bir hissenin başarılı olması durumunda 1 sterlin kâr getireceğini gösterir. (aslında £ 3 alırlar, bunun £ 3 sadece orijinal bahis miktarının geri dönüşüdür), başarısız bir bahis ise £ 3 bahis tutarının kaybıyla sonuçlanır. Bunların " adil oranlar " olduğunu görebiliriz $\color{aquamarine}{\text{three}}\text{ to }\color{brown}{\text{one}}\text{ on}$ "Kumarbazın üç £ kazanma şansı ve 3 £ kaybetme şansı olduğu için, ortalama olarak beklenen kazanç veya kayıp yoktur. Şimdiye kadar, çok az tutarsızlık:" bahis oranları "sadece" lehte oran "tercih edilir istatistikçiler tarafından.

Eşit olası sonuçlar başarı ya da başarısızlık iki - - örneğin atmak madeni para kafaları olarak% 50 olasılıkla olaylar için oran "bire bir" vardır say bir istatistikçi ya da sadece iken adil bir bahisçi kesirli oranlar 1/1 ("evens" olarak okunur) verir. Yani burada da sorun yok; ancak, olasılık% 50'nin altına düştüğünde, bahis şirketinin daha küçük olandan önceki orandaki daha büyük sayıyı vermeye devam ettiğini görüyoruz. $\frac{1}{1}$ $1$

Dört atları (let diyelim ki bir yarış düşünün F oinavon , G regalach , M Mome üzerinde ve T ipperary Tim eşit olasılıkla kazanmak için vardır): anlamında ardından olasılıklar , her vardı söyleyebilirim "1 4" veya 0.25 zafer şansı. Foinavon'a bahis yapmak için adil oranlar ne olurdu? Üç elverişsiz sonuca (G, M veya T için zafer) karşı sadece bir olumlu sonuç (F için zafer) vardır, bu nedenle bir istatistikçi olasılıkları "1 ila 3" veya sayısal olarak olarak tanımlayacaktır. $\frac{1}{3}$ . Ancak, İngiliz bahis oranlarını kullanan bir bahis şirketi, bahis oranlarını "3'e 1'e karşı" olarak görür ve basitçe "3/1" ya da 3-1 "olarak yazar (her ikisi de" üçe bir "okur; " karşı "örtük ve söylenmemiş gider ). bir kumarbaz için yollara "karşı ihtimallerin" TL 1'in bir kazık başarılı olursa 3 £ kar dönecekti (bu orijinal hissesini geri dönüşüdür arasında aslında £ 4 ama £ 1 alacaksınız) başarısız olursa oysa onlar Kumarbazın £ 1 kaybetme şansı ve 3 £ kazanma şansı vardır, bu yüzden yine sıfır beklenen kar / zarar vardır ve oranlar adildir. Ne yazık ki "karşı oranlar" (olağan oranlar) ) bir istatistikçinin "lehte bahis oranları" na karşılık gelmez.

Bizim varsayımsal yarışta her at 100/1 üstünlük olarak Büyük Millet kazanarak bir kez şöhret elde: bu yüksek ( "uzun") beri oran karşı , onlar "olduğunu uzun çekim kazanmak için son derece ihtimal gözüyle" ve onların destekçileri cömertçe vardı 100 liralık bahisle ödüllendirildi. Bahis şirketlerinin bahis oranlarının makul oranlar olduğunu iddia edersek ( bahisçinin etrafını ya da "vig" yi görmezden gelir ), atın her kazanma yolu için atın kaybedebileceği 100 yol olduğu hissedilirdi, yani ima edilen olasılık başarı . Aksine, bir istatistikçi bir olayın "100'e 1" oranına sahip olduğunu iddia ederse , $\frac{1}{101}$ ( olasılığı ile ). $\frac{100}{101}$

Kitlenizdeki herhangi bir katılımcı, bahisçiler tarafından kısmi oranların kullanıldığı ve medyada düzenli olarak alıntı yapılan bir ülkeden geliyorsa (ör. "Jeremy Corbyn, İngiltere İşçi Partisi'nin lideri olmak için 100-1 oranını yenmeye hazır", The Guardian , 11 Eylül 2015; "11 milyon bire: Güney Avustralya doğumlu dördüz buzağı", Sydney Morning Herald 2015 30 Temmuz) biçiminde sonra alıntı oran " kadar " neden karışıklığa neredeyse kesin. $a$ $b$

İnsanların bunu denediğini gördüm, belki de "genel halkın olasılıklardan daha fazla olasılıklara aşina olduğu" inancındayım, ancak bahisçinin etrafına bilge olan ve bu yüzden hayatlarına hiç bahis oynamamış istatistikçiler tarafından yakalanabilir Popüler oran anlayışının "yanlış yol" olması şaşırtıcı. Bu karmaşa "avantajlarını daha ağır hissedilirse için (açık oranları bir ifade kılan özellikle de" formülasyon oranı olumsuz için elverişli bir) daha sonra birbirinden ayırmak için tek bir numara olarak "istatistiksel oran" ifade etmek için iyi olabilir onları bir bahisçinin kesirli oranlarından alır. Böyle bir kitleye istatistiksel olasılıklar sunmadan önce, en azından aşağıdaki hususlardan haberdar etmeliyim: $a$ $b$

Bir istatistikçinin bahis oranları, bir bahis şirketinin "bahis oranları" na karşılık gelir. "Karşı çıkma oranları" için alışkınsanız, bir istatistikçinin olasılıkları "yanlış yol" olarak görünebilir. Örneğin, "10'dan 1'e" çok olası bir olayı ve "1000'den 1'e" son derece olası bir olayı gösterir!

Bir istatistikçinin önce en yüksek sayıyı koymasına gerek yoktur, bu nedenle "2 ila 3" gibi oranlar "2 başarı şansını 3 başarısızlık şansına" göstermek için kullanılabilir (yani birçok denemeden sonra başarıların başarısızlığa oranı 2 civarında olmalıdır. : 3 ve dolayısıyla başarı olasılığı ). $\frac{2}{5}$

Bahisçiler oranların tam sayıların bir oranını vermeyi tercih etseler de, ** istatistikçiler oranlarını genellikle bir ondalık getirse bile (örneğin "5'ten 2'ye" 2.5'den 1'e ")" bire bir "biçimine dönüştüreceklerdir. .

Bir istatistikçi "bire" bırakabilir ve tek bir sayı teklif edebilir (örn. 3,5'lik oranlar "3,5 ila 1" veya "7 ila 2" anlamına gelir, bu nedenle başarıların başarısızlığa uzun vadeli oranının 7 olması beklenir: 2, başarı olasılığı kolayca olarak görülebilir ). $\frac{7}{9}$

Bu ölçekte sıfır olasılığı bir imkansızlığı temsil eder; 0 ile 1 arasındaki oranlar, eşit olmayan bir şansı gösterir; 1 oranı% 50 şans gösterir; 1'in üzerindeki oranlar, etkinliğin olmamasından daha olası olduğunu gösterir; belirli bir olayın sonsuz şansı vardır.

Matematiksel olarak,

{Odds}_{statistician} = {Odds on}_{British}; {Odds}_{statistician} = \frac{1}{{Odds against}_{British}}

$\text{Odds}_\text{statistician} = \text{Odds on}_\text{British}; \quad \text{Odds}_\text{statistician} = \frac{1}{\text{Odds against}_\text{British}}$

Bu bile karışıklığı önlemek için yeterli olmayabilir. Kıtasal oranlar veya Avrupa oranları olarak da bilinen ondalık oranlar , çevrimiçi kumar çağında, özellikle zımni olasılıklarda küçük, hızlı değişiklikler göstermek için kesirli oranların uygunsuz olduğu bahis içi bahisler için daha yaygın hale gelmiştir. Avrupa'daki oranlar, bahis tutarının iadesi de dahil olmak üzere, birim başına ödeme miktarını göstermektedir . Akuamarin bahsi için, 3 sterlinlik bir bahis miktarı 1 sterlin kâr eder, bu nedenle her 1 sterlinlik bahis 0.33 sterlin civarında kar elde eder (1.33 sterlinlik bir ödemede). Bu nedenle Avrupa'daki akuamarin oranları yaklaşık $1.33$ . Bozuk para atmak için, 1 sterlinlik bir kumarbaz 2 £ (başarılıysa) veya aksi takdirde 0 £ tutarında bir ödeme alır, bu nedenle Avrupa oranları . Avrupa oran böylece Foinavon bir £ 1 bahis için, bir kumarbaz, £ 4 bir kazanan ödeme vardır . Avrupa oranlarının zımni başarı olasılığının tersi olduğunu fark etmiş olabilirsiniz: oranların 1 sterlinlik bir hisse senedinde adil olması için beklenen ödeme (başarı olasılığı kazanan kazancın çarpımı ile) 1 bahis oynadı, bu yüzden kazanan ödeme olasılığın karşılıklı olması gerekir. Yana buluruz $2.00$ $4.00$ $\text{Odds}_\text{European} = \frac{1}{p}$

{Odds}_{statistician} = \frac{p}{1 - p} = \frac{1}{p^{- 1} - 1} = \frac{1}{{Odds}_{European} - 1}

$\text{Odds}_\text{statistician} = \frac{p}{1-p} = \frac{1}{p^{-1}-1} = \frac{1}{\text{Odds}_\text{European}-1}$

Bunu (ödeme tutarındaki bahis tutarının iadesi de dahil olmak üzere Avrupa'daki oranlardan dolayı) not ederek de çıkarmış olabiliriz . $\text{Odds}_\text{European} = \text{Odds against}_\text{British} + 1$

Avrupa oranlarının kumarbaz için çeşitli avantajları vardır. İki kesirli olasılıkın karşılaştırılması (8/15'e karşı 4/7'yi deneyin), iki ondalık sayıyı karşılaştırmaktan daha büyük zihinsel aritmetik özelliklerini içerir. Zımni olasılıktaki küçük değişiklikler ondalık bir süre için "sorunsuz" çalışır, oysa kesir şeklinin farklı bir payda gerektiğinde tamamen değişmesi gerekebilir. Kazançtan elde edilen ödemeyi hesaplamak, bahis tutarını Avrupa oranlarıyla çarpmak kadar basittir (örneğin, Avrupa bahislerinde Euro değerinde 300 € kazanma hissesi 450 € tutarında bir ödeme alır ve bunun 150 € karıdır). Zımni olasılıkla karşılıklı ilişki özellikle "değer bahislerini" tespit etmek için kullanışlıdır: eğer bir kumarbaz Avrupa oranındaki bir bahiste gerçek başarı olasılığının bahisten daha büyük olduğuna inanırsa ' $1.50$ $6.00$ $\frac{1}{6}$ , bahis iyi bir değerdir ve kumarbazın beklenen karı pozitiftir.

Bununla birlikte, bir istatistikçinin Avrupa olasılıklarına alışkın olan bir meslekten matematiksel olasılıkları açıklaması daha zordur! İngilizlerin "karşı bahis oranları" gibi, yüksek Avrupa oranları da daha az muhtemel görülen bir olaya işaret eder ( kesin olarak , eşit şans için , imkansızlık için ). Daha da kötüsü, sayılar sadece "yanlış yol" değil, tamamen yanıltıcıdır: olumlu ve olumsuz sonuçların oranı kavramı kaybolmuştur. $1.00$ $2.00$ $\infty$

Bu temel kavramsal oran , ilk bakışta daha karmaşık görünse de, ABD spor bahislerinde kullanılan para hattı sisteminde korunmaktadır . Pozitif rakamlar, kazanılan bir hisseden elde edilen kârın (hissenin iadesi hariç) , esasen "karşı bahis oranları" ile aynı fikir olduğunu gösterir. +300 rakamı , İngiliz sisteminde "3/1 [karşı]" ya da bir istatistikçi (Foinavon bahsi) için "1 ila 3" e eşdeğer hissede kâr anlamına gelir. Negatif rakamlar, "bahis oranları" ile eşdeğer kâr elde etmek için gereken hisseyi gösterir . -300 rakamı bahis gösterir $\$100$ $\$300$ $\$100$ $\$100$ $\$300$ $\$100$ İngiliz sisteminde "3/1 açık" veya bir istatistikçi (akuamarin bahsi) için "3'e 1" olan kâr.

{Odds}_{statistician} = {\begin{cases} \frac{| Moneyline |}{100} & if Moneyline < 0 \\ \frac{100}{Moneyline} & if Moneyline > 0 \end{cases}

$\text{Odds}_\text{statistician} = \begin{cases} \frac{|\text{Moneyline}|}{100} & \text{if Moneyline} < 0 \\[5pt] \frac{100}{\text{Moneyline}} &\text{if Moneyline} > 0 \end{cases}$

Bu cevabın büyük bir kısmının istatistiklerden ziyade bahis ve ödeme ile ilgilendiğini takdir ediyorum, ancak günlük "oranların" kullanımının istatistikçinin teknik tanımından o kadar belirgin olduğunu fark ettim, kapsamlı bir karşılaştırma bazı karışıklıklara yol açabilir ( - teknik kumarbazlar ve kumarcı olmayan istatistikçiler). Tabii ki, bahis ve istatistik arasında derin tarihsel ve felsefi bağlantılar vardır. Puan sorunu, kesintili bir kumar oyununda ödül potunun adil bölünmesi ile ilgiliydi ve ortaçağdan beri tartışma yarattı. Ne zaman Antoine Gombaud, salt de sövalyem 1654 yılında sorunun versiyonunu poz verdi, ardından yazışma Blaise Pascal ve Pierre de Fermatkonu üzerine olasılık teorisinin temellerini attı. Daha yakın zamanlarda, Frank Ramsey (1920'lerde) ve Bruno de Finetti (1930'larda) Bayes olasılığının bir gerekçesi olarak bahislerin (bir Hollandalı kitabın kumar fenomeniyle ilgili ) tutarlılığını incelediler : eğer bir ajanın öznel olasılıkları veya dereceleri inanç olasılık aksiyomlarına uymaz , o zaman tutarsızdır ve acenteye karşı belirli bir zarara maruz bırakan bir Hollanda kitabı yapılabilir. Stanford Felsefe Ansiklopedisi'nin "Hollanda Kitap argümanı" hakkında bir makalesi vardır .

( ) Pedagojik amaçlar için kasten fazla basitleştirdim. Aslında bahisçiler bu noktada tutarlı değiller: bu oranlar "1/3" şeklinde yazılabilir ("bire üç karşı" anlamına gelir), ancak bu yine de "üçe bir" olarak okunabilir! Ancak, bir bahis şirketi ilk önce daha küçük sayıyı bahse karşı bir oranla yazabilirken, bahis üzerine hiçbir zaman bir bahis oranını çerçevelemez: "1/3 açık" teorik olarak "3/1 [karşı]" ile aynı olur, ancak pratikte her zaman ikinci formda alıntılanır. $*$

( ) Bir yana, bahisçiler bu sayıları her zaman en düşük terimiyle iptal etmezler: "6/4" genellikle reklamı yapılır (" ear'ole "), bu yüzden belki de bahisçiler 4 £ ' luk bir hissede 6 £ kâr elde ettiğine inanırlar. psikolojik olarak daha caziptir ve 2 sterlinlik bir hisse üzerinde 3 sterlinlik kâr umudundan daha fazladır. Bilmiyorum gerçeğine rağmen, "100/30" 'un hayatta kaldığını savunduğumu duydum, çünkü "10'dan 3'e" bir yarış zamanı ile karıştırılabilir. Hong Kong oranları tek bir sayıya kadar iptal edilen kesirli oranlardır (bu nedenle "5/2 karşı" 2,5 olur); kazanan bahisten elde edilen kazanç (bahis tutarının geri dönüşü hariç), Hong Kong bahis oranlarının bahis miktarıyla çarpılmasıdır. Birinin altındaki Hong Kong oranları% 50'den fazla şansı gösteriyor; bunlar istatistiksel olasılıkların tersidir. $**$

— Gümüş Balık
kaynak

14 yaşındayken ve ilk kez lisede ayrı bir konu olarak istatistik okuduğumda, ders kitabım kumar oranlarını ve getirileri olasılıklara ve "istatistiksel olasılıklara karşı" dikkatlice inceledi: geriye dönük olarak, ayrıntı seviyesi oldukça rahatsız ediciydi :) Kompletistler yas tutabilirler Caughoo'nun tartışmalı 1947 Büyük Ulusal zaferinin yokluğu, diğer 100/1 galibi, ancak orijinal soruya uygun olarak, "1'den 3'e" ve "3'ten 1'e" karşılaştırmak istedim ve dizide Caughoo'ya yer kalmadı.

— Silverfish

Gung'un cevabının gerçekten "çok daha geniş" olduğundan emin değilim;)

— Tim

Düşündüğümden çok daha derinlemesine bir cevap. +1

— Jessica