Bir IID üniform rastgele değişken örneğinin maksimumunun olasılık yoğunluk fonksiyonunu nasıl hesaplarsınız?

45

Rastgele değişken verildiğinde

Y = max (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})

$Y = \max(X_1, X_2, \ldots, X_n)$

$X_i$ IID tekdüze değişkenler nerede , PDF'sini nasıl hesaplarım $Y$ ?

pdf maximum

— Mascorpone peyniri
kaynak

4

Bu bir ev ödevi ise, lütfen SSS bölümünü okuyun ve sorunuzu buna göre güncelleyin.

— kardinal

Biri Vandermonde'nin kimliğini F_y (r) * G_y (r) diyerek 2 dereceden oluşan İstatistiğin ortak işlevini göstermek için kullanabilir mi?

— Larry Mintz

Hangi ders bu tür bir sorunu kapsar? Mühendislik olasılık dersinde karşılaştığım bir şey değil.

— Alex

@Alex Örneklemeyi kapsayan bir istatistik kursu ne durumda?

— SOFe

64

Bu sorunun ev ödevi olması mümkündür, ancak bu klasik temel olasılık sorununun birkaç ay sonra hala tam bir cevaptan yoksun olduğunu hissettim, bu yüzden burada bir tane vereceğim.

Sorun bildirisinden, dağıtımını istiyoruz

Y = max {X_{1}, . . ., X_{n}}

$Y = \max \{ X_1, ..., X_n \}$

buradaki X_n, . olduğunu biliyoruz ve eğer sadece numunenin her elemanı küçükse . Sonra bu, @ varty'nin ipucunda belirtildiği gibi, bağımsız olması gerçeğiyle birlikte, bize $X_1, ..., X_n$ ${\rm Uniform}(a,b)$ $Y < x$ $x$ $X_i$

P (Y \leq x) = P (X_{1} \leq x, . . ., X_{n} \leq x) = \prod_{i = 1}^{n} P (X_{i} \leq x) = F_{X} (x)^{n}

$P(Y \leq x) = P(X_1 \leq x, ..., X_n \leq x) = \prod_{i=1}^{n} P(X_i \leq x) = F_{X}(x)^n$

buradaki , düzgün dağılımın CDF'sidir . Bu nedenle, KTL olan $F_{X}(x)$ $Y$

F_{Y} (y) = P (Y \leq y) = {\begin{cases} 0 & y \leq a \\ {[(y - a) / (b - a)]}^{n} & y \in (a, b) \\ 1 & y \geq b \end{cases}

$F_{Y}(y) = P(Y \leq y) = \begin{cases} 0 & y \leq a \\ \phantom{} \left[ (y-a)/(b-a) \right]^n & y\in(a,b) \\ 1 & y \geq b \\ \end{cases}$

Yana kesinlikle sürekli bir dağılıma sahiptir biz CDF'yi farklılaşarak yoğunluğunu türetebilirsiniz . Bu nedenle yoğunluğu olduğu $Y$ $Y$

p_{Y} (y) = \frac{n (y - a)^{n - 1}}{(b - a)^{n}}

$p_{Y}(y) = \frac{n(y-a)^{n-1}}{(b-a)^{n}}$

olduğu özel durumda , sahibiz; bu, ve ile bir Beta dağılımının yoğunluğudur. beri . $a=0,b=1$ $p_{Y}(y)=ny^{n-1}$ $\alpha=n$ $\beta=1$ ${\rm Beta}(n,1) = \frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n)\Gamma(1)}=\frac{n!}{(n-1)!} = n$

Not olarak, örneklemenizi artan düzende sıralarsanız elde ettiğiniz diziye - - sipariş istatistikleri denir . Bu cevabın genelleştirilmesi, bir dağıtılmış örneğin tüm istatistiklerinin @ bnaul'un cevabında belirtildiği gibi bir Beta dağılımına sahip olmasıdır. $X_{(1)}, ..., X_{(n)}$ ${\rm Uniform}(0,1)$

— Makro
kaynak

Bu aslında benim için bir ev ödevi sorusuydu. Açıklama için teşekkürler.

— Paul PM

Burada görüşlerinizi alabilmem ve bu soruyu cevaplayabilmem gerektiğini düşünüyorum , ancak bunun nasıl yapılacağını göremiyorum. bana yardım edebilir misin? Bu genel konuya değinen bir ders kitabı veya bölüm önerebilir misiniz?

@PaulPM İlgi alanı dışında, bu tür bir sorunu hangi kurs kapsar? Mühendislik olasılık dersinde karşılaştığım bir şey değil.

— Alex

6

Bir örneğin maksimum değeri sipariş istatistiklerinden biridir , özellikle de numunesinin inci sipariş istatistiğidir . Genel olarak, Vikipedi makalesinde açıklandığı gibi, sıra istatistiklerinin dağılımının hesaplanması zordur; Bazı özel dağıtımlar için sipariş istatistikleri iyi bilinir (örneğin Beta dağıtımlı sipariş istatistiklerine sahip tek tip dağıtım için). $n$ $X_1,\dots,X_n$

EDIT: En fazla ve en az örneklemle ilgili Wikipedia makalesi aynı zamanda sorununuza daha yardımcı ve daha özeldir.

— bnaul
kaynak

5

Yoğunluklu dağılımlar için, belirli bir düzen istatistiğinin marjinal dağılımının hesaplanması oldukça basittir. Minimum ve maksimum gibi "özel" sipariş istatistikleri için daha da kolaydır.

— kardinal

Sanırım orijinal sorudaki "hesapla" ile neyin kastedildiğine bağlı. Kesinlikle bunu sayısal olarak yapmak basittir; Soruyu, genelde kolay olmayan kapalı bir form çözümünün nasıl bulunacağını sormak olarak yorumladım.

— Kasım’da

8

@bnaul: Let olduğu bir rasgele dağılım fonksiyonu ve izin bir iid örnek olarak . Let olmak sıra istatistiğinin inci. ArdındanQED .

F (x) = P (X \leq x)

$F(x) = \mathbb P(X \leq x)$

X_{1}, \dots, X_{n}

$X_1,\ldots,X_n$

F

$F$

X_{(k)}

$\newcommand{Xk}{X_{(k)}}\Xk$

k

$k$

P (X_{(k)} \leq x) = \sum_{m = k}^{n} P (| {i : X_{i} \leq x} | = m) = \sum_{m = k}^{n} (\binom{n}{m}) F (x)^{m} (1 - F (x))^{n - m} .

$\mathbb P(\Xk \leq x) = \sum_{m=k}^n \mathbb P( |\{i: X_i \leq x\}| = m) = \sum_{m=k}^n {n \choose m} F(x)^m (1-F(x))^{n-m} \>.$

— kardinal

1

Belki de kardinallerin cevabını anlamanın bir yolu (üniforma için düzen istatistiklerini anladığınıza göre), cdfs üniform bir cdf'nin monoton 1'e 1 dönüşümleri olması nedeniyle, {X <a} olayını bir üniforma cinsinden ifade edebiliriz. rastgele değişken (bu yüzden monte carlo işe yarıyor). Dolayısıyla, tek tip bir dağılıma dayanan herhangi bir sonuç diğer rasgele değişkenlere kolayca genellenebilir - sadece dönüşümünü uygulayın .

U = F_{X} (X)

$U=F_{X}(X)$

— Olasılık 1

2

@probabilityislogic: Sezgi iyidir, yorumunuzda sürekli rastgele değişkenler var gibi gözükse de. (Yukarıdaki ikinci yorumumun sonucu, örneğin, keyfi bir dağıtım işlevi için çalışıyor.)

— Kardinal

1

Eğer ait CDF olan , daha sonra Daha sonra istatistiksel bağımsız özelliğini kullanabilir ve yi hesaplamak için tek biçimli bir değişkenin . $F_{Y}(y)$ $Y$

F_{Y} (y) = Prob (y > X_{1}, y > X_{2}, . . ., y > X_{n})

$F_Y(y)=\text{Prob}(y>X_1,y>X_2,...,y>X_n)$

F_{Y} (y)

$F_Y(y)$

— Varty
kaynak

-3

Uygun şekilde normalleştirildiğinde bir IID rasgele değişken grubunun maksimum değeri genellikle üç aşırı değer türünden birine yakınlaşacaktır. Bu Gnedenko'nun teoremidir, aşırı uçlar için merkezi limit teoreminin denkliği. Özel tip, popülasyon dağılımının kuyruk davranışına bağlıdır. Bunu bilerek, maksimum dağılımını yaklaşık olarak belirlemek için sınırlayıcı dağılımı kullanabilirsiniz.

[A, b] 'deki düzgün dağılım bu sorunun konusu olduğundan, Macro herhangi bir n için tam bir dağılım vermiştir ve çok hoş bir cevap vermiştir. Sonuç oldukça önemsiz. Normal dağılım için güzel bir kapalı form mümkün değildir, ancak Gumbel dağılımına yapılan normal yakınsamalar için maksimum normalize edilmiştir F (x) = exp (- e ). $^-$ $^x$

Üniforma için normalleştirme (ba) -x / n ve F (bax / n) = (1-x / [n (ba)]) $^n$ $^n$

bu, e değerine yaklaşır . Burada y = bax / n olduğuna dikkat edin. ve F (y), y ye ba giderken 1'e yakınsar. Bu, tüm 0 için tutar $^-$ $^x$ $^/$ $^($ $^b$ $^-$ $^a$ $^)$ $^n$

Bu durumda, kesin değeri asimptotik sınırıyla karşılaştırmak kolaydır.

— Michael Chernick
kaynak

4

Bu cevabın uygulanabilir olması için, ayrıntılı olarak, birinin değerlerin "uygun şekilde normalize edildiğini" belirtmeniz gerekir ve ayrıca asimptotik formül güvenilir bir yaklaşım haline gelmeden önce ne kadar büyük olması gerektiğini tahmin etmek için bir yol sağlamanız gerekir.

n

$n$

— whuber

@whuber Normalleşmeyi görmek için herkes Gnedenko teoremine bakabilir. Aynı derecede önemli olan, üç tipten hangisinin uygulanacağını belirleyen kuyruk özellikleridir. Teorem, durağan stokastik süreçlere genellenir. Nitty kumlu detaylarını bilmek isteyen herkes Leadbetter'ın kitabına veya doktora teziime bakabilir. N yeterince büyük olduğunda, herhangi bir asimptotik formu için cevap vermek zor bir sorudur. Berry-Esseen teoreminin merkezi limit teoremine yardımcı olduğunu düşünüyorum. Aşırı için neyin karşılaştırılabilir olduğunu bilmiyorum.

— Michael Chernick 20:12