Tek değişkenli rastgele bir değişkenin ortalaması her zaman onun kuantil fonksiyonunun integraline eşit midir?

Sadece tek değişkenli rastgele değişkenin kantil fonksiyonunu (ters cdf) p = 0'dan p = 1'e entegre etmenin değişkenin ortalamasını oluşturduğunu fark ettim. Bu ilişkiyi daha önce duymadım, bu yüzden merak ediyorum: Bu her zaman böyle mi? Eğer öyleyse, bu ilişki yaygın olarak biliniyor mu?

İşte python'da bir örnek:

from math import sqrt
from scipy.integrate import quad
from scipy.special import erfinv

def normalPdf(x, mu, sigma):
    return 1.0 / sqrt(2.0 * pi * sigma**2.0) * exp(-(x - mu)**2.0 / (2.0 * sigma**2.0))

def normalQf(p, mu, sigma):
    return mu + sigma * sqrt(2.0) * erfinv(2.0 * p - 1.0)

mu = 2.5
sigma = 1.3
quantileIntegral = quad(lambda p: quantile(p,mu,sigma), 0.0, 1.0)[0]
print quantileIntegral # Prints 2.5.

Let $F$ rasgele değişken arasında CDF olmak $X$ CDF ters yazılabilir böylece, $F^{-1}$ . İçin entegre yapmak yerine $p = F(x)$ , $dp = F'(x)dx = f(x)dx$ elde etmek için

$$\int_0^1F^{-1}(p)dp = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx = \mathbb{E}_F[X].$$

Bu sürekli dağılımlar için geçerlidir. Ters bir CDF'nin benzersiz bir tanımı olmadığından diğer dağıtımlara dikkat edilmelidir.

Düzenle

Değişken sürekli olmadığında, ters CDF'nin tanımında ve hesaplama integrallerinde bakım gerektiren Lebesgue ölçüsüne göre kesinlikle sürekli bir dağılım yoktur. Örneğin, ayrı bir dağılım söz konusu olabilir. Tanım olarak, bu CDF $F$ , olası her bir x değerinde boyutunda adımlara sahip bir adım işlevi olan bir işlevdir .$\Pr_F(x)$$x$

Bu şekil, bir Bernoulli CDF $(2/3)$ dağıtım ile ölçekli $2$ . Kendisine, rastgele değişkenin olasılığına sahiptir $1/3$ eşit bir $0$ ve bir olasılık $2/3$ eşit bir $2$ . $0$ ve sıçramaların yükseklikleri $2$olasılıklarını verir. Bu değişkenin beklenti açıkça eşittir $0\times(1/3)+2\times(2/3)=4/3$ .

Biz bir "CDF ters" tanımlayabilir $F^{-1}$ gerektirerek

$$F^{-1}(p) = x \text{ if } F(x) \ge p \text{ and } F(x^{-}) \lt p.$$

Bu, $F^{-1}$ bir adım fonksiyonu olduğu anlamına gelir . Rastgele değişkenin olası herhangi bir değeri $x$için, $F^{-1}$ , Pr F ( x ) uzunluğunda değerini alacaktır . Bu nedenle integrali , sadece beklenti olan x Pr F ( x ) değerlerinin toplanmasıyla elde edilir .$x$$\Pr_F(x)$$x\Pr_F(x)$

Bu, önceki örneğin ters CDF'sinin grafiğidir. Sıçrayışlarını ve 2 / 3 CDF yüksekliklerde bu uzunlukta yatay hatlar eşit hale 0 ve 2 , olan olasılıklar, ilişkili değer. (Ters CDF aralığının ötesine tanımlanmamıştır [ 0 , 1 ] ). Bunun yekpare iki dikdörtgen, boy bir toplamı 0 ve taban 1 / 3 , yükseklik diğer 2 ve taban 2 / 3 olmak üzere toplam 4 /$1/3$$2/3$$0$$2$$[0,1]$$0$$1/3$$2$$2/3$$4/3$, eskisi gibi.

Genel olarak, sürekli ve ayrık bir dağılımın bir karışımı için, bu yapıya paralel olarak ters CDF'yi tanımlamamız gerekir: yüksekliğinin her ayrık atlamasında , önceki formülde verildiği gibi , p uzunluğunda yatay bir çizgi oluşturmalıyız .$p$$p$

Eşdeğer bir sonuç sağkalım analizinde iyi bilinir : beklenen ömür sağkalım fonksiyonunun S ( t ) = Pr ( T > t ) olduğu doğumdan itibaren t = 0'da ölçülür. (Kolayca negatif değerleri kapsayacak şekilde genişletilebilir t ).

$$\int_{t=0}^\infty S(t) \; dt$$ $S(t) = \Pr(T \gt t)$$t=0$$t$

Böylece bunu ∫ ∞ t = 0 ( 1 - F ( t ) ) olarak yeniden yazabiliriz ama bu ∫ 1 q = 0 F - 1 ( q

$$\int_{t=0}^\infty (1-F(t)) \; dt$$ söz konusu alanın çeşitli yansımalarında gösterildiği gibi $$\int_{q=0}^1 F^{-1}(q) \; dq$$

We are evaluating:

Let's try with a simple change of variable:

And we notice that, by definition of PDF and CDF:

almost everywhere. Thus we have, by definition of expected value:

For any real-valued random variable $X$ with cdf $F$ it is well-known that $F^{-1}(U)$ has the same law than $X$ when $U$ is uniform on $(0,1)$. Therefore the expectation of $X$, whenever it exists, is the same as the expectation of $F^{-1}(U)$:

$$E(X)=E(F^{-1}(U))=\int_0^1 F^{-1}(u)\mathrm{d}u.$$ The representation $X \sim F^{-1}(U)$ holds for a general cdf $F$, taking $F^{-1}$ to be the left-continuous inverse of $F$ in the case when $F$ it is not invertible.

Note that $F(x)$ is defined as $P(X\le x)$ and is a right-continuous function. $F^{-1}$ is defined as

$$\begin{equation} F^{-1}(p)=\min(x|F(x)\ge p). \end{equation}$$ The $\min$ makes sense because of the right continuity. Let $U$ be a uniform distribution on $[0, 1]$. You can easily verify that $F^{-1}(U)$ has the same CDF as $X$, which is $F$. This doesn't require $X$ to be continuous. Hence, $E(X)=E(F^{-1}(U))=\int_0^1F^{-1}(p)\mathop{dp}$. The integral is the Riemann–Stieltjes integral. The only assumption we need is the mean of $X$ exists ($E|X|<\infty$).