Eğer

9

Bu ev ödevi değil.

Let rasgele değişken. ve ise , mı? $X$ $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ $\text{Var}[X] = 0$ $\Pr\left(X = k\right) = 1$

Sezgisel olarak, bu çok açık görünüyor, ama bunu nasıl kanıtlayacağımdan emin değilim. Varsayımlardan, takip ettiği bir gerçeği biliyorum . So Bu beni hiçbir yere götürmüyor. Deneyebilirim Şimdi beri , bunu da takip eder. $\mathbb{E}[X^2] = k^2$

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$

Ama eğer eşitliği kullanacak olsaydım, o zaman bağırsak içgüdüm , böylece .

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$

X \equiv k

$X \equiv k$

Bunu nasıl bilebilirim? Sanırım çelişkinin kanıtı.

Eğer aksine, tüm , daha sonra ve için tüm . Bir çelişkimiz var, bu yüzden . $X \neq k$ $X$ $(X-k)^2 > 0$ $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ $X$ $X \equiv k$

Kanıt sesim mi - eğer öyleyse, bu iddiayı kanıtlamanın daha iyi bir yolu var mı?

probability

— Klarnetçi
kaynak

@ user777 Bu yöntemi orijinal olarak denedim ( denklemi), ancak nasıl ilerleyeceğinden emin değildi.

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

— Klarnetçi

3

Chebyshev'in Eşitsizliğinin bu soruyu hemen cevapladığına inanıyorum.

— whuber

@whuber: en azından Wikipedia'nın Chebyshev'in eşitsizliği ifadesi açıkça sıfır olmayan varyans gerektiriyor . Sıfır varyans davası için bir tür temel

— ispata

1

Kolayca aralığına sahip herhangi bir dejenere olmayan dağılımda karıştırmak olabilir @Stephan ve göstermek için eşitsizliği geçerli olduğunu herkes için ve tümü .

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

— whuber

6

İşte sadece tanımları kullanarak diğerlerini tamamlayacak bir ölçü teorik kanıtı. Bir olasılık uzayı üzerinde çalışıyoruz . ve integrali olduğuna dikkat edin . Bazı Varsayalım ki , vardır , öyle ki ile ve . Daha sonra yaklasik aşağıdaki, yani standart tanımla aşağıdan yaklaşan basit fonksiyonları entegrallerinin Supremum olarak, $(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

E Y \geq \int ε {ben}_{bir} P (d ω) = ε P (bir) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ bu bir çelişki. Böylece, , . Bitti.

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— Ekvall
kaynak

5

Bunu çelişkiyle kanıtlayın. By varyans tanımı ve varsayımlar, sahip

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

burada , olasılık yoğunluğudur . Not de o ve negatif olmaz. $f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

Şimdi, , o zaman $P(X=k)<1$

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

ölçüsü sıfırdan büyük ve . Ama sonra $k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

(bazı tarzı argümanlar buraya dahil edilebilir) ve bu nedenle $\epsilon$

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x \geq \int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

ve sizin çelişkiniz.

— Stephan Kolassa
kaynak

2

Nedir ? Bu aynı mı? $X \equiv k$ $X = k$

ETA: Iirc, $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

Her neyse, belli ki

(X - E [X])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

varsaymak

E [X - E [X])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

Sonra

(X - E [X])^{2} = 0 a.s.

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

İnanıyorum ki son adım olasılıkların sürekliliğini ... ya da ne yaptığınızı içeriyor (Haklısınız).

Theres ayrıca Chebyshev Eşitsizliği :

$\forall \epsilon > 0$ ,

P (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

Tekrar konuşmak güzel .

Btw neden bu kadar

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

?

Bana öyle geliyor ki , $LHS = k$ $RHS = k^2$

— BCLC
kaynak

1

Evet, haklısın.

— Clarinetist

@Clarinetist Düzenlenen benimki de: P

— BCLC