Sipariş İstatistiklerini Dönüştürme

Rastgele değişkenler varsayalım $X_1, ... , X_n$ ve bağımsızdır ve dağıtılır. Bu ABS , bir sahiptir dağılımı. $Y_1, ..., Y_n$ $U(0,a)$ $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ $\text{Exp}(1)$

Ben ayarı bu sorunu başladım Sonra olarak dağıtılacak ve olarak dağıtılacak Yoğunluklar olarak kolayca bulunabilir ve $\{X_1,...,X_n,Y_1,...Y_n\} = \{Z_1,...,Z_n\}$ $\max(Y_n,X_n)= Z_{(2n)}$ $(\frac{z}{a})^{2n}$ $\min(Y_n,X_n)= Z_{(1)}$ $1 - (1 - \frac{z}{a})^{2n}$ $f_{Z_{1}}(z) = (2n)(1-\frac{z}{a})^{2n-1}\frac{1}{a}$ $f_{Z_{(2n)}}(z) = (2n)(\frac{z}{a})^{2n-1} \frac{1}{a}$

Burası, şimdi nereye hesaplanacağını bilmek için zorlanıyorum. Bence bir dönüşümle bir şeyler yapmak zorunda ama emin değilim ...

self-study data-transformation order-statistics

— Susan
kaynak

Elbette sadece değil,

X_{i}

$X_i$ ve iid'in değil, aynı zamanda bağımsız olduğunu . Buna göre, doğrudan ile çalışmayı düşündünüz ?

Y_{i}

$Y_i$

X_{i}

$X_i$

Y_{j}

$Y_j$

\log (Z_{i})

$\log(Z_i)$

— whuber

@whuber yorumunuzdaki düşüncem, n * log (Z ) yoğunluğunu çözdüğüm bir dönüşüm oluşturmak mı?

_{i}

$_i$

— Susan

Biraz yeniden biçimlendirme yaptım (özellikle ve

l o g

$log$

m i n

$min$ içine

\log

$\log$ ve

min

$\min$ ), ancak nasıl olduğunu beğenmezseniz, önceki sürüme geri dönebilirsiniz (yayınınızın altındaki gravatarımın üstündeki "<x> önce düzenlendi" bağlantısını tıklayarak) ve "geri al" ı tıklayarak "bağlantısını tıklayın.

— Glen_b

Susan, soruyu yanlış yorumladın / yanlış okudun. Soru oranını istiyor

\frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ Payda,

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

$\min(Y_{(n)},X_{(n)})$ : nerede

Y_{(n)}

$Y_{(n)}$ maksimum sipariş istatistiği

Y

$Y$ s ve

X_{(n)}

$X_{(n)}$ maksimum sipariş istatistiği

X

$X$ s. Başka bir deyişle,

min (Y_{(n)}, X_{(n)})

${\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ min (maxX, maxY) arar, minimum

X

$X$ s ve

Y

$Y$ Böylece, tüm X ve Y değerlerini düzleştirmek / birleştirmek için Z hilenizi kullanamazsınız. .......

— Wolfies

Her durumda ve ayrı bir konu olarak, (yaptığınız gibi) yoğunluğunu hesaplamanın bir anlamı yoktur.

Z_{(1)}

$Z_{(1)}$ ve ayrı ayrı yoğunluğu

Z_{(2 n)}

$Z_{(2n)}$ , çünkü farklı sipariş istatistikleri genellikle bağımsız değildir. Oranını bulmak için

Z_{(2 n)} / Z_{(1)}

$Z_{(2n)}/Z_{(1)}$ , önce ortak pdf bulmak gerekir

(Z_{(1)}, Z_{(2 n)})

$(Z_{(1)},Z_{(2n)})$ , eldeki sorun buysa (ki bu değildir).

— Wolfies

Yanıtlar:

Bu problem sadece tanımlardan çözülebilir: tek gelişmiş hesaplama bir monomialin integralidir.

Ön gözlemler

Değişkenlerle çalışalım $X_i/a$ ve $Y_i/a$ Boyunca: bu değişmez $Z_n$ ama yapar $(X_1, \ldots, Y_n)$ üniforma ile iid $(0,1)$ tüm dikkat dağıtan görünümleri ortadan kaldırarak $a$ hesaplamalarda. Böylece, $a=1$ herhangi bir genellik kaybı olmadan.

Unutmayın ki bağımsızlık $Y_i$ ve eşit dağılımları herhangi bir sayı için $y$ hangisi için $0\le y \le 1$ ,

Pr (y \geq Y_{(n)}) = Pr (y \geq Y_{1}, \dots, y \geq Y_{n}) = Pr (y \geq Y_{1}) \dots Pr (y \geq Y_{n}) = y^{n},

$\Pr(y \ge Y_{(n)}) = \Pr(y \ge Y_1 , \ldots, y \ge Y_n) = \Pr(y \ge Y_1)\cdots \Pr(y \ge Y_n) = y^n,$

aynı sonuç için $X_{(n)}$ . İleride başvurmak için bu,

E (2 X_{(n)}^{n}) = \int_{0}^{1} 2 x^{n} d (x^{n}) = \int_{0}^{1} 2 n x^{2 n - 1} d x = 1.

$\mathbb{E}(2X_{(n)}^n) = \int_0^1 2x^n\mathrm{d}(x^n) = \int_0^1 2nx^{2n-1}\mathrm{d}x = 1.$

Çözüm

İzin Vermek $t$ pozitif bir gerçek sayı olmak. Dağıtımını bulmak $Z_n$ , tanımını değiştirin ve ortaya çıkan eşitsizliği basitleştirin:

\begin{aligned} Pr (Z_{n} > t) & = Pr (Z_{n} / n > t / n) = Pr (\exp (Z_{n} / n) > e^{t / n}) \\ = Pr (\frac{max (X_{(n)}, Y_{(n)})}{min (X_{(n)}, Y_{(n)})} > e^{t / n}) \\ = Pr (e^{- t / n} max (X_{(n)}, Y_{(n)}) > min (X_{(n)}, Y_{(n)})) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr(Z_n \gt t) &= \Pr(Z_n / n \gt t/n) = \Pr\left(\exp(Z_n/n) \gt e^{t/n}\right) \\ &=\Pr\left(\frac{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})}{\min(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt e^{t/n}\right) \\ &= \Pr\left(e^{-t/n}{\max(X_{(n)}, Y_{(n)})} \gt {\min(X_{(n)}, Y_{(n)})}\right). }$

Bu olay, $X_{(n)}$ veya $Y_{(n)}$ ikisinden daha küçüktür (ve sıfır olasılıkla kesişimleri göz ardı edilebilir). Bu nedenle, bu davalardan sadece birinin şansını hesaplamamız gerekir ( $Y_{(n)}$ küçüktür) ve iki katına çıkarın. Dan beri $t\ge 0$ , $0 \le e^{-t/n}X_{(n)} \le 1$ , izin ver (izin verdikten sonra $e^{-t/n}X_{(n)}$ rolünü oynamak $y$ ) Hesaplamaları ön bölümde uygulamak için:

Pr (Z_{n} > t) = 2 Pr (e^{- t / n} X_{(n)} > Y_{(n)}) = 2 E [{(e^{- t / n} X_{(n)})}^{n}] = e^{- t} E [2 X_{(n)}^{n}] = e^{- t} .

$\Pr(Z_n \gt t) =2\Pr\left(e^{-t/n}X_{(n)} \gt {Y_{(n)}}\right) =2 \mathbb{E}\left[\left(e^{-t/n}{X_{(n)}}\right)^n\right] = e^{-t} \mathbb{E}\left[2{X_{(n)}^n}\right] = e^{-t}.$

Bunun anlamı bu $Z_n$ Exp sahibi olmak $(1)$ dağılımı.

— whuber
kaynak

Çözümü çizeceğim, burada nitritleri yapmak için bir bilgisayar cebir sistemi kullanarak ...

Çözüm

Eğer $X_1, ... , X_n$ boyutta bir örnek $n$ ebeveynte $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ , o zaman maksimum örnek pdf'si:

f_{n} (x) = \frac{n}{a^{n}} x^{n - 1}

$f_{n}(x) = \frac{n}{a^n} x^{n-1}$ ve benzer şekilde

Y

$Y$ .

Yaklaşım 1: Ortak pdf'yi bulun $(X_{(n)},Y_{(n)})$

Dan beri $X$ ve $Y$ bağımsızdır, maksimum 2 örneklemin ortak pdf'si $(X_{(n)},Y_{(n)})$ 2 pdf'lerin ürünü $f_{(n)}(x,y)$ :

verilmiş $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ . Sonra cdf $Z_n$ dır-dir $P(Z_n < z)$ dır-dir:

Mathematica'nın otomatikleştirmek için mathStatica paketindeki Probişlevi kullanıyorum . Cdf wrt'ı farklılaştırma $z$ pdf'sini verir $Z_n$ standart olarak Üstel.

Yaklaşım 2: Sipariş istatistikleri

Maks ve Min fonksiyonları ile uğraşmak için mekaniği 'by-pass' etmek için sipariş istatistiklerini kullanabiliriz.

Bir kez daha: Eğer $X_1, ... , X_n$ boyutta bir örnek $n$ ebeveynte $X \sim \text{Uniform}(0,a)$ , sonra maksimum örnek pdf'si $W = X_{(n)}$ demek, $f_n(w)$ :

Numune maksimumları $X_{(n)}$ ve $Y_{(n)}$ bu dağıtımdan sadece iki bağımsız çizim $W$ ; yani $1^{st}$ ve $2^{nd}$ sipariş istatistikleri $W$ (2 boyuttaki bir örnekte) tam olarak aradığımız şeyler:

$W_{(1)} = \min(Y_{(n)},X_{(n)})$
$W_{(2)} = \max(Y_{(n)},X_{(n)})$

Ortak pdf $(W_{(1)}, W_{(2)})$ , 2 boyuttaki bir örnekte, $g(.,.)$ , dır-dir:

verilmiş $Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$ . Sonra cdf $Z_n$ dır-dir $P(Z_n < z)$ dır-dir:

Bu yaklaşımın avantajı, olasılık hesaplamasının artık türetmeyi (özellikle elle) ifade etmeyi biraz daha kolaylaştırabilecek max / min fonksiyonlarını içermemesidir.

Diğer

Yukarıdaki yorumuma göre, soruyu yanlış yorumladığınız anlaşılıyor ...

Bulmamız isteniyor:

Z_{n} = n \log \frac{max (Y_{(n)}, X_{(n)})}{min (Y_{(n)}, X_{(n)})}

$Z_n= n\log\frac{\max(Y_{(n)},X_{(n)})}{\min(Y_{(n)},X_{(n)})}$

payda min (xMax, yMax), ... $X$ ve $Y$ 'S.

— Wolfies
kaynak

Eskizden sonra soruyu nasıl yanlış yorumladığımı anlıyorum. İki örnek maksimumun ortak pdf'sini nasıl hesaplayacağımı anlıyorum, ancak yine de max / min oranını nasıl yorumlayacağımızdan emin değilim.

— Susan

Maks. / Dak. 'Atlatan' sipariş istatistiklerini kullanarak alternatif bir türev ekledim.

— wolfies

Verilerin günlükleri ile başlamış olsaydınız, Susan, oranlardan ziyade sipariş istatistiklerinin farklılıklarına bakarsınız .

— whuber

Oranın bir Exp (1) rasgele değişkeni olmasının nedenini açıklamanın en iyi yolu bilgisayar resmi hesaplamaları kullanarak ikna olmadım.

— Xi'an

İyi bir nokta ... OP hariç sebebini sormuyor ... ama bunun Exp [1] olduğunu göstermek. Ayrıca bunun ev ödevi (veya ödev) olup olmadığından emin değilim ... ve aslında bir bilgisayar kullanmanın güzel bir avantajı: biri takip edilecek adımları sağlar, sonucu doğrular, böylece doğru bir yaklaşıma sahip olur ancak mekanik hala OP'ye bırakılmıştır. Birisi başlangıçta günlükleri alarak @ whuber'ın önerisini keşfetmek için iyi olurdu.

— Wolfies