Normal dağılımların iki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahibim:
ve
Ben ve arasındaki ayrımın olasılık yoğunluk fonksiyonu arıyorum . Sanırım bu. Bu doğru mu? Bunu nasıl bulurum?x 2 | x 1 - x 2 |
Normal dağılımların iki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahibim:
ve
Ben ve arasındaki ayrımın olasılık yoğunluk fonksiyonu arıyorum . Sanırım bu. Bu doğru mu? Bunu nasıl bulurum?x 2 | x 1 - x 2 |
Yanıtlar:
İki rastgele değişkenler üstlenerek sadece belirtilen bu soru yanıtlanabilir ve X 2 bağımsız olan bu dağılımların tarafından yönetilir. Bu, ortalama μ = μ 2 - μ 1 ve varyans σ 2 = σ 2 1 + σ 2 2 ile farklarını Normal yapar . (Aşağıdaki çözüm kolayca herhangi bir iki değişkenli Normal dağılımına genelleştirilebilir ( X 1 , X 2 .) Böylece değişken
standart bir Normal dağılıma (yani sıfır ortalama ve birim varyansla) sahiptir ve
İfade
mutlak farkı, bir serbestlik derecesi ve merkez-dışılık parametresi λ = ( μ / σ ) 2 olan Merkezi olmayan bir ki-kare dağılımının kare kökünün ölçekli bir versiyonu olarak gösterir . A Bu parametrelerle merkezi olmayan ki kare dağılımının olasılık öğesi vardır
Yazma için X > 0 kurar arasında bire bir uygunlukta y ile sonuçlanır ve kare kök
Bunu basitleştirmek ve sonra yeniden ölçeklendirmek istenen yoğunluğu verir,
Bu sonuç, simülasyonlar tarafından desteklenen bu tür 100,000 bağımsız olarak bu histogram ait çizer olarak (kodda "x" olarak adlandırılır) μ 1 = - 1 , μ 2 = 5 , σ 1 = 4 , σ 2 = 1 parametreleri ile . Üzerinde f | X | histogram değerleriyle düzgün bir şekilde çakışır.
R
Bu simülasyon için kod izler.
#
# Specify parameters
#
mu <- c(-1, 5)
sigma <- c(4, 1)
#
# Simulate data
#
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
x.sim <- matrix(rnorm(n.sim*2, mu, sigma), nrow=2)
x <- abs(x.sim[2, ] - x.sim[1, ])
#
# Display the results
#
hist(x, freq=FALSE)
f <- function(x, mu, sigma) {
sqrt(2 / pi) / sigma * cosh(x * mu / sigma^2) * exp(-(x^2 + mu^2)/(2*sigma^2))
}
curve(f(x, abs(diff(mu)), sqrt(sum(sigma^2))), lwd=2, col="Red", add=TRUE)
Bir istatistikçi olmayanın (yani bir serbestlik derecesine sahip merkezi olmayan ki-kare dağılımları hakkında fazla bir şey bilmeyen biri) yazabileceği anlamında @whuber tarafından tamamlayıcı olan bir cevap sağlıyorum, ve bir neofitin nispeten kolay takip edebileceği.
Normal olarak dağıtılan iki X ve Y değişkeni arasındaki farkın dağılımı da normal bir dağılımdır, X ve Y'nin bağımsız olduğu varsayılarak (yorum için teşekkürler Mark). İşte bir türev: http://mathworld.wolfram.com/NormalDifferenceDistribution.html
Burada, whuber'ın cevabına bağlı olarak mutlak farkı soruyorsunuz ve X ve Y'nin ortalaması arasındaki farkın sıfır olduğunu varsayarsak, yoğunluğun iki katı olan sadece normal bir dağılımdır (yorum için teşekkürler Dilip).
self-study
etiketini kullanın . Ödev sorularını kabul ediyoruz, ancak burada biraz farklı ele alıyoruz.