İki normal dağılım arasındaki farkın dağılımı


21

Normal dağılımların iki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahibim:

f1(x1|μ1,σ1)=1σ12πe-(x-μ1)22σ12

ve

f2(x2|μ2,σ2)=1σ22πe-(x-μ2)22σ22

Ben ve arasındaki ayrımın olasılık yoğunluk fonksiyonu arıyorum . Sanırım bu. Bu doğru mu? Bunu nasıl bulurum?x 2 | x 1 - x 2 |x1x2|x1-x2|


Bu ödev ise lütfen self-studyetiketini kullanın . Ödev sorularını kabul ediyoruz, ancak burada biraz farklı ele alıyoruz.
shadowtalker

Ayrıca, "o adam" olmak istemiyorum ama Google'ı denedin mi? "Normal dağılımlar arasındaki fark" hemen bana bir cevap buldu.
shadowtalker

@ ssdecontrol hayır, ödev değil, ama bir hobi projesi için, bu yüzden doğru yola koyarsam kendim bazı şeyler bulmak zorunda kalmam. Google'ı denedim, ancak konuyla ilgili kavrayışım o kadar sınırlı ki, önümde olsaydı muhtemelen tanımayacağım. tırnak işareti ile bazı x için "normal dağılım ve x arasındaki fark nedir?"
Martijn

Yanıtlar:


26

İki rastgele değişkenler üstlenerek sadece belirtilen bu soru yanıtlanabilir ve X 2 bağımsız olan bu dağılımların tarafından yönetilir. X1X2 Bu, ortalama μ = μ 2 - μ 1 ve varyans σ 2 = σ 2 1 + σ 2 2 ile farklarını Normal yapar . (Aşağıdaki çözüm kolayca herhangi bir iki değişkenli Normal dağılımına genelleştirilebilir ( X 1 , X 2X=X2-X1μ=μ2-μ1σ2=σ12+σ22 .) Böylece değişken(X1,X2)

Z=X-μσ=X2-X1-(μ2-μ1)σ12+σ22

standart bir Normal dağılıma (yani sıfır ortalama ve birim varyansla) sahiptir ve

X=σ(Z+μσ).

İfade

|X2-X1|=|X|=X2=σ(Z+μσ)2

mutlak farkı, bir serbestlik derecesi ve merkez-dışılık parametresi λ = ( μ / σ ) 2 olan Merkezi olmayan bir ki-kare dağılımının kare kökünün ölçekli bir versiyonu olarak gösterir . A Bu parametrelerle merkezi olmayan ki kare dağılımının olasılık öğesi vardırλ=(μ/σ)2

f(y)dy=y2πe12(-λ-y)coplamak(λy)dyy, y>0.

Yazma için X > 0 kurar arasında bire bir uygunlukta y ile sonuçlanır ve kare köky=x2x>0y

f(y)dy=f(x2)d(x2)=x22πe12(-λ-x2)coplamak(λx2)dx2x2.

Bunu basitleştirmek ve sonra yeniden ölçeklendirmek istenen yoğunluğu verir,σ

f|X|(x)=1σ2πcoplamak(xμσ2)exp(-x2+μ22σ2).

Bu sonuç, simülasyonlar tarafından desteklenen bu tür 100,000 bağımsız olarak bu histogram ait çizer olarak (kodda "x" olarak adlandırılır) μ 1 = - 1 , μ 2 = 5 , σ 1 = 4 , σ 2 = 1 parametreleri ile . Üzerinde f | X | histogram değerleriyle düzgün bir şekilde çakışır.|X|=|X2-X1|μ1=-1,μ2=5,σ1=4,σ2=1f|X|

şekil

RBu simülasyon için kod izler.

#
# Specify parameters
#
mu <- c(-1, 5)
sigma <- c(4, 1)
#
# Simulate data
#
n.sim <- 1e5
set.seed(17)
x.sim <- matrix(rnorm(n.sim*2, mu, sigma), nrow=2)
x <- abs(x.sim[2, ] - x.sim[1, ])
#
# Display the results
#
hist(x, freq=FALSE)
f <- function(x, mu, sigma) {
 sqrt(2 / pi) / sigma * cosh(x * mu / sigma^2) * exp(-(x^2 + mu^2)/(2*sigma^2)) 
}
curve(f(x, abs(diff(mu)), sqrt(sum(sigma^2))), lwd=2, col="Red", add=TRUE)

Kare farkı almak istersem bu nasıl farklı olurdu? Örneğin ? (f1(.)-f2(.))2
user77005

1
@ user77005 Bunun cevabı yazımda: merkezi olmayan bir ki-kare dağılımı. Ayrıntılar için bağlantıyı takip edin.
whuber

22

Bir istatistikçi olmayanın (yani bir serbestlik derecesine sahip merkezi olmayan ki-kare dağılımları hakkında fazla bir şey bilmeyen biri) yazabileceği anlamında @whuber tarafından tamamlayıcı olan bir cevap sağlıyorum, ve bir neofitin nispeten kolay takip edebileceği.

Z=X1-X2~N-(μ,σ2)μ=μ1-μ2σ2=σ12+σ22x0

F|Z|(x)P{|Z|x}=P{-xZx}=P{-x<Zx}dan beri Z sürekli rastgele bir değişkendir=FZ(x)-FZ(-x),
F|Z|(x)=0x<0x
f|Z|(x)xF|Z|(x)=[fZ(x)+fZ(-x)]1(0,)(x)=[exp(-(x-μ)22σ2)σ2π+exp(-(x+μ)22σ2)σ2π]1(0,)(x)=exp(-x2+μ22σ2)σ2π(exp(xμσ2)+exp(xμσ2))1(0,)(x)=1σ2πcoplamak(xμσ2)exp(-x2+μ22σ2)1(0,)(x)

1
+1 Her zaman mümkün olan en temel ilke ve varsayımlardan işe yarayan çözümleri görmek isterim.
whuber

1

Normal olarak dağıtılan iki X ve Y değişkeni arasındaki farkın dağılımı da normal bir dağılımdır, X ve Y'nin bağımsız olduğu varsayılarak (yorum için teşekkürler Mark). İşte bir türev: http://mathworld.wolfram.com/NormalDifferenceDistribution.html

Burada, whuber'ın cevabına bağlı olarak mutlak farkı soruyorsunuz ve X ve Y'nin ortalaması arasındaki farkın sıfır olduğunu varsayarsak, yoğunluğun iki katı olan sadece normal bir dağılımdır (yorum için teşekkürler Dilip).


3
Wolfram Mathworld ile birlikte 2 normal dağılımın (rasgele değişkenler) bağımsız olduğunu varsayıyorsunuz. 2 normal rastgele değişken iki değişkenli normal değilse, fark normalde dağıtılmaz, bu bağımsız değilse gerçekleşebilir.
Mark L. Stone

4
μ1=μ20

Yorumlarınız için teşekkür ederim. Şimdi cevabımı yorumlarınıza ve whuber'ın cevabına göre revize ettim.
yuqian
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.