Gizli Noel Baba aranjmanının mükemmel eşleşmelerle sonuçlanması olasılığı

Yani, gizli Noel Baba'mız işteydi.

8 kişiyiz. Her birimiz sırayla bir kaseden küçük bir kağıt parçası çektik. Tek kural: Eğer isminizi çekerseniz, kağıdı tekrar kaseye koyup tekrar denemeniz gerekir.

A, B, C, D, E, F, G, H insanlarını da arayalım, ki bu da kağıtlarını seçtikleri sıra.

Dün gece hediye alışverişi yaptık.

A, F'nin gizli santa'sıydı.
B E'nin gizli santa'sıydı.
C, D'nin gizli santa'sıydı.
D, C'nin gizli santa'sıydı.
E, B'nin gizli santa'sıydı.
F, A'nın gizli santa'sıydı.
G, H'nin gizli santa'sıydı.
H, G'nin gizli santa'sıydı.

Ne olduğunu gördün mü? Çiftler yaptık.

A ve F birbirlerinin gizli noel babalarıydı.
B ve E birbirlerinin gizli noel babalarıydı.
C ve D birbirlerinin gizli noel babalarıydı.
G ve H birbirlerinin gizli noel babalarıydı.

Bunun olma olasılığı nedir ve nasıl hesaplanır?

Kimsenin kendisine atanmadığı kişi arasındaki toplam atama sayısı (Bunlara düzensizlik denir .) Değer ( 2 n ) değerine çok yakın ! / e .$2n$

$$d(2n) = (2n)!(1/2 - 1/6 + \cdots + (-1)^k/k! + \cdots + 1/(2n)!).$$ $(2n)! / e$

Mükemmel eşleşmelere karşılık gelirlerse, ayrık transpozisyonların bir ürünüdürler . Bu onların döngü yapısının formda olduğunu ima eder

$$(a_{11}a_{12})(a_{21}a_{22})\cdots(a_{n1}a_{n2}).$$

Bu tür farklı paternlerin sayısı, adının tüm permütasyonlarının grubunun , paternin stabilizatörünün sırasına bölünmesidir. Bir stabilize edici eleman herhangi bir sayıda çifti değiştirebilir ve ayrıca n ! çiftler, o zaman 2 n n var ! dengeleyici elemanlar. Bu nedenle var$2n$$n!$$2^n n!$

$$p(2n) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$$

böyle eşlemeler.

Tüm bu mükemmel eşleşmeler düzenlemeler olduğundan ve tüm düzenlemelerin eşit olması muhtemel olduğundan, şans eşittir

$$\frac{p(2n)}{d(2n)} = \frac{1}{2^n n!(1 - 1/2 + 1/6 - \cdots + (-1)^k/k! + \cdots + 1/(2n)!)} \approx \frac{e}{2^n n!}.$$

İçin kişi tam cevap nedenle 15 / 2119 ≈ 0,00707881 yaklaşım ise , e / ( 2 $2n=8$$15/2119 \approx 0.00707881$ : Beş önemli rakama katılıyorlar.$e/(2^4\, 4!) \approx 0.00707886$

---

Kontrol etmek için, bu Rsimülasyon sekiz nesnenin rasgele milyonlarca permütasyonunu çizer, sadece düzensiz olanları korur ve mükemmel eşlemeler olanları sayar. Tahminini, tahminin standart hatasını ve teorik değerle karşılaştırmak için bir Z-skoru çıkarır. Çıkışı

       p.hat           se            Z 
 0.006981031  0.000137385 -0.711721705

Küçük Z skoru teorik değerle tutarlıdır. (Bu sonuçlar arasında herhangi bir teorik değer ile uyumlu olacaktır ve 0.0073 ).$0.0066$$0.0073$

paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0
good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0

n <- 8
set.seed(17)
x <- replicate(1e6, sample(1:n, n))
i.good <- apply(x, 2, good)
i.paired <- apply(x, 2, paired)

n.deranged <- sum(i.good)
k.paired <- sum(i.good & i.paired)
p.hat <- k.paired / n.deranged
se <- sqrt(p.hat * (1-p.hat) / n.deranged)
(c(p.hat=p.hat, se=se, Z=(p.hat - 15/2119)/se))

@Whuber cevabındaki şıklık beni oldukça etkiledi. Dürüst olmak gerekirse, çözümündeki adımları takip etmek için kendimi yeni kavramlarla tanıştırmak zorunda kaldım. Üzerinde çok zaman geçirdikten sonra, sahip olduğum şeyi göndermeye karar verdim. Bundan sonra, zaten kabul edilen cevabına dair exegetical bir not var. Bu şekilde özgünlük girişimi olmaz ve tek amacım, ilgili adımların bazılarını takip etmek için bazı ilave sabitleme noktaları sağlamaktır.

İşte gidiyor ...

$2n$

2. Düzensizlikler için formül elde edebilir miyiz?

$n$

$d(n)=(n-1)[d(n-2) + d(n-1)]=$

$=n\,d(n-2)-d(n-2)+n\,d(n-1)-d(n-1)$

$d(n) - n\,d(n-1) = -[d(n-1)-(n-1)\,d(n-2)]$

Şimdi bu denklemin LHS'si ve RHS üzerindeki parantez içindeki kısmı arasındaki paralelliğe dikkat ederek tekrar tekrar devam edebiliriz:

$d(n) - n\,d(n-1)=-[d(n-1)-(n-1)\,d(n-2)] =$

$=(-1)^2\,[d(n-2)-(n-2)\,d(n-3)]=\cdots=(-1)^{n-2}\,d(2)-2\,d(1)$

Bu, anlamına gelir.$d(n) = n\,d(n-1)+(-1)^n$

Geriye doğru çalışma:

$d(2)=1$

$d(3)= 3\,d(2)-1 =3*1\,-1$

$d(4)= 4\,d(3)+1 =4*3*1\,-4\,\,+1$

$d(5)= 5\,d(4)-1 =5*4*3*1\,-5*4\,+5\,\,-1$

$d(6)= 6\,d(5)+1 = 6*5*4*3*1\,-6*5*4\,+6*5\,-6\,+1=$

$=6!\left(\frac{1}{2}- \frac{1}{3*2}+\frac{1}{4*3*2}-\frac{1}{5*4*3*2}+\frac{1}{6!}\right)=$

$=6!\left(\frac{1}{6!}-\frac{1}{5!}+\frac{1}{4!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{1!}+1\right)$

Genel olarak,

$d(n)=n!\left(1-1+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)$

$e^x$$x=-1$

$d(n)\approx\frac{n!}{e}$

${a,b,c,d,e,f}$${b,d,a,c,f,e}$a -> b -> d -> c after which it returns to ae -> f$(\text {a b d c})(\text{e f})$

$4$

$(2n)!$$2n$$2^n$$n!$$p(2n) = \frac{(2n)!}{2^n n!}$

---

İçin Rsimülasyonu:

1. paired <- function(x) crossprod(x[x] - 1:length(x))==0

x[x]$8$Paul -> MariaMaria -> PaulMax -> JohnJohn -> MaxMax -> MariaMaria -> MaxPaul -> JohnJohn -> Paul

i $1$

2. good <- function(x) sum(x==1:length(x)) == 0

$x$$(1,2,3,4,5,6,7,8)$

3.k.paired <- sum(i.good & i.paired) diyagramda yukarıdaki gibi, düzenlemeler olmayan eşleştirilmiş permütasyonları hariç tutmak için var mı:

v <- c(1,2,3,4,5,6,7,8)
w <- c(1,2,3,5,4,6,7,8)

(c("is v paired?" = paired(v), "is w paired?" = paired(w),
   "is v a derang?" = good(w), "is w a derang?" = good(w)))

# not all paired permutations are derangements.