Poisson dağılımı neden Queuing teorisi problemlerindeki varış süreçlerini modellemek için seçildi?

Bireylerin bir servis düğümüne ulaştığı ve kuyruk oluşturduğu Queuing teorisi senaryolarını düşündüğümüzde, genellikle varış zamanlarını modellemek için bir Poisson süreci kullanılır. Bu senaryolar ağ yönlendirme sorunlarında ortaya çıkar. Poisson sürecinin gelenleri modellemek için neden en uygun olduğuna dair sezgisel bir açıklamayı takdir ediyorum.

poisson-distribution intuition queueing

— Vighnesh
kaynak

Yanıtlar:

Poisson süreci, bir sonraki müşterinin gelmesine kadar "hafızasız" bir bekleme süresi içerir. Bir müşteriden diğerine ortalama sürenin olduğunu varsayalım . Bir sonraki varışa kadar hafızasız bir sürekli olasılık dağılımı, bir sonraki varışa kadar ek bir dakika, saniye veya saat vb. Bekleme olasılığının, bir sonraki varışa kadar ne kadar beklediğinize bağlı olmadığı bir dağılımdır. . Son varıştan bu yana beş dakika beklediğiniz, bir müşterinin bir sonraki dakikaya ulaşma olasılığını artırmaz, son varıştan bu yana sadece 10 saniye beklemenizden daha olasıdır. $\theta$

Bu otomatik olarak bir sonraki varışa kadar bekleme süresinin karşıladığını gösterir , yani üstel bir dağılımdır. $T$ $\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

Ve bu da sayısı anlamına gösterilebilir bu müşterilerin uzunluğu herhangi bir zaman aralığı boyunca gelen karşılayan , yani beklenen değeri olan bir Poisson dağılımına sahiptir . Ayrıca, çakışmayan zaman aralıklarında gelen müşteri sayısının olasılıkla bağımsız olduğu anlamına gelir. $X$ $t$ $\Pr(X=x) = \dfrac{e^{-t/\theta} (t/\theta)^x}{x!}$ $t/\theta$

Böylece bekleme sürelerinin hafızasızlığı Poisson sürecine yol açar.

— Michael Hardy
kaynak

Teoremler ne derse desin, - normal durumlarda - gelişlerin hafızasız olduğu deneysel bir gerçektir. Sen olamaz kanıtlamak gerçekten müşterilerine sayısı bazı dönem hiçbir şey gelmeden söyledi.

Sorunun amacı resmi bir kanıt istemek değildi. Çoğu zaman, bir teoremi ortaya çıkaran gözlemler yapılır ve daha sonra sezgi gözlemlere uyacak şekilde 'geliştirilir' ve böylece teoremi popüler anlayışta sağlamlaştırmaya yardımcı olur. Benzer bir şey arıyordum. Sorumu aynısını içerecek şekilde düzenledim.

— Vighnesh

Cevap için teşekkürler. Daha az gelen hafızanın nasıl yol açtığını tam olarak takip etmedim . Lütfen bu konuyu detaylı olarak anlatan bir referans hazırlayabilir veya alıntı yapabilir misiniz? Teşekkürler.

Pr (T > t) = e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

— Vighnesh

Hafızasızlık der . Bu aynıdır . Etkinlik etkinlik aynıdır . Bu nedenle koşullu olasılık . Hafızasızlık bunun aynı olduğunu söylüyor . Bu nedenle . değerini karşılayan monoton bir fonksiyon üstel bir fonksiyondur. Ve tekdüzelik den daha az olması gerektiği gerçeğinden kaynaklanmaktadır, çünkü eski olay

Pr (T > t + s ∣ T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\mid T>t) = \Pr(T>s)$

Pr (T > t + s and T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\text{ and }T>t) = \Pr(T>s)$

[T > t + s and T > t]

$[T>t+s\text{ and }T>t]$

T > t + s

$T>t+s$

Pr (T > t + s) / Pr (T > t)

$\Pr(T>t+s)/\Pr(T>t)$

Pr (T > s)

$\Pr(T>s)$

Pr (T > t + s) = Pr (T > t) Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s)=\Pr(T>t)\Pr(T>s)$

g

$g$

g (t + s) = g (t) g (s)

$g(t+s)=g(t)g(s)$

Pr (T > t + s)

$\Pr(T>t+s)$

Pr (T > t)

$\Pr(T>t)$

— Michael Hardy

olmamalı mı ?

Pr (T > t) = 1 / θ * e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = 1/\theta*e^{-t/\theta}$

— vonjd

Kuyruk teorisine veya stokastik süreçler kitabına hemen hemen her şey bunu kapsayacaktır, örneğin, Ross, Stokastik Süreçler veya Kleinrock, Kuyruk Teorisi.

Hafızasız gelişlerin üstel bir fark yarattığına dair bir kanıt taslağı için:

G (x) = P (X> x) = 1 - F (x) olsun. Şimdi, eğer dağılım hafızasızsa,

G (s + t) = G (s) G (t)

yani, x> s + t = s'den büyük olma olasılığı ve şimdi, s'den büyük olma olasılığı, (s + t) 'den büyüktür. Hafızasızlık özelliği, ikinci (koşullu) olasılığın, aynı dağılım> t ile farklı bir rv olasılığına eşit olduğu anlamına gelir.

Ross'tan alıntı yapmak için:

"Yukarıdaki denklemin her türlü makul koşulu (monotonluk, sağ veya sol süreklilik, hatta ölçülebilirlik gibi) karşılayan tek çözümleri şu şekildedir:"

G (x) = a'nın uygun bir değeri için exp (-ax).

ve Üstel dağılımdayız.

— jbowman
kaynak

Robert Gallager'ın STOKASTİK SÜREÇLER TASLAK: BAŞVURULAR TEORİSİ ( rle.mit.edu/rgallager/notes.htm ) Poisson sürecinin tartışılması da dahil olmak üzere stokastik süreçlere giriş için iyi bir ücretsiz alternatif

— Martin Van der Linden

Robert Gallager'ın STOKASTİK SÜREÇLERİNİN RAFI: BAŞVURULAR TEORİSİ

— Martin Van der Linden