Bir aralığın oran dağılımı ve örnek ortalaması nedir?

Let ortalama ile istatistiksel bağımsız üstel rastgele değişken bir numune olduğu ve izin , bu örnek olarak sipariş istatistikleri. Let . $X_1,\dots,X_n$ $\beta$ $X_{(1)},\dots,X_{(n)}$ $\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$

tanımlayınGösterilebilir her birinin ile Yani, aynı zamanda üstel .

W_{ben} = X_{(ben + 1)} - X_{(ben)} \forall 1 \leq ben \leq n - 1 .

$W_i=X_{(i+1)}-X_{(i)}\ \forall\ 1 \leq i \leq n-1\,.$

W_{i}

$W_i$

β_{i} = \frac{β}{n - i}

$\beta_i=\frac{\beta}{n-i}$

Soru: bilindiği ve negatif olmadığı yerlerde bulmaya nasıl giderim ? $\mathbb{P}\left( \frac{W_i}{\bar X} > t \right)$ $t$

Deneme: Bunun olduğunu biliyorum . Bu yüzden toplam olasılık yasasını şu şekilde kullandım: $1 - F_{W_i}\left(t \bar X\right)$

P (W_{ben} > t \bar{X}) = 1 - F_{W_{ben}} (t \bar{X}) = 1 - \int_{0}^{\infty} F_{W_{ben}} (t s) f_{\bar{X}} (s) d s,

$\mathbb{P}\left( W_i > t \bar X \right) = 1 - F_{W_i}\left( t \bar X \right) = 1 - \int_0^\infty F_{W_i}(ts)f_{\bar X}(s) \mathrm{d}s \,,$

bu da dağınık hale geliyor ama bence izlenebilir bir integral.

Burada doğru yolda mıyım? Bu, Toplam Olasılık Kanunu'nun geçerli bir kullanımı mı?

Başka bir yaklaşım fark dağılımına bakmak olabilir:

P (W_{ben} - t \bar{X} > 0)

$\mathbb{P}\left( W_i - t \bar X > 0\right)$

Ya da toplamları ayırın:

P (W_{ben} - t \bar{X} > 0) = P ((X_{(ben + 1)} - X_{(ben)}) + \frac{t}{n} (X_{(1)} + \dots + X_{(n)}))

$\mathbb{P}\left( W_i - t \bar X > 0 \right) = P \left( \left(X_{(i+1)} - X_{(i)}\right) + \frac{t}{n}\left(X_{(1)} + \dots + X_{(n)} \right) \right)$

Üstel durum için bir çözüm harika olurdu, ancak daha da iyisi, dağıtım üzerindeki bir tür genel kısıtlama olacaktır. Ya da en azından bana Chebyshev ve Markov eşitsizlikleri vermek için yeterli olan anları.

Güncelleme: İşte ilk yöntemin integrali:

\begin{aligned} 1 - \int_{0}^{\infty} (1 - \exp (- \frac{t s}{β_{i}})) (\frac{1}{Γ (n) β^{n}} s^{n - 1} \exp (- β s)) d s \\ 1 - \int_{0}^{\infty} (1 - \exp (- \frac{(n - i) t s}{β})) (\frac{1}{Γ (n) β^{n}} s^{n - 1} \exp (- β s)) d s \end{aligned}

$\begin{align} 1 - \int_0^\infty \left( 1 - \exp \left( -\frac{ts}{\beta_i} \right) \right) \left( \frac{1}{\Gamma(n)\beta^n} s^{n-1} \exp \left( -\beta s \right) \right) \mathrm{d}s \\ 1 - \int_0^\infty \left( 1 - \exp \left( -\frac{(n-i)ts}{\beta} \right) \right) \left( \frac{1}{\Gamma(n)\beta^n} s^{n-1} \exp \left( -\beta s \right) \right) \mathrm{d}s \end{align}$

Bir süredir onunla oynuyorum ve nereye gideceğimi bilmiyorum.

— shadowtalker
kaynak

Aldığınız integral, parantez terimlerini dağıttıktan sonra nispeten basit görünür. Değişkenlerin değişmesinden sonra, bazı gama fonksiyonları elde edeceğiniz anlaşılıyor.

— Alex R.6

@AlexR gerçekten de öyle, ama yarım kaldıktan sonra 0 ile 1 arasında sınırlanmayacağından şüphelenmeye başladım. Sorunu doğru kurduğumu doğrulamak için daha fazla arıyorum. İntegralin kendisine takılırsam Math.SE'ye soracağım

— shadowtalker

Burada karşılaştığınız zorluk, bağımsız olmayan rasgele değişkenlerle ilgili bir olayın olması. Olay, bağımsız artışları karşılaştıracak şekilde manipüle edilerek basitleştirilebilir ve çözülebilir. Biz ilk not Bunu yapmak için bunun için , sipariş istatistiklerinin her biri şu şekilde yazılabilir: $X_1, ..., X_N \sim \text{IID Exp}(\beta)$

X_{(k)} = β \sum_{i = 1}^{k} \frac{Z_{i}}{n - i + 1},

$X_{(k)} = \beta \sum_{i=1}^{k} \frac{Z_i}{n-i+1},$

burada (bakınız örn., Renyi 1953, David ve Nagaraja 2003). Bu, yazmamızı sağlar ve örnek ortalamasını şu şekilde yazabiliriz: $Z_1, Z_2, ..., Z_n \sim \text{IID Exp} (1)$ $W_k = \beta Z_{k+1} / (n-k)$

\begin{aligned} \bar{X} \equiv \frac{β}{n} \sum_{k = 1}^{n} X_{(k)} & = \frac{β}{n} \sum_{k = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{k} \frac{Z_{i}}{n - i + 1} \\ = \frac{β}{n} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = i}^{n} \frac{Z_{i}}{n - i + 1} \\ = \frac{β}{n} \sum_{i = 1}^{n} Z_{i} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \bar{X} \equiv \frac{\beta }{n} \sum_{k=1}^n X_{(k)} &= \frac{\beta }{n} \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^k \frac{Z_i}{n-i+1} \\ &= \frac{\beta }{n} \sum_{i=1}^n \sum_{k=i}^n \frac{Z_i}{n-i+1} \\ &= \frac{\beta }{n} \sum_{i=1}^n Z_i. \end{aligned} \end{equation}$

Analizimizi kolaylaştırmak için miktarı tanımlarız:

a \equiv \frac{t (n - k)}{n - t (n - k)} .

$a \equiv \frac{t(n-k)}{n-t(n-k)}.$

For zaman elimizde: $a > 0$

\begin{aligned} P (W_{k} ⩾ t \bar{X}) & = P (\frac{Z_{k + 1}}{n - k} ⩾ \frac{t}{n} \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}) \\ = P (\frac{n}{n - k} \cdot Z_{k + 1} ⩾ t \sum_{i = 1}^{k} Z_{i}) \\ = P ((\frac{n}{n - k} - t) Z_{k + 1} ⩾ t \sum_{i \neq k} Z_{i}) \\ = P ((\frac{n}{n - k} - t) Z ⩾ t G) = P (Z ⩾ a G), \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) &= \mathbb{P} \left( \frac{Z_{k+1}}{n-k} \geqslant \frac{t}{n} \sum_{i=1}^n Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \frac{n}{n-k} \cdot Z_{k+1} \geqslant t \sum_{i = 1}^k Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \left( \frac{n}{n-k} - t \right) Z_{k+1} \geqslant t \sum_{i \neq k} Z_i \right) \\ &= \mathbb{P} \left( \left( \frac{n}{n-k} - t \right) Z \geqslant t G \right) = \mathbb{P} \left( Z \geqslant a G \right), \end{aligned} \end{equation}$

$Z \sim \text{Exp} (1)$ $G \sim \text{Ga}(n-1, 1)$ $t \geqslant n / (n-k)$ $\mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) = 0$ $t < n / (n-k)$ $a>0$

\begin{aligned} P (W_{k} ⩾ t \bar{X}) & = \int_{0}^{\infty} ga (g | n - 1, 1) \int_{bir g}^{\infty} Tecrübe (z | 1) d z d g \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (n - 1)} g^{n - 2} tecrübe (- g) \int_{bir g}^{\infty} tecrübe (- z) d z d g \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (n - 1)} g^{n - 2} tecrübe (- g) (1 - tecrübe (bir g)) d g \\ = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (n - 1)} g^{n - 2} tecrübe (- g) d g - \int_{0}^{\infty} \frac{1}{Γ (n - 1)} g^{n - 2} tecrübe (- (bir + 1) g) d g \\ = 1 - (bir + 1)^{- (n - 1)} \\ = 1 - {(1 - \frac{n - k}{n} \cdot t)}^{n - 1} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \mathbb{P}(W_k \geqslant t \bar{X}) &= \int\limits_0^\infty \text{Ga} (g| n-1, 1 ) \int\limits_{ag}^\infty \text{Exp}(z|1) dz dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} \int\limits_{ag}^\infty \exp{(-z)} dz dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} \left( 1 - \exp (ag) \right) dg \\ &= \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-g)} dg - \int\limits_0^\infty \frac{1}{\Gamma{(n-1)}} g^{n-2} \exp{(-(a+1)g)} dg \\ &= 1 - (a+1)^{-(n-1)} \\ &= 1 - \left( 1- \frac{n-k}{n} \cdot t \right)^{n-1}. \end{aligned} \end{equation}$

$t$ $t=0$ $t = \frac{n}{n-k}$

— Ben - Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak