Önceki olasılık dağılımını nasıl resmileştirir? Kullanmanız gereken temel kurallar veya ipuçları var mı?

Bayesci istatistiksel analiz ve karar vermede önceki bilgi kavramını iyi kavradığımı düşünmekle birlikte, sık sık başımı başvurusunun etrafına sarmakta zorlanıyorum. Aklıma gelen mücadeleleri örnekleyen birkaç durum var ve şimdiye kadar okuduğum Bayesci istatistik ders kitaplarında doğru bir şekilde ele alınmadıklarını hissediyorum:

Diyelim ki birkaç yıl önce insanların% 68'inin bir ACME ürünü satın almakla ilgileneceğini söyleyen bir anket yürüttüm. Anketi tekrar uygulamaya karar verdim. Geçen seferki gibi aynı örnek boyutunu kullanacağım (örneğin, n = 400), o zamandan beri insanların görüşleri muhtemelen değişti. Bununla birlikte, daha önce 400 katılımcıdan 272'sinin "evet" yanıtı verdiği bir beta dağıtımı ile kullanırsam, birkaç yıl önce koştuğum ve şu anda yürüttüğüm ankete eşit ağırlık veririm. Verilerin birkaç yaşında olması nedeniyle öncekine koymak istediğim daha büyük belirsizliği belirlemek için bir kural var mı? Öncekini 272/400'ten, örneğin 136/200'e indirebileceğimi anlıyorum, ancak bu son derece keyfi geliyor ve merak ediyorum, belki de literatürde,

Başka bir örnek olarak, klinik bir çalışma yürütmek üzere olduğumuzu varsayalım. Araştırmayı başlatmadan önce, uzman görüşleri, önceki klinik çalışmalardan elde edilen sonuçlar (değişkenlik gösteren), diğer temel bilimsel gerçekler vb. Dahil olmak üzere, önceden bilgi olarak kullanabileceğimiz bazı ikincil araştırmalar yürütüyoruz. (bazıları nitelik olarak niceliksel değildir) önceki bir olasılık dağılımına? Sadece hangi ailenin seçileceği ve veriler tarafından boğulmasını sağlayacak kadar dağınık hale getirilmesine karar vermek mi, yoksa oldukça bilgilendirici bir ön dağıtım oluşturmak için çok fazla iş var mı?

— Phil
kaynak

İstatistiklere

— Tim

400 denemede 272 başarıya dair önceki bilgilerinizi işleme fikriniz oldukça sağlam Bayes haklılığına sahiptir.

Karşılaştığınız sorun, bildiğiniz gibi, başarı olasılığını tahmin etmektir. $\theta$ Bernoulli deneyinin Beta dağılımı karşılık gelen "önceki eşlenik" tir. Bu tür eşlenik öncelikler "hayali örnek yorumlama" nın tadını çıkarır:

Beta sürümü

π (θ) = \frac{Γ (α_{0} + β_{0})}{Γ (α_{0}) Γ (β_{0})} θ^{α_{0} - 1} (1 - θ)^{β_{0} - 1}

$\pi(\theta)=\frac{\Gamma(\alpha_0+\beta_0)}{\Gamma(\alpha_0)\Gamma(\beta_0)}\theta^{\alpha_0-1}(1-\theta)^{\beta_0-1}$ Bu, bir örneklemde yer alan bilgiler olarak yorumlanabilir

\underline{n} = α_{0} + β_{0} - 2

$\underline{n}=\alpha_0+\beta_0-2$ (gevşekçe,

\underline{n}

$\underline{n}$ tamsayı olması gerekmez)

α_{0} - 1

$\alpha_0-1$ başarıları:

π (θ) = \frac{Γ (α_{0} + β_{0})}{Γ (α_{0}) Γ (β_{0})} θ^{α_{0} - 1} (1 - θ)^{\underline{n} - (α_{0} - 1)}

$\pi(\theta)=\frac{\Gamma(\alpha_0+\beta_0)}{\Gamma(\alpha_0)\Gamma(\beta_0)}\theta^{\alpha_0-1}(1-\theta)^{\underline{n}-(\alpha_0-1)}$ Dolayısıyla, eğer

α_{0} + β_{0} - 2 = 400

$\alpha_0+\beta_0-2=400$ ve

α_{0} - 1 = 272

$\alpha_0-1=272$ , bu önceki parametrelere karşılık gelir

α_{0} = 273

$\alpha_0=273$ ve

β_{0} = 129

$\beta_0=129$ . Numunenin "yarıya indirilmesi" önceki parametrelere yol açacaktır

α_{0} = 137

$\alpha_0=137$ ve

β_{0} = 65

$\beta_0=65$ . Şimdi, beta dağılımının önceki ortalamasının ve önceki varyansının

μ = \frac{α}{α + β} ve σ^{2} = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}

$\mu=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\qquad\text{and}\qquad\sigma^2=\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}$ Numunenin yarıya indirilmesi önceki ortalamayı (neredeyse) olduğu yerde tutar:

alpha01 <- 273
beta01 <- 129
(mean01 <- alpha01/(alpha01+beta01))

alpha02 <- 137
beta02 <- 65
(mean02 <- alpha02/(alpha02+beta02))

fakat önceki artar varyans dan

(priorvariance01 <- (alpha01*beta01)/((alpha01+beta01)^2*(alpha01+beta01+1)))
[1] 0.0005407484

için

(priorvariance02 <- (alpha02*beta02)/((alpha02+beta02)^2*(alpha02+beta02+1)))
[1] 0.001075066

istediğiniz gibi.

— Christoph Hanck
kaynak