İki Örnek ki kare testi

Bu soru Van der Vaart'ın Asimptotik İstatistikler kitabı, s. 253. # 3:

Diyelim ki ve parametrelerle bağımsız çokterimli vektörleridir ve . Şeklindeki sıfır hipotezi altında olduğunu göstermektedir $\mathbf{X}_m$ $\mathbf{Y}_n$ $(m,a_1,\ldots,a_k)$ $(n,b_1,\ldots,b_k)$ $a_i=b_i$

\sum_{i = 1}^{k} \frac{(X_{m, i} - m {\hat{c}}_{i})^{2}}{m {\hat{c}}_{i}} + \sum_{i = 1}^{k} \frac{(Y_{n, i} - n {\hat{c}}_{i})^{2}}{n {\hat{c}}_{i}}

$\sum_{i=1}^k \dfrac{(X_{m,i} - m\hat{c}_i)^2}{m\hat{c}_i} + \sum_{i=1}^k \dfrac{(Y_{n,i} - n\hat{c}_i)^2}{n\hat{c}_i}$ sahip

χ_{k - 1}^{2}

$\chi^2_{k-1}$ dağılımı. burada

{\hat{c}}_{i} = (X_{m, i} + Y_{n, i}) / (m + n)

$\hat{c}_i = (X_{m,i} + Y_{n,i})/(m+n)$ .

Başlamak için yardıma ihtiyacım var. Buradaki strateji nedir? İki toplamı şu şekilde birleştirebildim:

\sum_{i = 1}^{k} \frac{(m Y_{n, i} - n X_{m, i})^{2}}{m n (m + n) {\hat{c}}_{i}}

$\sum_{i=1}^k \dfrac{(mY_{n,i} - nX_{m,i})^2}{mn(m+n)\hat{c}_i}$

ancak bu CLT ile çalışmaz çünkü $X_m$ ve ağırlıklı bir kombinasyonudur $Y_n$ . Bunun doğru yol olup olmadığından emin değilim. Herhangi bir öneri?

EDIT: eğer $m=n$ o zaman oldukça kolay çünkü biz olsun

\begin{aligned} \frac{m Y_{n} - n X_{m}}{\sqrt{m n (m + n)}} & = \frac{Y_{n} - X_{m}}{\sqrt{(m + n)}} \end{aligned}

$\begin{align*} \dfrac{mY_{n} - nX_{m}}{\sqrt{mn(m+n)}} &= \dfrac{Y_{n} - X_{m}}{\sqrt{(m+n)}} \end{align*}$

burada pay, Multinomial $(1,a_1,\ldots,a_k)$ değişkenlerinin toplamı olarak görülebilir böylece uygulayabilir ve daha sonra aynı bölümden Teorem 17.2 ile bitirebiliriz. Ancak, farklı örnek boyutları ile bu durumda bunu çözmek için nasıl anlayamıyorum. Herhangi bir yardım?

Google Kitaplar'ın van der Vaart'ın 17. bölümüne bağlantısı

— bdeonovic
kaynak

Önce bazı gösterimler. Let ve ilişkili kategorik dizisini ifade ve , yani . Let . Binerizasyonları burada , Kronecker Deltasıdır. Böylece sahibiz $\left\{X_t\right\}_{1,\ldots,m}$ $\left\{Y_t\right\}_{1,\ldots,n}$ $\mathbf{X}_m$ $\mathbf{Y}_n$ $\text{Pr}\left\{X_t = i\right\} = a_i, \text{Pr}\left\{Y_t = i\right\} = b_i$ $N=n+m$

\begin{aligned} X_{i}^{*} & = (X_{1, i}^{*}, \dots, X_{N, i}^{*}) = (δ_{i, X_{1}}, \dots, δ_{i, X_{n}}, 0, \dots, 0) \\ Y_{i}^{*} & = (Y_{1, i}^{*}, \dots, Y_{N, i}^{*}) = (0, \dots, 0, δ_{i, Y_{1}}, \dots, δ_{i, Y_{n}}) \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbf{X}_{i}^* &= (X^*_{1,i},\ldots,X_{N,i}^*) = (\delta_{i,X_1},\ldots,\delta_{i,X_n},0,\ldots,0)\\ \mathbf{Y}_{i}^* &= (Y^*_{1,i},\ldots,Y_{N,i}^*)= (0,\ldots,0,\delta_{i,Y_1},\ldots,\delta_{i,Y_n})\\ \end{align*}$

δ_{i, j} \equiv 1_{i = j}

$\delta_{i,j}\equiv \mathbf{1}_{i=j}$

X_{m, i} = \sum_{t = 1}^{N} X_{t, i}^{*} = \sum_{t = 1}^{m} δ_{i, X_{t}} Y_{n, i} = \sum_{t = 1}^{N} Y_{t, i}^{*} = \sum_{t = 1}^{n} δ_{i, Y_{t}}

$X_{m,i} = \sum_{t=1}^{N} X_{t,i}^* = \sum_{t=1}^m \delta_{i,X_t} \qquad Y_{n,i} = \sum_{t=1}^{N} Y_{t,i}^* = \sum_{t=1}^n \delta_{i,Y_t}$

Şimdi kanıtlara başlıyoruz. İlk önce test istatistiğinin iki özetini birleştiriyoruz. Not bu Test istatistiklerini olarak yazabiliriz

\begin{aligned} X_{m, i} - m {\hat{c}}_{i} & = \frac{(n + m) X_{m, i} - m (X_{m, i} + Y_{n, i})}{n + m} \\ = \frac{n X_{m, i} - m Y_{n, i}}{n + m} \\ Y_{n, i} - n {\hat{c}}_{i} & = \frac{(n + m) Y_{n, i} - n (X_{m, i} + Y_{n, i})}{n + m} \\ = \frac{m Y_{n, i} - n X_{m, i}}{n + m} \end{aligned}

$\begin{align*} X_{m,i} - m\hat{c}_i &= \dfrac{(n+m)X_{m,i} - m(X_{m,i} + Y_{n,i})}{n+m}\\ &= \dfrac{nX_{m,i} - mY_{n,i}}{n+m}\\ Y_{n,i} - n\hat{c}_i &= \dfrac{(n+m)Y_{n,i} - n(X_{m,i} + Y_{n,i})}{n+m}\\ &= \dfrac{mY_{n,i} - nX_{m,i}}{n+m} \end{align*}$

\begin{aligned} S & = \sum_{i = 1}^{k} \frac{(X_{m, i} - m {\hat{c}}_{i})^{2}}{m {\hat{c}}_{i}} + \sum_{i = 1}^{k} \frac{(Y_{n, i} - n {\hat{c}}_{i})^{2}}{n {\hat{c}}_{i}} \\ = \sum_{i = 1}^{k} \frac{(n X_{m, i} - m Y_{n, i})^{2}}{(n + m)^{2} m {\hat{c}}_{i}} + \sum_{i = 1}^{k} \frac{(n X_{m, i} - m Y_{n, i})^{2}}{(n + m)^{2} n {\hat{c}}_{i}} \\ = \sum_{i = 1}^{k} \frac{(n X_{m, i} - m Y_{n, i})^{2}}{n m (n + m) {\hat{c}}_{i}} \end{aligned}

$\begin{align*} S &= \sum_{i=1}^k \dfrac{(X_{m,i} - m\hat{c}_i)^2}{m\hat{c}_i} + \sum_{i=1}^k \dfrac{(Y_{n,i} - n\hat{c}_i)^2}{n\hat{c}_i}\\ &= \sum_{i=1}^k \dfrac{(nX_{m,i} - mY_{n,i})^2}{(n+m)^2m\hat{c}_i} + \sum_{i=1}^k \dfrac{(nX_{m,i} - mY_{n,i})^2}{(n+m)^2n\hat{c}_i}\\ &= \sum_{i=1}^k \dfrac{(nX_{m,i} - mY_{n,i})^2}{nm(n+m)\hat{c}_i} \end{align*}$

Sonraki not bu ile aşağıdaki özellikler

n X_{m, i} - m Y_{n, i} = \sum_{t = 1}^{N} n X_{t, i}^{*} - m Y_{t, i}^{*} = Z_{i}

$nX_{m,i} - mY_{n,i} = \sum_{t=1}^N nX_{t,i}^* - mY_{t,i}^* = Z_{i}$

\begin{aligned} E [Z_{i}] & = n E [X_{m, i}] - m E [Y_{n, i}] \\ = n m a_{i} - n m a_{i} = 0 \\ Var [Z_{i}] & = Var [n X_{m, i} - m Y_{n, i}] \\ = n^{2} Var [X_{m, i}] - m^{2} Var [Y_{n, i}] Note X_{m, i} and Y_{n, i} are independent \\ = n^{2} m a_{i} (1 - a_{i}) + m^{2} n a_{i} (1 - a_{i}) \\ = n m (n + m) a_{i} (1 - a_{i}) \\ Cov [Z_{i}, Z_{j}] & = E [Z_{i} Z_{j}] - E [Z_{i}] E [Z_{j}] \\ = E [(n X_{m, i} - m Y_{n, i}) (n X_{m, j} - m Y_{n, j})] \\ = n^{2} (- m a_{i} a_{j} + m^{2} a_{i} a_{j}) - 2 n^{2} m^{2} a_{i} a_{j} + m^{2} (- n a_{i} a_{j} + n^{2} a_{i} a_{j}) \\ = - n m (n + m) a_{i} a_{j} \end{aligned}

$\begin{align*} \text{E}[Z_{i}] &= n\text{E}[X_{m,i}] - m\text{E}[Y_{n,i}]\\ &= nma_i - nma_i = 0\\ \text{Var}[Z_{i}] &= \text{Var}[nX_{m,i} - mY_{n,i}]\\ &= n^2\text{Var}[X_{m,i}] - m^2\text{Var}[Y_{n,i}] \qquad\text{Note $X_{m,i}$ and $Y_{n,i}$ are independent}\\ &= n^2ma_i(1-a_i) + m^2na_i(1-a_i)\\ &= nm(n+m)a_i(1-a_i)\\ \text{Cov}[Z_{i},Z_{j}] &= \text{E}[Z_{i}Z_{j}] - \text{E}[Z_{i}]\text{E}[Z_{j}]\\ &= \text{E}[(nX_{m,i} - mY_{n,i})(nX_{m,j} - mY_{n,j})]\\ &= n^2(-ma_ia_j + m^2a_ia_j) - 2n^2m^2a_ia_j + m^2(-na_ia_j+n^2a_ia_j)\\ &= -nm(n+m)a_ia_j \end{align*}$

ve böylece çok değişkenli CLT ile th elemanı , . Yana Slutsky tarafından burada , kimlik matrisidir,

\frac{1}{\sqrt{n m (n + m)}} Z = \frac{n X_{m} - m Y_{n}}{\sqrt{n m (n + m)}} \overset{D}{\to} N (0, Σ)

$\dfrac{1}{\sqrt{nm(n+m)}}\mathbf{Z} = \dfrac{n\mathbf{X}_m - m \mathbf{Y}_n}{\sqrt{nm(n+m)}}\overset{D}{\to} \text{N}(\mathbf{0},\Sigma)$

(i, j)

$(i,j)$

Σ

$\Sigma$

σ_{i j} = a_{i} (δ_{i j} - a_{j})

$\sigma_{ij} = a_i(\delta_{ij} - a_j)$

\hat{c} = ({\hat{c}}_{1}, \dots, {\hat{c}}_{k}) \overset{p}{\to} (a_{1}, \dots, a_{k}) = a

$\hat{\mathbf{c}} = (\hat{c}_1,\ldots,\hat{c}_k) \overset{p}{\to} (a_1,\ldots,a_k)=\mathbf{a}$

\frac{n X_{m} - m Y_{n}}{\sqrt{n m (n + m)} \hat{c}} \overset{D}{\to} N (0, I_{k} - \sqrt{a} {\sqrt{a}}^{'})

$\dfrac{n\mathbf{X}_m - m \mathbf{Y}_n}{\sqrt{nm(n+m)}\hat{\mathbf{c}}}\overset{D}{\to} \text{N}(\mathbf{0},\mathbf{I}_k - \sqrt{\mathbf{a}}\sqrt{\mathbf{a}}')$

I_{k}

$\mathbf{I}_k$

k \times k

$k\times k$

\sqrt{a} = (\sqrt{a_{1}}, \dots, \sqrt{a_{k}})

$\sqrt{\mathbf{a}} = (\sqrt{a_1},\ldots,\sqrt{a_k})$ . Yana multiplicty 1 özdeğer 0 ve çokluk özdeğer 1 sahiptir (sürekli dönüşüm teoremi veya bkz Lemma 17.1, van der Vaart'ın Teorem 17.2)

I_{k} - \sqrt{a} {\sqrt{a}}^{'}

$\mathbf{I}_k - \sqrt{\mathbf{a}}\sqrt{\mathbf{a}}'$

k - 1

$k-1$

\sum_{i = 1}^{k} \frac{(n X_{m, i} - m Y_{n, i})^{2}}{n m (n + m) {\hat{c}}_{i}} \overset{D}{\to} χ_{k - 1}^{2}

$\sum_{i=1}^k \dfrac{(nX_{m,i} - mY_{n,i})^2}{nm(n+m)\hat{c}_i} \overset{D}{\to} \chi^2_{k-1}$

— bdeonovic
kaynak