Rastgele örtüşen aralıklar

Aşağıdaki problemde analitik ifadesini nasıl bulabilirim ? $D(n,l,L)$

Rastgele damla uzunluğu "çubuklar" bir aralık içinde . "Çubuklar" üst üste gelebilir. En az bir "bar" tarafından kullanılan aralığının ortalama toplam uzunluğu yi bulmak istiyorum . $n$ $l$ $[0,L]$ $D$ $[0,L]$

"Düşük yoğunluk" sınırında, çakışma ihmal edilebilir olmalı ve . "Yüksek yoğunluklu" sınırda , yaklaşır . Fakat için nasıl genel bir ifade alabilirim ? Bu oldukça temel bir istatistiksel problem olmalı, ancak forumlarda açıklayıcı bir çözüm bulamadım. $D = n\cdot l$ $D$ $L$ $D$

Herhangi bir yardım büyük mutluluk duyacağız.

Çubukların birbirlerinden gerçekten rastgele (istatistiksel olarak bağımsız) düşürüldüğüne dikkat edin.

probability distributions

— Daniel
kaynak

Bu bir dersten veya ders kitabından gelen bir soru mu? Öyleyse, lütfen [self-study]etiketi ekleyin ve wiki'sini okuyun .

— gung - Monica'yı eski

Hayır değil. örnekleme ile ortalama işgal edilen uzunluğu bir bilgisayarla kolayca hesaplayabilirsiniz, ancak sorun, onu çözmek için teorik bir yaklaşım olması gerektiği gibi temel bir sorun olarak görünmektedir. Tüm denemelerim başarısız olduğundan, nasıl yapılacağını merak ediyordum.

— Daniel

Çubukların [0, L] üzerine "düşmesi" için modeliniz nedir? Kenarlara yapışmaları mümkün mü? Düzenleme: çizim ve cevap olduğunu göstermektedir.

— Adrian

Olasılığı bul

p (x) d x

$p(x)dx$ verilen

d x

$dx$ örtülmez - bu bir kavşaktır

n

$n$ iid olayları. Daha sonra açık bir kısmın beklenen uzunluğu basitçe

\int_{0}^{L} p (x) d x

$\int_0^L p(x)dx$ .

— AS

| ---------------- || ---------------- | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

Bir noktanın olasılığı $[x_0,x_0 + L]$ tek bir bırakılan çubuk tarafından işgal edilmek

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$ .

Buna bağlı olarak, boş olma olasılığı $P_{e} = 1 - P_o$ . Belirli bir noktanın hala boş olması olasılığı $n$ bırakılan çubuklar $P_e^{n}$ ve işgal edilmek

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

büyük için $n$ .

Sonra, ortalama işgal uzunluğu $[x_0,x_0 + L]$ sonra $n$ rastgele "bar damla" olduğunu

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$ .

— Daniel
kaynak

Doğru yoldasınız, ancak daha fazla bakımın gerekli olabileceğine dair bazı işaretler var. Belki de en önemlisi, herhangi iki nokta ile ilişkili olayların bağımsız olmadığı gerçeğiyle ilgilidir: o zaman, olasılıkları çoğaltmayı haklı çıkarır mı? Ben de senin ifadesine inanıyorum

P_{0}

$P_0$ yanlış. Örneğin,

l = L = 1

$l=L=1$ . Çiziminizden, çubuğun sol uç noktasının aralıkta düzgün bir dağılıma sahip olduğunu varsayıyorsunuz

[- l, L] = [- 1, 1]

$[-l, L]=[-1,1]$ . Sonuç olarak,

0

$0$ kaplıdır

1 / 2

$1/2$ , bu eşit değil

l / L = 1

$l/L=1$ .

— whuber

İpuçları için teşekkürler. Haklısın, rastgele "çizimler" arasında sıfır korelasyon olması gerektiğini yazmalıydım. Ayrıca haklısınız, yukarıdaki çözüm sadece çubukların dışarı çıkmasına izin verilmediğinde geçerlidir. Çıkmalarına izin verdiğimizde sorun nasıl çözülebilir?

— Daniel

Demek istediğim, çubuklar rastgele ve bağımsız olarak düştüğünde bile , herhangi bir

x, y \in [0, L]

$x,y\in [0,L]$ "bu çubuk noktayı kapsıyor

x

$x$ "ve" aynı çubuk noktayı kapsar

y

$y$ "birbiriyle tamamen bağımlıdır. Özellikle,

| x - y | > l

$|x-y|\gt l$ , aynı anda olamazlar. Bunu titizlikle ele almanın bir yolu olasılıkları beklentilerle ilişkilendirmektir.

— whuber

Şimdi sınır etkilerini düşündüm. Aradaki iki farklı noktanın işgalinin birbiriyle ilişkili olduğu fikrini anlıyorum, ancak çözümü nasıl etkileyeceğini görmüyorum.

— Daniel