Bu, Kenneth Small ve Harvey Rosen'in bir Econometrica makalesinin 1981'de gösterdiğini, ancak çok özel bir bağlamda ortaya çıktığı için sonuç, ekonomide bazı eğitimlerden bahsetmemek için çok fazla kazma gerektiriyor. Bunu daha erişilebilir bulduğum bir şekilde kanıtlamaya karar verdim.
İspat : , alternatif sayısı olsun . Vektörünün değerlerine bağlı olarak , fonksiyon farklı değerler alır. İlk olarak, değerlerine odak şekilde . Yani, setini :Jϵ={ϵ1,...,ϵJ}maxi(δi+ϵi)ϵmaxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1δ1+ϵ1M1≡{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j≠1}
Eϵ∈M1[maxi(δi+ϵi)]=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)[∫δ1+ϵ1−δ2−∞...∫δ1+ϵ1−δJ−∞f(ϵ2)...f(ϵJ)dϵ2...dϵJ]dϵ1=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)(∫δ1+ϵ1−δ2−∞f(ϵ2)dϵ2)...(∫δ1+ϵ1−δJ−∞f(ϵJ)dϵJ)dϵ1=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)F(δ1+ϵ1−δ2)...F(δ1+ϵ1−δJ)dϵ1
Yukarıda terimi ilkidir de bu şartlar . özellikle,JE[maxi(δi+ϵi)]
E[maxi(δi+ϵi)]=∑iEϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)].
Şimdi Gumbel dağılımının fonksiyonel formunu uyguluyoruz. Bu verir
===Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵie−eμ−ϵi∏j≠ie−eμ−ϵi+δj−δidϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵi∏je−eμ−ϵi+δj−δidϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵiexp{∑j−eμ−ϵi+δj−δi}dϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵiexp{−eμ−ϵi∑jeδj−δi}dϵi
burada ikinci adım, terimlerden birinin ürüne toplanmasından ve ise olmasından kaynaklanır .δj−δi=0i=j
Şimdi ve yerine , böylece ve . Not olarak bu sonsuza yaklaşan, 0 yaklaşımları gibi negatif olarak sonsuza yaklaşan, sonsuz yaklaşır. Di≡∑jeδj−δix=Dieμ−ϵidx=−Dieμ−ϵidϵi⇒−dxDi=eμ−ϵidϵiϵi=μ−log(xDi)ϵixϵix
==Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=∫0∞(δi+μ−log[xDi])(−1Di)exp{−x}dx1Di∫∞0(δi+μ−log[xDi])e−xdxδi+μDi∫∞0e−xdx−1Di∫∞0log[x]e−xdx+log[Di]Di∫∞0e−xdx
Gama İşlevi . Pozitif tamsayı olan değerleri için bu, ile eşdeğerdir, yani . Buna ek olarak, bilinen Euler-Mascheroni sabit olduğu tatminΓ(t)=∫∞0xt−1e−xdxtΓ(t)=(t−1)!Γ(1)=0!=1γ≈0.57722
γ=−∫∞0log[x]e−xdx.
Bu gerçekleri uygulamak
Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=δi+μ+γ+log[Di]Di
Sonra almak için toplamıi
E[maxi(δi+ϵi)]=∑iδi+μ+γ+log[Di]Di
Hatırlatma; . Bilinen logit seçim olasılıklarının , 'nin tersine, diğer bir deyişle . Ayrıca olduğuna dikkat edin . Sonra elimizdeDi=∑jeδj−δi=∑jeδjeδiPi=eδi∑jδjDiPi=1/Di∑iPi=1
E[maxi(δi+ϵi)]======∑iPi(δi+μ+γ+log[Di])(μ+γ)∑iPi+∑iPiδi+∑iPilog[Di]μ+γ+∑iPiδi+∑iPilog[∑jeδjeδi]μ+γ+∑iPiδi+∑iPilog[∑jeδj]−∑iPilog[eδi]μ+γ+∑iPiδi+log[∑jeδj]∑iPi−∑iPiδiμ+γ+log[∑jexp{δj}].
QED