Maksimum iid Gumbel Değişkeni Beklentisi


12

İktisat dergilerinde rastgele faydalı modellerde kullanılan belirli bir sonuç hakkında okumaya devam ediyorum. Sonucun bir sürümü şudur: eğer Gumbel ( , o zaman:ϵiiid,μ,1),i

E[maxi(δi+ϵi)]=μ+γ+ln(iexp{δi}),

burada γ0.52277 Euler-Mascheroni sabittir. Bunun R kullanarak mantıklı olduğunu kontrol ettim ve öyle. Gumbel (μ,1) dağılımı için CDF :

G(ϵi)=exp(exp((ϵiμ)))

Bunun bir kanıtı bulmaya çalışıyorum ve başarılı olamadım. Kendimi kanıtlamaya çalıştım ama belirli bir adımı atlayamıyorum.

Biri beni bunun kanıtına yönlendirebilir mi? Değilse, belki de takıldığım yere kadar girişimi kanıtlayabilirim.


Yanıtlar:


7

Cevabınızda sergilenen çalışmayı takdir ediyorum: bu katkı için teşekkür ederim. Bu yazının amacı daha basit bir tanıtım sunmaktır. Basitliğin değeri vahiydir: sadece beklentisini değil , maksimumun tüm dağılımını kolayca elde edebiliriz .


Göz ardı içine emerek varsayarsak tüm Gumbel sahip dağılımı. (Yani, her yerine tarafından ve değişim için Bu rastgele değişken değiştirmez.)μδiϵi(0,1)ϵiϵiμδiδi+μ

X=maxi(δi+ϵi)=maxi((δi+μ)+(ϵiμ)).

Bağımsızlığı tüm gerçek için ifade o tek tek Şansı ürünüdür . Kütük alma ve üstel verimlerin temel özelliklerini uygulamaϵixPr(Xx)Pr(δi+ϵix)

logPr(Xx)=logiPr(δi+ϵix)=ilogPr(ϵixδi)=ieδiex=exp(x+logieδi).

Bu, konum parametresine sahip bir Gumbel dağılımının Yani,λ=logieδi.

X bir Gumbel dağılımı var.(logieδi,1)

Bu talep edilenden çok daha fazla bilgi. Bu tür bir ortalama dağılım olup gerektirenγ+λ,

E[X]=γ+logieδi,

QED.


12

Bu, Kenneth Small ve Harvey Rosen'in bir Econometrica makalesinin 1981'de gösterdiğini, ancak çok özel bir bağlamda ortaya çıktığı için sonuç, ekonomide bazı eğitimlerden bahsetmemek için çok fazla kazma gerektiriyor. Bunu daha erişilebilir bulduğum bir şekilde kanıtlamaya karar verdim.

İspat : , alternatif sayısı olsun . Vektörünün değerlerine bağlı olarak , fonksiyon farklı değerler alır. İlk olarak, değerlerine odak şekilde . Yani, setini :Jϵ={ϵ1,...,ϵJ}maxi(δi+ϵi)ϵmaxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1δ1+ϵ1M1{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j1}

EϵM1[maxi(δi+ϵi)]=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)[δ1+ϵ1δ2...δ1+ϵ1δJf(ϵ2)...f(ϵJ)dϵ2...dϵJ]dϵ1=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)(δ1+ϵ1δ2f(ϵ2)dϵ2)...(δ1+ϵ1δJf(ϵJ)dϵJ)dϵ1=(δ1+ϵ1)f(ϵ1)F(δ1+ϵ1δ2)...F(δ1+ϵ1δJ)dϵ1

Yukarıda terimi ilkidir de bu şartlar . özellikle,JE[maxi(δi+ϵi)]

E[maxi(δi+ϵi)]=iEϵMi[maxi(δi+ϵi)].

Şimdi Gumbel dağılımının fonksiyonel formunu uyguluyoruz. Bu verir

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=(δi+ϵi)eμϵieeμϵijieeμϵi+δjδidϵi=(δi+ϵi)eμϵijeeμϵi+δjδidϵi=(δi+ϵi)eμϵiexp{jeμϵi+δjδi}dϵi=(δi+ϵi)eμϵiexp{eμϵijeδjδi}dϵi

burada ikinci adım, terimlerden birinin ürüne toplanmasından ve ise olmasından kaynaklanır .δjδi=0i=j

Şimdi ve yerine , böylece ve . Not olarak bu sonsuza yaklaşan, 0 yaklaşımları gibi negatif olarak sonsuza yaklaşan, sonsuz yaklaşır. Dijeδjδix=Dieμϵidx=DieμϵidϵidxDi=eμϵidϵiϵi=μlog(xDi)ϵixϵix

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=0(δi+μlog[xDi])(1Di)exp{x}dx=1Di0(δi+μlog[xDi])exdx=δi+μDi0exdx1Di0log[x]exdx+log[Di]Di0exdx

Gama İşlevi . Pozitif tamsayı olan değerleri için bu, ile eşdeğerdir, yani . Buna ek olarak, bilinen Euler-Mascheroni sabit olduğu tatminΓ(t)=0xt1exdxtΓ(t)=(t1)!Γ(1)=0!=1γ0.57722

γ=0log[x]exdx.

Bu gerçekleri uygulamak

EϵMi[maxi(δi+ϵi)]=δi+μ+γ+log[Di]Di

Sonra almak için toplamıi

E[maxi(δi+ϵi)]=iδi+μ+γ+log[Di]Di

Hatırlatma; . Bilinen logit seçim olasılıklarının , 'nin tersine, diğer bir deyişle . Ayrıca olduğuna dikkat edin . Sonra elimizdeDi=jeδjδi=jeδjeδiPi=eδijδjDiPi=1/DiiPi=1

E[maxi(δi+ϵi)]=iPi(δi+μ+γ+log[Di])=(μ+γ)iPi+iPiδi+iPilog[Di]=μ+γ+iPiδi+iPilog[jeδjeδi]=μ+γ+iPiδi+iPilog[jeδj]iPilog[eδi]=μ+γ+iPiδi+log[jeδj]iPiiPiδi=μ+γ+log[jexp{δj}].
QED

3
Bahsettiğin makale olduğuna inandığım şeyi, aslında emin olmak için bakmadan bağladım; yanlış ise lütfen düzeltin.
Dougal

@Jason max, max maksimum olmak koşullu olduğunda bunun ne olduğunu kanıtlamayı biliyor musunuz? Çözülmemiş olan soruyu buradan görebilirsiniz: stats.stackexchange.com/questions/260847/…
wolfsatthedoor
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.