Standart normal rasgele değişkenin karesi Pdf [kapalı]

pdf bulmak gerekir nerede bu sorun var . Tek bildiğim dağılımına sahip . ne tür bir dağılımdır ? aynı mı? PDF'yi nasıl bulabilirim?$Y = X^2$$X$$N(0,1)$$Y = X^2$$X$

Olasılık teorisi ve istatistiğin en ünlü sonuçlarından birine rastladınız. Bu soruya daha önce bu sitede sorulmuş (ve cevaplanmış) olduğundan emin olmama rağmen bir cevap yazacağım.

İlk olarak, not bu pdf ile aynı olamaz olarak , pozitif olacaktır. dağılımını türetmek için mgf tekniği, cdf tekniği ve yoğunluk dönüşüm tekniği olmak üzere üç yöntem kullanabiliriz. Hadi başlayalım.$Y = X^2$$X$$Y$$Y$

Moment üreten fonksiyon tekniği .

Veya karakteristik fonksiyon tekniği, ne istersen. mgf'sini bulmalıyız . Bu yüzden beklentiyi hesaplamamız gerekiyor$Y=X^2$

$$E\left[e^{tX^2}\right]$$

Bilinçsiz İstatistikçi Yasasını kullanarak , tek yapmamız gereken bu integrali dağılımı üzerinden hesaplamaktır . Bu yüzden hesaplamamız gerekiyor$X$

$$\begin{align} E\left[e^{tX^2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{tx^2} e^{-\frac{x^2}{2}} dx &= \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left( 1-2t \right)^{1/2}}{\left( 1-2t \right)^{1/2}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left\{ - \frac{x^2}{2} \left( 1- 2t \right) \right\} dt \\ & = \left(1-2t\right)^{-1/2} , \quad t<\frac{1}{2} \end{align}$$

son satırda integrali ortalama sıfır ve varyans olan bir Gauss integrali ile karşılaştırdık . Tabii ki bu gerçek çizgide bire entegre olur. Bu sonuçla şimdi ne yapabilirsiniz? Peki, çok karmaşık bir ters dönüşüm uygulayabilir ve bu MGF'ye karşılık gelen pdf'yi belirleyebilir veya bunu bir dereceye kadar ki kare şeklinde bir dağılımın MGF'si olarak tanıyabilirsiniz. (Ki kare dağılımının , serbestlik derecesi ve olan bir gama dağılımının özel bir örneği olduğunu unutmayın ).$\frac{1}{\left(1-2t\right)}$$\alpha = \frac{r}{2}$$r$$\beta = 2$

CDF tekniği

Bu belki de yapabileceğiniz en kolay şey ve yorumlarda Glen_b tarafından öneriliyor. Bu tekniğe göre,

$$F_Y (y) = P(Y\leq y) = P(X^2 \leq y) = P(|X|\leq \sqrt{y})$$

ve dağıtım fonksiyonları yoğunluk fonksiyonlarını tanımladığından, basitleştirilmiş bir ifade elde ettikten sonra pdf'imizi almak için göre ayrılırız. O zaman bizde var$y$

$$\begin{align} F_Y (y) = P\left( |X|\leq \sqrt{y} \right) = P\left(-\sqrt{y} < X <\sqrt{y} \right) = \Phi\left(\sqrt{y}\right) - \Phi \left(- \sqrt{y}\right) \end{align}$$

burada standart bir normal değişkenin CDF'sini belirtir. Aldığımız göre farklılaşarak ,$\Phi(.)$$y$

$$f_Y(y) = F_Y^{\prime} (y) = \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( \sqrt{y} \right) + \frac{1}{2 \sqrt{y}} \phi \left( -\sqrt{y} \right) = \frac{1}{\sqrt{y}} \phi(\sqrt{y})$$

Burada artık standart normal değişkenin pdf'si ve sıfır civarında simetrik olduğu gerçeğini kullandık. bundan dolayı$\phi(.)$

$$f_Y (y) = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y}{2}}, \quad 0<y<\infty$$

ki bu bir serbestlik derecesine sahip ki-kare dağılımının pdf'si olarak tanınıyoruz (Şimdiye kadar bir kalıp görüyor olabilirsiniz).

Yoğunluk dönüşüm tekniği

Biz sadece bir işlev için, size aşina dönüşüm tekniği kullanmayın neden, merak edebilirsiniz Bu noktada biz yoğunluğu olduğunu tarafından verilir$Y = g(X)$$Y$

$$f_Y (y) = \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

için aralığında . Ne yazık ki bu teorem, dönüşümün birebir olmasını gerektiriyor, ki bu burada açıkça böyle değil. Aslında, iki değerinin aynı değerine yol açtığını görebiliriz , kuadratik dönüşümdür. Bu nedenle, bu teorem uygulanamaz.$y$$g$$X$$Y$$g$

Bununla birlikte, uygulanabilir olan, bunun bir uzantısıdır. Bu uzantı altında, desteğini (destek, yoğunluğun sıfır olmadığı noktalar anlamına gelir), bu setlerden aralığa bire bir dönüşümü tanımlayacak şekilde ayrık kümelere ayırabiliriz ve . Daha sonra yoğunluğu, bu ters fonksiyonların ve karşılık gelen mutlak Jacobian'ların toplamı ile verilir. Yukarıdaki gösterimde$X$$Y= g(X)$$g$$Y$

$$f_Y (y) = \sum \left| \frac{d}{dy} g^{-1} (y) \right| f_X \left( g^{-1} (y) \right)$$

burada toplam tüm ters fonksiyonlar üzerinden geçer. Bu örnek bunu açıklığa kavuşturacaktır.

İçin , iki ters işlevleri, yani var mutlak Jakobien karşılık gelen ve böylece karşılık gelen pdf olduğu bulundu$y = x^2$$x = \pm \sqrt{y}$$\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt{y}} }$

$$f_Y (y) = \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} + \frac{1}{2\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } e^{-y/2} = \frac{1}{\sqrt{y}} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-y/2}, \quad 0<y<\infty$$

bir serbestlik derecesine sahip ki-kare dağılımının pdf'si. Bir yan notta, dönüşümün CDF'sini türetmek zorunda olmadığınız için bu tekniği özellikle yararlı buluyorum. Ama elbette, bunlar kişisel zevkler.

---

Böylece bu gece yatağa gidebilirsiniz, standart normal rastgele değişkenin karesinin, bir serbestlik derecesine sahip ki-kare dağılımını izlediğinden emin olabilirsiniz.