Dirac'ın delta işlevi Gauss dağılımının bir alt sınıfı olarak görülmeli mi?

Wikidata'da olasılık dağılımlarını (diğer her şey gibi) bir ontolojiye bağlamak mümkündür, örneğin, t-dağılımının merkezi olmayan t-dağılımının bir alt sınıfı olduğu, bkz.

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

Çeşitli sınırlayıcı durumlar vardır, örneğin, t-dağılımındaki serbestlik derecesi sonsuza gittiğinde veya varyans normal dağılım için sıfıra yaklaştığında (Gauss dağılımı). İkinci durumda, dağıtım Dirac'ın delta fonksiyonuna doğru gidecektir.

İngilizce Wikipedia'da varyans parametresinin şu anda sıfırdan büyük olarak belirtildiğine dikkat ediyorum, bu yüzden sıkı bir yorumla Dirac'ın delta işlevinin normal dağılımın bir alt sınıfı olduğunu söyleyemeyiz. Ancak, üstel dağılımın Dirac'ın delta fonksiyonunun bir süper sınıfı olduğunu söyleyebileceğim için, bana oldukça iyi görünüyor.

Dirac'ın delta işlevinin Gauss dağılımının bir alt sınıfı olduğunu belirtmekte herhangi bir sorun var mı?

Dirac'ın deltası, uygun olduğunda Gauss dağılımı olarak kabul edilir ve bu bakış açısı istisna yapmamızı gerektirdiğinde dikkate alınmaz.

Örneğin, , gerçek sayılarının tüm seçimleri için Gauss rasgele bir değişkense, çok değişkenli bir Gauss dağılımından . (Not: Bu, "gelişmiş" istatistiklerde standart bir tanımdır). Bir seçenek olduğundan, standart tanım sabitini (dejenere rastgele değişken) Gauss rasgele değişkeni (ortalama ve varyans ) ele alır. Öte yandan, Dirac deltasına Gauss dağılımı olarak saygımızı göz ardı ediyoruz.∑ $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$a 1 , a 2 , … , a n a 1 = a 2 = ⋯ = a n = 0 0 $\sum_i a_iX_i$$a_1, a_2, \ldots, a_n$$a_1=a_2=\cdots=a_n=0$$0$$0$

"Standart sapma ile bir sıfır ortalama Gauss rastgele değişkenin birikimli olasılık dağılım fonksiyonu (CDF) olan burada standart Gauss rasgele değişkeninin CDF'sidir. "F X ( x ) = P { X ≤ x } = Φ ( $\sigma$Φ(⋅

$$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$$ $\Phi(\cdot)$

Dirac deltasını, standart sapması (ve dolayısıyla bir Gauss rasgele değişkeni olarak) yaklaşan sıfır-ortalama Gauss rastgele değişkenler dizisinin sınırlayıcı durumu olarak kabul edersek , bu ifadenin neredeyse doğru olduğunu ancak tam olarak doğru olmadığını unutmayın . Dirac deltasının için değeri varken$0$$1$$x \geq 0$

$$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$$ Ancak, birçok kişi size bir Dirac deltasını Gauss dağılımı olarak görmenin saçma olduğunu söyleyecektir, çünkü kitapları Gauss rastgele değişkeninin varyansının pozitif bir sayı olması gerektiğini söylüyor (ve bazıları bu cevabı göstermek için aşağıya oy verecek) onların hoşnutsuzluğu). Birkaç yıl önce istatistiklerle ilgili bu konuda çok güçlü ve aydınlatıcı bir tartışma vardı.SE ama ne yazık ki sadece bir cevaptaki yorumlarda (@Macro'ya göre, inanıyorum) ve bireysel cevaplar olarak değil ve tekrar bulamıyorum .

Delta fonksiyonları matematiksel bir dağılım teorisine uyar ( olasılık dağılımları teorisinden oldukça farklıdır, buradaki terminoloji daha karmaşık olamaz).

Esasen, dağılımlar genelleştirilmiş işlevlerdir. Onlar bir işlev kutusu gibi değerlendirilemez ama sonra olabilir entegre edilebilir. Daha doğrusu, bir dağılım aşağıdaki gibi tanımlanır$D$

test fonksiyonlarının toplanması olsun . Bir test fonksiyonu gerçek, tanrı işlevine dürüst, pürüzsüz, kompakt destek ile. Bir dağıtım doğrusal bir eşlemedirθ D : T → $T$$\theta$$D: T \rightarrow \mathbb{R}$

Dürüst bir işlev , entegrasyon operatörü tarafından bir dağıtım belirler$f$

$$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$$

Gerçek işlevlerle ilişkili olmayan dağılımlar vardır, dirac operatörü bunlardan biridir

$$\delta(\theta) = \theta(0)$$

Bu anlamda, dirac'ı normal dağılımların sınırlayıcı bir durumu olarak düşünebilirsiniz. Eğer olduğu pdf aile ortalama sıfır ve varyansı ile normal bir dağıtımlarının var herhangi bir test fonksiyonu için, sonra t $N_t$$t$$\theta$

$$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

Bu muhtemelen daha yaygın olarak

$$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$$

ki bir matematikçi gösterimi kötüye kullanmayı düşünür, çünkü ifadesi aslında bir anlam ifade etmez. Ama sonra tekrar, ben kimim Dirac'ı eleştireceğim, en iyisi kim.$\delta(x)$

Tabii ki, bunun dirac'ı normal dağılım ailesinin bir üyesi haline getirip getirmediği kültürel bir sorudur. Burada sadece böyle düşünmenin mantıklı olabileceği bir neden veriyorum.

Hayır. Normal dağılımın bir alt sınıfı değil.

Bence karışıklık Dirac fonksiyonunun temsillerinden birinden geliyor. Aşağıdaki şekilde tanımlandığını unutmayın:

δ(x)=0,∀x≠

$$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$$ $$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$$

Bir integral olarak tanımlanır, bu harika bir şeydir, ancak bazen bir integral yerine bir işlev temsili ile çalıştırmanız gerekir. Böylece, insanlar her türlü alternatifi buldular, bunlardan biri Gauss yoğunluğuna benziyor:

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$$

Bununla birlikte, bu tek temsil değildir , örneğin şu var:

$$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$$

Bu nedenle, Dirac fonksiyonunu integral tanımı açısından düşünmek ve Gauss gibi fonksiyon temsillerini kolaylık aracı olarak almak en iyisidir.

GÜNCELLEME @ whuber'ın noktasına gelince, bunun daha iyi bir örneği Dirac'ın deltasının temsilidir:

$$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$$

Laplacian dağılımı size benziyor mu? O zaman Dirac'ın deltasını Laplacian dağılımının bir alt sınıfı olarak düşünmemeliyiz?