Yapışkanlı olmayan Gauss değişkenlerinin toplamının dağılımı nedir?

Eğer dağıtılan , dağıtılır ve , biliyorum dağıtılır eğer X ve Y bağımsızsa. $X$ $N(\mu_X, \sigma^2_X)$ $Y$ $N(\mu_Y, \sigma^2_Y)$ $Z = X + Y$ $Z$ $N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y)$

Fakat eğer X ve Y bağımsız değilse, yani $(X, Y) \approx N\big( (\begin{smallmatrix} \mu_X\\\mu_Y \end{smallmatrix}) , (\begin{smallmatrix} \sigma^2_X && \sigma_{X,Y}\\ \sigma_{X,Y} && \sigma^2_Y \end{smallmatrix}) \big)$

toplamının nasıl dağıldığını etkiler mi ? $Z$

normal-distribution mathematical-statistics

— JCWong
kaynak

Sadece ortak dağılımlarının her türlü olduğunu işaret etmek istiyorum diğer hala sahip oldukları iki değişkenli normalden daha ve marjinal normaldir. Ve bu ayrım cevaplarda büyük bir fark yaratacaktır.

(X, Y)

$(X,Y)$

X

$X$

Y

$Y$

@ G.JayKerns Eğer ve normal ise ancak mutlaka birlikte normal değilse, normalden farklı dağılım gösterebileceğini kabul ediyorum . Ama OP'ın nın " dağıtılır eğer ve bağımsızdır." kesinlikle doğru. Eğer ve marjinal olarak normalse (cümlenin ilk bölümünün söylediği gibi) ve bağımsızsa (cümlenin ikinci bölümündeki varsayımına göre), o zaman ortak olarak normaldirler. OP'ın yılında sorusuna , eklem normallik açıkça ve böylece varsayılır herhangi lineer kombinasyonu

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

Z

$Z$

N (μ_{x} + μ_{y}, σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2})

$N(\mu_x + \mu_y, \sigma^2_x + \sigma^2_y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$ ve normal.

Y

$Y$

— Dilip Sarwate

@Dilip, soruyla ilgili yanlış bir şey olmadığını ve cevabınızda yanlış olan hiçbir şeyin (+1) (veya olasılıkların (+1)) olmadığını açıklığa kavuşturmama izin verin. Basitçe işaret ediyorum, eğer ve bağımlıysa, müştereken normal olmaları gerekli değildir ve OP'nin bu olasılığı düşündüğü açık değildi. Ayrıca, çok fazla zaman harcamamış olmama rağmen, başka bazı varsayımlar olmadan (ortak normallik gibi) sorunun cevaplanamayacağından korkuyorum.

X

$X$

Y

$Y$

@ G.JayKerns'ın belirttiği gibi, elbette, marjinal olarak düşünürsek, ancak ortaklaşa dağıtılmamış normları düşünürsek, her türlü ilginç davranışları alabiliriz. İşte basit bir örnek: normal olması ve her birinin 1/2 olasılıkları ile bağımsız olarak olmasını sağlayın . Let . Daha sonra aynı zamanda normal standart olmakla 1/2 olasılıkla tam olarak sıfıra eşittir ve eşit 1/2 olasılıkla.

X

$X$

ε = \pm 1

$\varepsilon = \pm 1$

X

$X$

Y = ε X

$Y = \varepsilon X$

Y

$Y$

Z = X + Y

$Z = X+Y$

2 X

$2X$

— kardinal

Sklar teoremi aracılığıyla ile ilişkili iki değişkenli kopula göz önüne alınarak çok çeşitli davranışlar elde edilebilir . Gaussian copula kullanırsak, o zaman ortaklaşa normal olur ve normal olarak dağıtılır. Eğer copula Gaussian copula değilse , ve her ikisi de normal olarak marjinal olarak dağıtılır, ancak ortak normal değildir ve bu nedenle toplamlar normal olarak dağıtılmayacaktır.

(X, Y)

$(X,Y)$

(X, Y)

$(X,Y)$

Z = X + Y

$Z = X + Y$

X

$X$

Y

$Y$

— kardinal

Yanıtlar:

Olasılık biliminin bu soruya cevabı hakkındaki yorumuma bakın . Burada, burada olan kovaryans ve ve . Kimse kovaryans matrisindeki diyagonal olmayan girişleri yaptığınız gibi . Diyagonal olmayan girişler negatif olabilecek kovaryanslardır.

\begin{aligned} X + Y & \sim N (μ_{X} + μ_{Y}, σ_{X}^{2} + σ_{Y}^{2} + 2 σ_{X, Y}) \\ a X + b Y & \sim N (a μ_{X} + b μ_{Y}, a^{2} σ_{X}^{2} + b^{2} σ_{Y}^{2} + 2 a b σ_{X, Y}) \end{aligned}

$\begin{align*} X + Y &\sim N(\mu_X + \mu_Y,\; \sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2\sigma_{X,Y})\\ aX + bY &\sim N(a\mu_X + b\mu_Y,\; a^2\sigma_X^2 + b^2\sigma_Y^2 + 2ab\sigma_{X,Y}) \end{align*}$

σ_{X, Y}

$\sigma_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

σ_{x y}^{2}

$\sigma_{xy}^2$

— Dilip Sarwate
kaynak

@Kodiolog Teşekkürler! Yazım hataları 4 yıldan fazla bir süredir fark edilmeden kalmasına şaşırdım.

— Dilip Sarwate

@ dilip cevabı yeterli, ancak sonuca nasıl ulaştığınıza dair bazı detaylar ekleyeceğimi düşündüm. Karakteristik fonksiyonlar metodunu kullanabiliriz. Herhangi bir -boyutlu çok değişkenli normal dağılım için burada ve , karakteristik fonksiyon şöyledir: $d$ $X\sim N_{d}(\mu,\Sigma)$ $\mu=(\mu_1,\dots,\mu_d)^T$ $\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)\;\;j,k=1,\dots,d$

φ_{X} (t) = E [\exp (i t^{T} X)] = \exp (i t^{T} μ - \frac{1}{2} t^{T} Σ t)

$\varphi_{X}({\bf{t}})=E\left[\exp(i{\bf{t}}^TX)\right]=\exp\left(i{\bf{t}}^T\mu-\frac{1}{2}{\bf{t}}^T\Sigma{\bf{t}}\right)$

= \exp (i \sum_{j = 1}^{d} t_{j} μ_{j} - \frac{1}{2} \sum_{j = 1}^{d} \sum_{k = 1}^{d} t_{j} t_{k} Σ_{j k})

$=\exp\left(i\sum_{j=1}^{d}t_j\mu_j-\frac{1}{2}\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}t_jt_k\Sigma_{jk}\right)$

Tek boyutlu normal bir değişken için : $Y\sim N_1(\mu_Y,\sigma_Y^2)$

φ_{Y} (t) = \exp (i t μ_{Y} - \frac{1}{2} t^{2} σ_{Y}^{2})

$\varphi_Y(t)=\exp\left(it\mu_Y-\frac{1}{2}t^2\sigma_Y^2\right)$

Şimdi, yeni bir rasgele değişken . Sizin durumunuz için, ve . karakteristik işlevi temel olarak aynıdır . $Z={\bf{a}}^TX=\sum_{j=1}^{d}a_jX_j$ $d=2$ $a_1=a_2=1$ $Z$ $X$

φ_{Z} (t) = E [\exp (i t Z)] = E [\exp (i t a^{T} X)] = φ_{X} (t a)

$\varphi_{Z}(t)=E\left[\exp(itZ)\right]=E\left[\exp(it{\bf{a}}^TX)\right]=\varphi_{X}(t{\bf{a}})$

= \exp (i t \sum_{j = 1}^{d} a_{j} μ_{j} - \frac{1}{2} t^{2} \sum_{j = 1}^{d} \sum_{k = 1}^{d} a_{j} a_{k} Σ_{j k})

$=\exp\left(it\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j-\frac{1}{2}t^2\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}\right)$

Bu karakteristik işlevi karakteristik işlevi ile karşılaştırırsak , aynı olduklarını görürüz, ancak yerine ve , . Dolayısıyla, karakteristik fonksiyonu, karakteristik fonksiyonuna eşdeğer olduğu için , dağılımların da eşit olması gerekir. Dolayısıyla, normal olarak dağılmıştır. Varyans ifadesini, olduğunu not ederek basitleştirebiliriz ve şunu alırız: $\varphi_Y(t)$ $\mu_Y$ $\mu_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j\mu_j$ $\sigma_Y^2$ $\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}\sum_{k=1}^{d}a_ja_k\Sigma_{jk}$ $Z$ $Y$ $Z$ $\Sigma_{jk}=\Sigma_{kj}$

σ_{Z}^{2} = \sum_{j = 1}^{d} a_{j}^{2} Σ_{j j} + 2 \sum_{j = 2}^{d} \sum_{k = 1}^{j - 1} a_{j} a_{k} Σ_{j k}

$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{d}a_j^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{d}\sum_{k=1}^{j-1}a_ja_k\Sigma_{jk}$

Bu aynı zamanda, normal olsun ya da olmasın, herhangi bir rasgele değişken grubunun doğrusal bir kombinasyonunun varyansı için genel bir formüldür, burada ve . Şimdi eğer ve konusunda uzmanlaşırsak , yukarıdaki formül şöyle olur: $\Sigma_{jj}=var(X_j)$ $\Sigma_{jk}=cov(X_j,X_k)$ $d=2$ $a_1=a_2=1$

σ_{Z}^{2} = \sum_{j = 1}^{2} (1)^{2} Σ_{j j} + 2 \sum_{j = 2}^{2} \sum_{k = 1}^{j - 1} (1) (1) Σ_{j k} = Σ_{11} + Σ_{22} + 2 Σ_{21}

$\sigma^2_Z=\sum_{j=1}^{2}(1)^2\Sigma_{jj}+2\sum_{j=2}^{2}\sum_{k=1}^{j-1}(1)(1)\Sigma_{jk}=\Sigma_{11}+\Sigma_{22}+2\Sigma_{21}$

— probabilityislogic
kaynak

+1 Ayrıntıları yazmak için zaman ayırdığınız için teşekkür ederiz. Bu soru SSS'nin bir parçası olabilir mi?

— Dilip Sarwate