Bir değişken içindeki varyans ve çift mesafeler arasındaki bağlantı

, İki değişken (eşit numune boyutu) sahip olması kanıtlamak lütfen $X$ ve $Y$ ve varyans olarak $X$ içinde daha büyük olan $Y$ , o zaman karesi farklarının toplamı olan veri noktaları arasında (Öklit mesafeleri kare örneğin) $X$ , aynı zamanda daha büyük içinde $Y$ .

variance distance

— ttnphns
kaynak

Lütfen açıklığa kavuşturun: Varyans derken , örnek varyans mı demek istediniz ? Derken kare farklarının toplamı sen ortalama yapmak

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2}

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2$

— kardinal

Yukarıdakileri varsayarsak:

çapraz terimdeki öğeleri dikkatle hesaplayarak. Sanırım (küçük boşlukları) doldurabilirsiniz. Sonuç daha sonra önemsiz bir şekilde gerçekleşir.

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2} = \sum_{i \neq j} ((x_{i} - \bar{x}) - (x_{j} - \bar{x}))^{2} = 2 n \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2},

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i \neq j} ((x_i - \bar{x}) - (x_j - \bar{x}))^2 = 2 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \> ,$

— kardinal

Ayrıca,

(iyi tanımlanmış bir varyansla) iid olması durumunda

olduğunu düşünerek herhangi bir hesaplama yapmadan "yapmanın" bir yolu da vardır.

. Yine de, olasılık kavramları üzerinde biraz daha sıkı bir kavrayış gerektirir.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F

$F$

E (X_{1} - X_{2})^{2} = 2 V a r (X_{1})

$\mathbb E (X_1 - X_2)^2 = 2 \mathrm{Var}(X_1)$

— kardinal

İlgili bir soru için, stats.stackexchange.com/a/18200 adresindeki bir yanıtta burada neler olduğuna dair bir görselleştirme kullandım : kare farklılıklar kareler alanları.

— whuber

@whuber: Çok hoş. Bir şekilde bu cevabını kaçırmıştım.

— kardinal

Sadece "resmi" bir cevap vermek, yorumlarda çizilen çözümleri tamamlamak için, dikkat edin

Yok , , , ya da tüm kaydırılarak değiştirilir sabit bir veya tüm değiştirmek için eşit olarak $\operatorname{Var} ((X_i))$ $\operatorname{Var} ((Y_i))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ $X_i$ $X_i-\mu$ $\mu$ $Y_i$ $Y_i-\nu$ $\nu$ $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$
$\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ .
Simple expansion of the squares and rearranging the sums give
$\sum_{i, j} (X_{i} - X_{j})^{2} = 2 \sum X_{i}^{2} - 2 (\sum X_{i}) (\sum X_{j}) = 2 \sum X_{i}^{2} = 2 Var ((X_{i}))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$ with a similar result for the $Y$ 's.

The proof is immediate.

— whuber
kaynak