Her bir nokta her ikisi de kendi belirsizlik vardır Regresyon

ve değişkenlerinin ölçümünü yaptım . Her ikisinin de ilişkili belirsizlikleri ve olduğu bilinmektedir . ve arasındaki ilişkiyi bulmak istiyorum . Nasıl yapabilirim?x y σ x σ y x $n$$x$$y$$\sigma_x$$\sigma_y$$x$$y$

DÜZENLEME : her ile ilişkili farklı bir ve ile aynı .σ x , i y $x_i$$\sigma_{x,i}$$y_i$

Tekrarlanabilir R örneği:

## pick some real x and y values 
true_x <- 1:100
true_y <- 2*true_x+1

## pick the uncertainty on them
sigma_x <- runif(length(true_x), 1, 10) # 10
sigma_y <- runif(length(true_y), 1, 15) # 15

## perturb both x and y with noise 
noisy_x <- rnorm(length(true_x), true_x, sigma_x)
noisy_y <- rnorm(length(true_y), true_y, sigma_y)

## make a plot 
plot(NA, xlab="x", ylab="y",
    xlim=range(noisy_x-sigma_x, noisy_x+sigma_x), 
    ylim=range(noisy_y-sigma_y, noisy_y+sigma_y))
arrows(noisy_x, noisy_y-sigma_y, 
       noisy_x, noisy_y+sigma_y, 
       length=0, angle=90, code=3, col="darkgray")
arrows(noisy_x-sigma_x, noisy_y,
       noisy_x+sigma_x, noisy_y,
       length=0, angle=90, code=3, col="darkgray")
points(noisy_y ~ noisy_x)

## fit a line 
mdl <- lm(noisy_y ~ noisy_x)
abline(mdl)

## show confidence interval around line 
newXs <- seq(-100, 200, 1)
prd <- predict(mdl, newdata=data.frame(noisy_x=newXs), 
    interval=c('confidence'), level=0.99, type='response')
lines(newXs, prd[,2], col='black', lty=3)
lines(newXs, prd[,3], col='black', lty=3)

Bu örnekte sorun ben hiçbir belirsizlikler var olduğunu varsayar düşünüyorum olmasıdır . Bunu nasıl düzeltebilirim?$x$

$L$$\theta$$\gamma$

Herhangi bir nokta arasındaki işaretli mesafe$(x,y)$

$x_i$$\sigma_i^2$$y_i$$\tau_i^2$$x_i$$y_i$

$\theta$$\gamma$

$\sigma_i$$\tau_i$$0$

$\tau_i$$\sigma_i$$x$$n=8$

Gerçek çizgi noktalı mavi ile gösterilir. Bununla birlikte orijinal noktalar içi boş daireler olarak çizilir. Gri oklar, onları katı siyah diskler olarak çizilen gözlenen noktalara bağlar. Çözelti, düz kırmızı bir çizgi halinde çizilir. Gözlenen ve gerçek değerler arasında büyük sapmaların varlığına rağmen, çözüm bu bölgedeki doğru çizgiye oldukça yakındır.

#
# Generate data.
#
theta <- c(1, -2, 3) # The line is theta %*% c(x,y,-1) == 0
theta[-3] <- theta[-3]/sqrt(crossprod(theta[-3]))
n <- 8
set.seed(17)
sigma <- rexp(n, 1/2)
tau <- rexp(n, 1)
u <- 1:n
xy.0 <- t(outer(c(-theta[2], theta[1]), 0:(n-1)) + c(theta[3]/theta[1], 0))
xy <- xy.0 + cbind(rnorm(n, sd=sigma), rnorm(n, sd=tau))
#
# Fit a line.
#
x <- xy[, 1]
y <- xy[, 2]
f <- function(phi) { # Negative log likelihood, up to an additive constant
  a <- phi[1]
  gamma <- phi[2]
  sum((x*cos(a) + y*sin(a) - gamma)^2 / ((sigma*cos(a))^2 + (tau*sin(a))^2))/2
}
fit <- lm(y ~ x) # Yields starting estimates
slope <- coef(fit)[2]
theta.0 <- atan2(1, -slope)
gamma.0 <- coef(fit)[1] / sqrt(1 + slope^2)
sol <- nlm(f,c(theta.0, gamma.0))
#
# Plot the data and the fit.
#
theta.hat <- sol$estimate[1] %% (2*pi)
gamma.hat <- sol$estimate[2]
plot(rbind(xy.0, xy), type="n", xlab="x", ylab="y")
invisible(sapply(1:n, function(i) 
  arrows(xy.0[i,1], xy.0[i,2], xy[i,1], xy[i,2], 
         length=0.15, angle=20, col="Gray")))
points(xy.0)
points(xy, pch=16)
abline(c(theta[3] / theta[2], -theta[1]/theta[2]), col="Blue", lwd=2, lty=3)
abline(c(gamma.hat / sin(theta.hat), -1/tan(theta.hat)), col="Red", lwd=2)

X ve y'deki belirsizlikler için maksimum olasılık optimizasyonu York (2004) tarafından ele alınmıştır. İşte işlevi için R kodu.

Rick Wehr tarafından yazılan "YorkFit", 2011, Rachel Chang tarafından R'ye çevrildi

Eq. (13), York 2004, sırayla York 1969, Yer ve Gezegen Bilimleri Mektuplarına dayanan Amerikan Fizik Dergisi

YorkFit <- işlevi (X, Y, Xstd, Ystd, Ri = 0, b0 = 0, printCoefs = 0, makeLine = 0, eps = 1e-7)

X, Y, Xstd, Ystd: X noktaları, Y noktaları ve standart sapmalarını içeren dalgalar

UYARI: Xstd ve Ystd sıfır olamaz, çünkü bu Xw veya Yw'nin NaN olmasına neden olur. Bunun yerine çok küçük bir değer kullanın.

Ri: X ve Y hataları için korelasyon katsayıları - uzunluk 1 veya X ve Y uzunluğu

b0: eğim için kaba ilk tahmin (hatasız standart en küçük karelerden sığdırılarak elde edilebilir)

printCoefs: sonuçları komut penceresinde görüntülemek için 1'e eşit olarak ayarlayın

makeLine: fit çizgisi için bir Y dalgası oluşturmak için 1'e eşit olarak ayarlayın

Kesişim ve eğim artı belirsizliklerini içeren bir matris döndürür

B0 için ilk tahmin yapılmazsa, (b0 == 0) {b0 = lm (Y ~ X) $ katsayıları [2]} ise OLS kullanın.

tol = abs(b0)*eps #the fit will stop iterating when the slope converges to within this value

a, b: son kesişim ve eğim a.err, b.err: kesişim ve eğimdeki tahmini belirsizlikler

# WAVE DEFINITIONS #

Xw = 1/(Xstd^2) #X weights
Yw = 1/(Ystd^2) #Y weights


# ITERATIVE CALCULATION OF SLOPE AND INTERCEPT #

b = b0
b.diff = tol + 1
while(b.diff>tol)
{
    b.old = b
    alpha.i = sqrt(Xw*Yw)
    Wi = (Xw*Yw)/((b^2)*Yw + Xw - 2*b*Ri*alpha.i)
    WiX = Wi*X
    WiY = Wi*Y
    sumWiX = sum(WiX, na.rm = TRUE)
    sumWiY = sum(WiY, na.rm = TRUE)
    sumWi = sum(Wi, na.rm = TRUE)
    Xbar = sumWiX/sumWi
    Ybar = sumWiY/sumWi
    Ui = X - Xbar
    Vi = Y - Ybar

    Bi = Wi*((Ui/Yw) + (b*Vi/Xw) - (b*Ui+Vi)*Ri/alpha.i)
    wTOPint = Bi*Wi*Vi
    wBOTint = Bi*Wi*Ui
    sumTOP = sum(wTOPint, na.rm=TRUE)
    sumBOT = sum(wBOTint, na.rm=TRUE)
    b = sumTOP/sumBOT

    b.diff = abs(b-b.old)
  }     

   a = Ybar - b*Xbar
   wYorkFitCoefs = c(a,b)

# ERROR CALCULATION #

Xadj = Xbar + Bi
WiXadj = Wi*Xadj
sumWiXadj = sum(WiXadj, na.rm=TRUE)
Xadjbar = sumWiXadj/sumWi
Uadj = Xadj - Xadjbar
wErrorTerm = Wi*Uadj*Uadj
errorSum = sum(wErrorTerm, na.rm=TRUE)
b.err = sqrt(1/errorSum)
a.err = sqrt((1/sumWi) + (Xadjbar^2)*(b.err^2))
wYorkFitErrors = c(a.err,b.err)

# GOODNESS OF FIT CALCULATION #
lgth = length(X)
wSint = Wi*(Y - b*X - a)^2
sumSint = sum(wSint, na.rm=TRUE)
wYorkGOF = c(sumSint/(lgth-2),sqrt(2/(lgth-2))) #GOF (should equal 1 if assumptions are valid), #standard error in GOF

# OPTIONAL OUTPUTS #

if(printCoefs==1)
 {
    print(paste("intercept = ", a, " +/- ", a.err, sep=""))
    print(paste("slope = ", b, " +/- ", b.err, sep=""))
  }
if(makeLine==1)
 {
    wYorkFitLine = a + b*X
  }
 ans=rbind(c(a,a.err),c(b, b.err)); dimnames(ans)=list(c("Int","Slope"),c("Value","Sigma"))
return(ans)
 }