Poisson modelleri söz konusu olduğunda, uygulamanın sıklıkla ortak değişkenlerinizin (daha sonra bir kimlik bağlantısı anlamına gelir) katkı maddesi olarak mı, yoksa doğrusal ölçekte (o zamanlar bir günlük bağlantısı anlamına gelir) çarpımsal olarak mı hareket edeceğini belirlediğini söyleyebilirim. Ancak bir kimlik bağlantısına sahip Poisson modelleri de normalde mantıklıdır ve yalnızca takılan katsayılara olumsuzluk kısıtlamaları uyguladığında kararlı bir şekilde sığabilir - bu nnpois, R addregpaketindeki nnlmişlev kullanılarak veyaNNLMpaketlemek. Bu yüzden, Poisson modellerine hem kimlik hem de günlük bağlantısı ile uyması ve hangisinin en iyi AIC'ye sahip olduğunu ve tamamen istatistiksel temellere dayanan en iyi modeli çıkardığını görmüyorum - aksine, çoğu durumda çözülmeye çalışılan sorunun ya da eldeki verilerin temel yapısı.
Örneğin, kromatografide (GC / MS analizi) çoğu zaman Gauss biçimli birkaç tepe noktasının üst üste binmiş sinyali ölçülür ve bu üst üste binmiş sinyal bir elektron çarpanı ile ölçülür, yani ölçülen sinyal iyon sayımıdır ve bu nedenle Poisson dağıtılır. Zirvelerin her biri tanım gereği pozitif bir yüksekliğe sahip olduğu ve katkı maddesi olarak hareket ettiği ve gürültü Poisson olduğu için, burada kimlik bağlantılı negatif olmayan bir Poisson modeli uygun olacaktır ve bir günlük bağlantısı Poisson modeli basit yanlış olacaktır. Mühendislikte Kullback-Leibler kaybı genellikle bu tür modeller için bir kayıp fonksiyonu olarak kullanılır ve bu kaybın en aza indirilmesi, negatif olmayan bir kimlik bağlantılı Poisson modelinin olasılığını optimize etmeye eşdeğerdir (ayrıca alfa veya beta sapması gibi diğer ıraksama / kayıp önlemleri de vardır. özel bir durum olarak Poisson olan).
Aşağıda, düzenli bir sınırlandırılmamış kimlik bağlantısı Poisson GLM'nin (negatiflik kısıtlamalarının olmaması nedeniyle) uymadığının ve negatif olmayan kimlik bağlantısı Poisson modellerinin nasıl kullanılacağına dair bazı detaylar içeren sayısal bir örnek bulunmaktadır.nnpoisburada, tek bir zirvenin ölçülen şeklinin kaydırılmış kopyalarını içeren şeritli bir eş değişkenli matris kullanarak, üzerlerinde Poisson gürültüsü ile ölçülen bir kromatografik piklerin üst üste binmesini çözme bağlamında. Buradaki negatif olmayanlık çeşitli nedenlerden dolayı önemlidir: (1) eldeki veriler için tek gerçekçi modeldir (buradaki zirveler negatif yüksekliğe sahip olamaz), (2) kimlik bağlantılı bir Poisson modelini ( Aksi takdirde, bazı değişken değerlerin tahminleri negatif olabilir, bu da mantıklı olmayacaktır ve olasılık değerlendirilmeye çalışıldığında sayısal problemler verecektir), (3) negatiflik, regresyon problemini düzenli hale getirmek için hareket eder ve istikrarlı tahminler elde etmeye büyük ölçüde yardımcı olur (örn. sıradan kısıtsız regresyonda olduğu gibi tipik olarak aşırı uydurma problemlerini alamazsınız,olumsuzluk kısıtlamaları, çoğunlukla yer gerçeğine daha yakın olan daha seyrek tahminlerle sonuçlanır; Aşağıdaki dekonvolüsyon problemi için, örneğin performans LASSO regülasyonu kadar iyidir, ancak herhangi bir regülasyon parametresinin ayarlanmasını gerektirmeden. ( L0-psödomon cezalandırılmış regresyon hala biraz daha iyi ama daha büyük bir hesaplama maliyetiyle çalışıyor )
# we first simulate some data
require(Matrix)
n = 200
x = 1:n
npeaks = 20
set.seed(123)
u = sample(x, npeaks, replace=FALSE) # unkown peak locations
peakhrange = c(10,1E3) # peak height range
h = 10^runif(npeaks, min=log10(min(peakhrange)), max=log10(max(peakhrange))) # unknown peak heights
a = rep(0, n) # locations of spikes of simulated spike train, which are assumed to be unknown here, and which needs to be estimated from the measured total signal
a[u] = h
gauspeak = function(x, u, w, h=1) h*exp(((x-u)^2)/(-2*(w^2))) # peak shape function
bM = do.call(cbind, lapply(1:n, function (u) gauspeak(x, u=u, w=5, h=1) )) # banded matrix with peak shape measured beforehand
y_nonoise = as.vector(bM %*% a) # noiseless simulated signal = linear convolution of spike train with peak shape function
y = rpois(n, y_nonoise) # simulated signal with random poisson noise on it - this is the actual signal as it is recorded
par(mfrow=c(1,1))
plot(y, type="l", ylab="Signal", xlab="x", main="Simulated spike train (red) to be estimated given known blur kernel & with Poisson noise")
lines(a, type="h", col="red")
# let's now deconvolute the measured signal y with the banded covariate matrix containing shifted copied of the known blur kernel/peak shape bM
# first observe that regular OLS regression without nonnegativity constraints would return very bad nonsensical estimates
weights <- 1/(y+1) # let's use 1/variance = 1/(y+eps) observation weights to take into heteroscedasticity caused by Poisson noise
a_ols <- lm.fit(x=bM*sqrt(weights), y=y*sqrt(weights))$coefficients # weighted OLS
plot(x, y, type="l", main="Ground truth (red), unconstrained OLS estimate (blue)", ylab="Peak shape", xlab="x", ylim=c(-max(y),max(y)))
lines(x,-y)
lines(a, type="h", col="red", lwd=2)
lines(-a_ols, type="h", col="blue", lwd=2)
# now we use weighted nonnegative least squares with 1/variance obs weights as an approximation of nonnegative Poisson regression
# this gives very good estimates & is very fast
library(nnls)
library(microbenchmark)
microbenchmark(a_wnnls <- nnls(A=bM*sqrt(weights),b=y*sqrt(weights))$x) # 7 ms
plot(x, y, type="l", main="Ground truth (red), weighted nnls estimate (blue)", ylab="Signal (black) & peaks (red & blue)", xlab="Time", ylim=c(-max(y),max(y)))
lines(x,-y)
lines(a, type="h", col="red", lwd=2)
lines(-a_wnnls, type="h", col="blue", lwd=2)
# note that this weighted least square estimate in almost identical to the nonnegative Poisson estimate below and that it fits way faster!!!
# an unconstrained identity-link Poisson GLM will not fit:
glmfit = glm.fit(x=as.matrix(bM), y=y, family=poisson(link=identity), intercept=FALSE)
# returns Error: no valid set of coefficients has been found: please supply starting values
# so let's try a nonnegativity constrained identity-link Poisson GLM, fit using bbmle (using port algo, ie Quasi Newton BFGS):
library(bbmle)
XM=as.matrix(bM)
colnames(XM)=paste0("v",as.character(1:n))
yv=as.vector(y)
LL_poisidlink <- function(beta, X=XM, y=yv){ # neg log-likelihood function
-sum(stats::dpois(y, lambda = X %*% beta, log = TRUE)) # PS regular log-link Poisson would have exp(X %*% beta)
}
parnames(LL_poisidlink) <- colnames(XM)
system.time(fit <- mle2(
minuslogl = LL_poisidlink ,
start = setNames(a_wnnls+1E-10, colnames(XM)), # we initialise with weighted nnls estimates, with approx 1/variance obs weights
lower = rep(0,n),
vecpar = TRUE,
optimizer = "nlminb"
)) # very slow though - takes 145s
summary(fit)
a_nnpoisbbmle = coef(fit)
plot(x, y, type="l", main="Ground truth (red), nonnegative Poisson bbmle ML estimate (blue)", ylab="Signal (black) & peaks (red & blue)", xlab="Time", ylim=c(-max(y),max(y)))
lines(x,-y)
lines(a, type="h", col="red", lwd=2)
lines(-a_nnpoisbbmle, type="h", col="blue", lwd=2)
# much faster is to fit nonnegative Poisson regression using nnpois using an accelerated EM algorithm:
library(addreg)
microbenchmark(a_nnpois <- nnpois(y=y,
x=as.matrix(bM),
standard=rep(1,n),
offset=0,
start=a_wnnls+1.1E-4, # we start from weighted nnls estimates
control = addreg.control(bound.tol = 1e-04, epsilon = 1e-5),
accelerate="squarem")$coefficients) # 100 ms
plot(x, y, type="l", main="Ground truth (red), nonnegative Poisson nnpois estimate (blue)", ylab="Signal (black) & peaks (red & blue)", xlab="Time", ylim=c(-max(y),max(y)))
lines(x,-y)
lines(a, type="h", col="red", lwd=2)
lines(-a_nnpois, type="h", col="blue", lwd=2)
# or to fit nonnegative Poisson regression using nnlm with Kullback-Leibler loss using a coordinate descent algorithm:
library(NNLM)
system.time(a_nnpoisnnlm <- nnlm(x=as.matrix(rbind(bM)),
y=as.matrix(y, ncol=1),
loss="mkl", method="scd",
init=as.matrix(a_wnnls, ncol=1),
check.x=FALSE, rel.tol=1E-4)$coefficients) # 3s
plot(x, y, type="l", main="Ground truth (red), nonnegative Poisson nnlm estimate (blue)", ylab="Signal (black) & peaks (red & blue)", xlab="Time", ylim=c(-max(y),max(y)))
lines(x,-y)
lines(a, type="h", col="red", lwd=2)
lines(-a_nnpoisnnlm, type="h", col="blue", lwd=2)
