CLT'de neden

10

Let ortalama olan bir dağılımından bağımsız gözlemler ve varyansı , sonra, $X_1,...,X_n$ $\mu$ $\sigma^2 < \infty$ $n \rightarrow \infty$

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N- (0, 1) .

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$

Bu neden

{\bar{X}}_{n} ~ N- (μ, \frac{σ^{2}}{n}) ?

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$

probability central-limit-theorem

— mavavilj
kaynak

Belki de bu yeterince açık bir şekilde vurgulanmamıştır, ancak

matematiksel olarak anlamlı ve doğrudur,

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N- (0, 1)

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1)$

deyim olarak matematiksel olarak saçmadır,yanlış bile değildir.

{\bar{X}}_{n} ~ N- (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

— mü

17

Yorumunuz biraz yanlış. Merkezi Limit Teoremi (CLT),

{\bar{X}}_{n} \overset{yaklaşık}{~} N- (μ, \frac{σ^{2}}{n}) .

$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$

Bunun nedeni CLT'nin asimptotik bir sonuç olmasıdır ve pratikte sadece sonlu örneklerle ilgileniyoruz. Bununla birlikte, örnek boyutu yeterince büyük olduğunda, CLT sonucunun yaklaşık olarak doğru olduğunu varsayarız ve bu nedenle

\begin{aligned} \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} & \overset{yaklaşık}{~} N- (0, 1) \\ \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} . \frac{σ}{\sqrt{n}} & \overset{yaklaşık}{~} \frac{σ}{\sqrt{n}} N- (0, 1) \\ {\bar{X}}_{n} - μ & \overset{yaklaşık}{~} N- (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} - μ + μ & \overset{yaklaşık}{~} μ + N- (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} & \overset{yaklaşık}{~} N- (μ, \frac{σ^{2}}{n}) . \end{aligned}

$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$

Bunun nedeni, rastgele bir değişkeni ve , (bu ikinci adımda kullanılır) ve sabitleri , (bu son ikinci adımda kullanılır). $X$ $a,b$ $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ $E(b + X) = b + E(X)$ $\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

Cebirin daha fazla açıklaması için bunu okuyun .

— Greenparker
kaynak

Eğer LHS terimler çekerken kullandığınız neyi "cebir" açıklayabilir misiniz

RHS için?

\sim

$\sim$

— mavavilj

Cebiri açıkladım. Çoğu varyans ve beklenti özelliklerini kullanıyor.

— Greenparker

Neden

ikinci terimi

haline

N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

?

N (μ, μ + \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \mu+\frac{\sigma^2}{n})$

— mavavilj

3

Çünkü

. Sezgisel olarak, rastgele bir değişkene sabit bir sayı eklemek varyansını değiştirmez.

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$

— Greenparker

10

Bunu görmenin en kolay yolu, rastgele değişken ortalamasına ve varyansına . $\bar X_n$

Dolayısıyla , ortalamanın sıfır ve varyansın bir olduğunu belirtir. Bu nedenle, şu anlama sahibiz: $\mathcal{N}(0,1)$

kullanarak, buradaolan sabitler, elde ederiz:

E [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 0

$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$

E [a \cdot x + b] = a \cdot E [x] + b

$E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$

a, b

$a,b$

{\bar{X}}_{n} \approx μ

$\bar{X}_n\approx\mu$

Şimdi, , burada sabittir, varyans için aşağıdakileri elde ederiz: $\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$ $a,b$

var [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 1

$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$

var [{\bar{X}}_{n}] \approx \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$

Şimdi, ortalamasını ve varyansını biliyoruz ve bu ortalama ve varyans ile Gauss (normal) dağılımının ) olduğunu biliyoruz. $\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

Tüm bu cebirleri neden geçtiğinizi merak edebilirsiniz? birleştiğini neden doğrudan kanıtlamıyorsunuz? $\bar X_n$ ? $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

$\rightarrow$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

— Aksakal
kaynak

4

$\bar{X}_n$ $\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$ $\tau Z + \mu \sim$ $(\mu, \tau^2)$ $Z \sim$ $(0, 1)$

\begin{aligned} M_{τ Z + μ} (t) & = M_{Z} (τ t) M_{μ} (t) \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2} e^{t μ} \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2 + t μ} \end{aligned}

$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$

$(\mu, \tau^2)$

— dsaxton
kaynak

Moment üreten fonksiyon dağıtım için neden bunu kanıtlıyor?

— mavavilj

1

Bu olasılıktan kaynaklanmaktadır. İki rastgele değişken aynı moment üretme fonksiyonuna sahipse, dağılımda eşittir.

— dsaxton