Kumarbazın yanlışlığına karşı ortalamaya regresyon

Bir yandan, ortalamaya doğru bir gerileme var, diğer yandan da kumarbazın yanıltmasına sahibim .

Kumarbazın haksızlığı Miller ve Sanjurjo (2019) tarafından “rasgele dizilerin tersine çevrilmeye karşı sistematik bir eğilime sahip olduğu, yani benzer sonuçların çizgilerinin devam etmekten daha muhtemel olduğuna dair yanlış bir inanç” olarak tanımlanmaktadır. art arda defalarca sonraki denemede kuyruk düşmesi muhtemel olduğu düşünülüyor.

Son oyunda iyi bir performans elde ettim ve ortalamanın gerilemesine göre, muhtemelen bir sonraki oyunda daha kötü bir performans elde edeceğim.

Ancak, kumarbazın yanıltmasına göre: Adil bir madeni para varsayarak aşağıdaki iki olasılığı göz önünde bulundurun

1. 20 kafa olasılığı, ardından 1 kuyruk =$0.5^{20} × 0.5 = 0.5^{21}$
2. 20 kafa olasılığı, ardından 1 kafa =$0.5^{20} × 0.5 = 0.5^{21}$

Sonra...

Basit bir örnek ele alalım: Bir öğrenci sınıfı bir konuda 100 maddelik bir doğru / yanlış sınavına giriyor. Tüm öğrencilerin tüm soruları rastgele seçtiklerini varsayalım. Ardından, her öğrencinin puanı, beklenen ortalama 50 olan, bir dizi bağımsız ve aynı şekilde dağıtılmış rastgele değişkenlerden birinin gerçekleşmesi olur.

Doğal olarak, bazı öğrenciler sadece şans eseri olarak büyük ölçüde 50'nin üzerinde ve bazıları büyük ölçüde 50'nin altında puan alacaklardır. Bir öğrencinin sadece% 10'unu alırsa ve bütün maddelerde rastgele seçtikleri ikinci bir test verirse, ortalama puanın yine 50'ye yakın olması beklenir.

Böylece, bu öğrencilerin ortalaması, orijinal sınavı alan tüm öğrencilerin ortalarına kadar “gerileme” yapacaktı. Bir öğrencinin orijinal sınavda puanlaması ne olursa olsun, ikinci sınavda puanlarının en iyi tahmini 50'dir.

Özelde Biri öğrencilerin yalnızca% 10'unu alırsa ve bütün maddelerde rastgele seçtikleri ikinci bir test verirse, ortalama puanın yine 50'ye yakın olması beklenir.

Kumarbazın yanıltmasına göre, puanlama için aynı olasılık olması beklenmiyor ve mutlaka 50'ye yakın olması gerekmiyor mu?

Miller, JB ve Sanjurjo, A. (2019). Örneklem Boyutu İhmal Edildiğinde Kumarbazın Yanılgısını Nasıl Tecrübe Ediyor?

Sanırım “ortama gerileme” kavramının geçmişle hiçbir ilgisi olmadığı düşünülerek karışıklık çözülebilir. Bu sadece bir deneyin her bir yinelemesinde ortalama bir sonuç beklediğimizin tautolojik gözlemidir. Yani, daha önce ortalamanın üstünde bir sonuç elde etmiş olsaydık daha kötü bir sonuç beklerdik ya da ortalamanın altında bir sonuç elde edersek daha iyi bir sonuç bekleriz. Kilit nokta, beklentinin kendisinin kumarbazın yanıltmasında olduğu gibi önceki hiçbir tarihe bağlı olmadığıdır.

Kendinizi, rasyonel bir kişi olarak (ve adil bir madeni para varsayalım) böyle bir pozisyonda bulursanız, en iyi bahis, sadece tahmin etmek olacaktır. Kendinizi batıl inançlı bir kumarbaz gibi bir pozisyonda bulursanız, en iyi bahsiniz önceki olaylara bakmak ve geçmişe dair aklınızı haklı çıkarmaya çalışmaktır - örneğin, "Vay, kafalar sıcak , ante kalkma zamanı!" ya da "var hiçbir şekilde başka kafaları göreceğiz - çizgi bu tür olasılığı inanılmaz düşük!".

Kumarbazın haksızlığı, 20 madalyonun her özel dizisinin bizi delice muhtemel bir şekilde fırlattığını fark etmiyor - örneğin, 4 kafaya bölünmesi muhtemel olmayan alternatif kafaları ve kafaları çevirmesi pek mümkün değil. HHTHHTTTHT'yi çevirmek bile pek mümkün değil çünkü herhangi bir dizi için bunun birçok farklı sonuçtan ortaya çıkmasının tek bir yolu var . Bu nedenle, bunların herhangi birini "muhtemel" veya "muhtemel olmayan" olarak birleştirmek, hepsi eşitlenebilir nitelikte oldukları için bir yanlıştır.

Ortaya gerileme, uzun vadede, gözlemlerinizin sınırlı bir beklenen değere yakınlaşması gerektiğine dair doğru kurulmuş temelde bir inançtır. Mesela - 20 jetonun 10'unun attığı iyi bir bahis çünkü bunu başarmanın birçok yolu var. Bu son sayıya ulaşan çok daha az sayıda ip olduğundan, 20'nin 15'indeki bir bahis önemli ölçüde düşüktür. Etrafınıza yeterince uzun oturup (adil) paralar yazarsanız, sonuçta kabaca 50/50 olan bir şeyle sonuçlanacağını, ancak "çizgiler" veya başka bir olanaksız olmayan bir şeyle sonuçlanmayacağınıza dikkat etmek gerekir. içindeki olaylar. Bu iki kavram arasındaki farkın çekirdeği budur.

TL; DR : Ortalamanın gerilemesi, zaman içinde herhangi bir deneyde beklenenleri yansıtan bir dağıtımla sonuçlanacağınızı söylüyor. Kumarcının hatalı olması (yanlış), bir madalyonun her bir çevirisinin bir önceki bağımsız sonucu etkilemesi gereken önceki sonuçlarla ilgili belleğe sahip olduğunu söyler .

Her zaman, ortama yönelik gerilemenin aykırı değerleri gözlemlemek için telafi edici bir mekanizma olmadığını hatırlamaya çalışırım.

Üstün bir kumar oyununa sahip olmak ile 50-50 yaş arasında gidip gelmek arasında sebep-sonuç ilişkisi yoktur. Bir dağıtımdan örnekleme yaparken, ortalamaya yakın değerler görmenizin muhtemel olduğunu (Chebyshev'in eşitsizliğinin burada ne söyleyeceğini düşünün) hatırlamanın sadece yararlı bir yolu.

İşte basit bir örnek: Toplam 200 jeton atmaya karar verdiniz. Şimdiye kadar bunlardan 100'ünü attın ve son derece şanslı oldun:% 100 yükseldi kafaları (inanılmaz, biliyorum, ama sadece işleri basit tutalım).

İlk 100 atışta 100 kafaya bağlı olarak, oyun sonunda toplamda 150 kafa olmasını beklersiniz. Kumarbazın yanlışlığına aşırı bir örnek , ilk 100 atışta 100 elde ettikten sonra bile, hala sadece toplam 100 kafa (yani oyuna başlamadan önce beklenen değer) beklediğinizi düşünmek olacaktır. Kumarbaz haksız yere önümüzdeki 100 fırlatmanın kuyruk olması gerektiğini düşünüyor. Ortalamanın bir gerileme örneği (bu bağlamda), oyunu bitirirken% 100'lük kafa oranınızın% 150/200 =% 75'e (yani% 50'nin ortalamasına doğru) düşmesi beklenir.

Yanılıyor olabilirim ama her zaman bağımsızlık varsayımında olmanın farkını düşündüm.

Kumarbazın yanıltmasındaki sorun, bağımsızlığın yanlış anlaşılmasıdır. Büyük bir N sayı madeni para fırlatması üzerinden 50-50 bölünmüş olacağınızdan emin olabilirsiniz, ancak şans eseri değilse, bir sonraki T fırlattığınızın bahis oranlarının düşmesine yardımcı olacağı düşüncesi yanlışsa, çünkü her bozuk para fırlatmasından bağımsız önceki.

Ortama doğru gerileme, onu kullandığım yerdeki çizimlerin, bazı çizimlerin önceki çizimlere veya daha önce hesaplanmış ortalama / değerlere bağlı olduğudur. Örneğin NBA çekim yüzdesini kullanalım. Eğer A oyuncusu kariyeri boyunca atışlarının ortalama% 40'ını yaptıysa ve ilk 5 maçında% 70'i vurarak yeni bir yıla başlarsa, kariyer ortalamasının gerisine düşeceğini düşünmek mantıklıdır. Oyununu etkileyebilecek ve etkileyebilecek bağımlı faktörler var: sıcak / soğuk çizgiler, takım arkadaşı oyunu, güven ve eğer yıl boyunca% 70 çekim yapacaksa, fiziksel olarak imkansız olan birden fazla rekoru tamamen yok edeceği basit bir gerçek. (Profesyonel basket topu oyuncularının şu anki performans yetenekleri altında). Daha fazla oyun oynadıkça, çekim oranınız muhtemelen kariyer ortalamanıza yaklaşacak.

Önemli olan, bir sonraki etkinlik önceki etkinliğe bağlı olmadığından , bir sonraki etkinlikle (kumarbazın yanıltısı) bize yardımcı olacak hiçbir bilgimiz yok. Bir dizi denemenin nasıl gideceği hakkında makul bir tahminde bulunabiliriz . Bu makul tahmin, ortalama ve beklenen ortalama sonucumuzdur. Bu yüzden, ortalama eğilimde, zamana / denemelere göre ortalamaya doğru bir sapma izlediğimizde, o zaman ortalamaya bir gerileme tanık oluruz.

Ortalamanın gerilemesini görebileceğiniz gibi , gözlemlenen bir eylemler dizisidir, bir yordayıcı değildir. Daha fazla deneme yapıldığından işler normal / Gauss dağılımına daha yakın olacaktır. Bu, bir sonraki sonucun ne olacağı konusunda herhangi bir varsayımda bulunmadığım veya tahmin etmediğim anlamına gelir. Büyük sayılar yasasını kullanarak, şu anda bir şeylerin eğilimi olmasına rağmen, zaman içinde işlerin kendilerini dengede tutacağını teorik olarak söyleyebilirim. Kendilerini dengelediklerinde, sonuç kümesi ortama gerilemiştir. Gelecekte yapılacak denemelerin geçmiş sonuçlara bağlı olduğunu söylemediğimizi not etmek önemlidir. Sadece veri dengesinde bir değişiklik gözlemliyorum.

Kumarbaz safsata anladığım kadarıyla o 's hedeflerine daha acil ve gelecekteki olayların tahmin odaklanır. Bu, bir kumarbazın arzuladığı şeyi izler. Tipik olarak şans oyunları uzun vadede kumarbazına karşı yatırılır, bu nedenle bir kumarbaz bir sonraki denemenin ne olacağını bilmek ister, çünkü bu bilgiden yararlanmak istiyorlar. Bu, kumarbazın yanlışlıkla bir sonraki denemenin bir önceki deneye bağlı olduğunu varsaymasına neden olur. Bu gibi tarafsız seçeneklere yol açabilir:

Rulet çarkının son beş katı siyaha düştü, bu yüzden bir dahaki sefere kırmızıya büyük bahis yapıyorum.

Veya seçim kendi kendine hizmet olabilir:

Son 5 elimde tam bir ev kazandım, bu yüzden büyük bahisler alacağım çünkü kazanamaya başladım ve kaybedemem.

Gördüğünüz gibi birkaç önemli fark var:

1. Ortama gerileme, bağımsız denemelerin, kumarbazın yanıltması gibi bağımlı olduğu varsayılmaz.

2. Ortama gerileme, kumarbazın yanıltısının bir sonraki denemeyle ilgili olduğu büyük miktarda veri / deneme üzerinden uygulanır.

3. Ortama gerileme, daha önce neler yaşandığını açıklar. Kumarcının hatalı olması, geleceğe beklenen ortalama ve geçmiş sonuçlara dayanarak öngörüde bulunmaya çalışır.

Tekrar sınavda daha yüksek puan alan öğrenciler tekrar sınavda daha kötü puan alır mı?

Soru, altı cevabın sonundan bu yana önemli bir düzenleme aldı.

$100$

Yoksa rulet çarkından uzak durmaları mı gerekiyor?

$50\%$$50\%$$100$$50$

$60\%$$2.8\%$$3000$$60%$$85$

$85$$60\%$$50\%$$100$$60\%$$2.8\%$$2$$85$$2.8\% \cdot 85$$60\%$

$50\%$$100$$50$$50$

Şanslı paralar ve şanslı çevirir

$1000$$55\%$$G$$1000$$45\%$$B$$1000$$F$) ve bunları rastgele dağıtın. Bu, test etme örneği altında daha yüksek ve daha düşük bir yetenek / bilgiyi varsaymakla aynıdır, ancak cansız nesneler hakkında doğru bir şekilde düşünmek daha kolaydır.

$(55 \cdot 1000 + 45 \cdot 1000 + 50 \cdot 1000)/3000 = 50$$60\%$$18.3\%$$0.2\%$$2.8\%$$60\%$$7.1\%$$60\%$$21$

$21$$60\%$$50\%$$100$$86\% = 18.3\%/(18.3\% + 0.2\% + 2.8\%)$$1\% = 0.2\%/(18.3\% + 0.2\% + 2.8\%)$$13\%$$86\% \cdot 55 + 1\% \cdot 45 + 13\% \cdot 50 = 54.25$$100$$60$$50$

Bu nedenle, bazı madeni paralar diğerlerinden daha iyi olsalar bile, madeni paradaki rastlantısallık, bir testten en iyi oyuncuların seçilmesinin, tekrar testte ortalamanın bir miktar gerilemesi göstereceği anlamına gelir. Bu modifiye edilmiş modelde, hot-handness artık kesin bir yanlışlık değil - ilk turda daha iyi puan almak, iyi bir jetona sahip olma olasılığının yüksek olduğu anlamına geliyor! Ancak, kumarbazın yanıltması hala bir yanlıştır - iyi şanslar yaşayanların tekrar testte kötü şansla telafi edilmesi beklenemez.

Aynı şeyi söylüyorlar. Çoğu zaman kafanız karışmıştı çünkü madeni para çevirme örneğindeki tek bir deneyde aşırı sonuç oluşmadı (H / T 50/50). "Her denemede aynı anda on dürüst parayı çevirmek" olarak değiştirin ve kumarbazlar hepsini doğru yapmak istiyor. O zaman aşırı bir ölçüm olur; hepsinin kafa olduğunu görüyorsunuz.

Kumarbaz yanıltısı: Her kumar sonucuna (jeton çevirme sonucu) IID olarak davranın . Bu IID hisselerinin dağılımını zaten biliyorsanız, bir sonraki tahminin doğrudan bilinen dağıtımdan gelmesi ve geçmiş (veya gelecekteki) sonuçlarla (yani diğer IID) hiçbir ilgisi olmamalıdır.

Ortalamanın regresyonu: Her test sonucunu IID olarak kabul edin (çünkü öğrencinin rastgele bir tahminde bulunabileceği ve gerçek bir yeteneği olmadığı varsayılmıştır). Bu IID hisselerinin dağılımını zaten biliyorsanız, bir sonraki tahmin doğrudan bilinen dağıtımdan gelir ve tarihsel (veya gelecekteki) sonuçlarla (aka diğer IID) ( aynen daha önce olduğu gibi ) ilgisi yoktur . Ancak, CLT'ye göre , bir ölçümde aşırı değerler gözlemlediyseniz (örneğin, ilk testte sadece ilk% 10 öğrenciyi örneklemeniz şans eseri), bir sonraki gözlem / ölçümünüzden elde edilen sonucun hala bilinenlerden üretileceğini bilmelisiniz. dağılımı (ve bu yüzden aşırı ekstremitede kalmaktansa ortalamanın yakınında olması daha muhtemeldir).

Temel olarak, her ikisi de bir sonraki ölçümün geçmiş sonuçlar yerine dağıtımdan geleceğini söylüyor.

X ve Y, [0,1] 'de tek biçimli rasgele değişkenler olsun. Onları birbiri ardına gözlemlediğimizi varsayalım.

Kumarbazın Yanılgısı: P (Y | X)! = P (Y) Bu elbette saçma çünkü X ve Y bağımsız.

Ortalamanın regresyonu: P (Y <X | X = 1)! = P (Y <X) Bu doğrudur: LHS 1, LHS <1

Cevaplarınız için teşekkürler, Regression ortanca ile Gambler’in yanılsamaları arasındaki farkı anlayabildiğimi düşünüyorum. Dahası, "gerçek" durumda göstermeme yardımcı olacak bir veritabanı oluşturdum.

Bu durumu ben yaptım: 1000 öğrenci topladım ve soruları rastgele cevaplayan bir test yapmalarını sağladım.

Test puanı 01 ile 05 arasında değişmektedir. Rastgele soruları yanıtladıkları için her puanın% 20 ulaşma şansı vardır. Bu nedenle, ilk sınav için 05 puanına sahip öğrenci sayısı 200'e yakın bir şey olmalıdır

$1000*0,20$

$200$

Beklenen 200 öğrenciye çok yakın olan 05 puanıyla 196 öğrencim vardı.

Bu yüzden 196 öğrenciye koyduğum sınavda tekrarlanan 39 öğrencinin 05 puanla tekrarlanması bekleniyor.

$196*0,20$

$39$

Sonuca göre, beklenen sürede 42 öğrencim var.

05 puanını alanlara testi tekrar etmeleri için koştum.

Bu nedenle, beklenen sayılar şunlardı:

Beklenen RETEST 03

$42*0,20$

$8$

(3.3) Sonuçlar (8)

Beklenen RETEST 04

$8*0,20$

$1,2$

(4.3) Sonuçlar (2)

Beklenen RETEST 05

$2*0,20$

$0,1$

(4.3) Çıktılar (0)

$0,20^4$

$0,20^5 = 0,00032$

$0,00032 * 3500 = 1.2$

Bu nedenle, bir öğrencinin 05 sınavının tamamında skoru 05 alması ihtimalinin son puanıyla bir ilgisi yoktur, yani, her bir sınavdaki olasılığı tek tek hesaplamamalıyım. Bir olay gibi bu 05 testi aramalı ve bu olayın olasılığını hesaplamalıyım.