İzotropik (küresel) kovaryans matrisi nedir?

Birisi bana izotropik kovaryans matrisinin ne olduğunu basit bir şekilde açıklayabilir mi? Çevrimiçi olarak hiçbir şey bulamıyorum.

terminology covariance-matrix definition

— Ölçek
kaynak

Bir kovaryans matrisi , izotropik veya küresel olarak adlandırılır , eğer kimlik matrisi ile orantılıysa: yani diyagonaldir ve diyagonaldeki tüm öğeler eşittir. $\mathbf C$

C = λ I,

$\mathbf C = \lambda \mathbf I,$

Bu tanım koordinat sistemine bağlı değildir; koordinat sistemini dikey bir dönüş matrisi ile döndürürsek , kovaryans matrisi yani aynı kalacaktır. $\mathbf V$

V^{⊤} C V = V^{⊤} \cdot λ I \cdot V = V^{⊤} V \cdot λ I = λ I,

$\mathbf V^\top \mathbf C \mathbf V = \mathbf V^\top \cdot \lambda \mathbf I \cdot\mathbf V = \mathbf V^\top \mathbf V \cdot \lambda \mathbf I = \lambda \mathbf I,$

Sezgisel olarak, izotropik kovaryans matrisi bir "küresel" veri bulutuna karşılık gelir. Bir küre, dönüşten sonra bir küre olarak kalır.

— amip
kaynak

Değişkenler kovaryans matrisine döndürmek için döndürülebilirse ne olur ?

λ I

$\lambda \mathbf I$

— Aksakal

@Aksakal Güncellemeye bakın.

— amip

+1. Ama merakla, tamamen farklı bir "izotropik" tanımı için de geçerlidir çünkü - kovaryans matrislerinde olduğu gibi - gerçek bir vektör uzayında ikinci dereceden bir formu temsil eder. Fakat bu başka anlamda, tek izotropik kovaryans matrisi sıfır matrisidir!

C

$C$

— whuber

@whuber İlginç! "İzotropik" kuadratik formlar kavramının var olduğunu hatırlamadım. Fakat şimdi tanımı okumak, en az bir sıfır özdeğeri olan herhangi bir kovaryans matrisi bu anlamda "izotropik" olmaz mı?

— amip

Haklısın - nicelik belirtecini yanlış belirttim. Tanım olarak, bir izotropik kuadratik form, en az bir sıfır olmayan izotropik vektöre sahiptir ( tüm vektörlerin izotropik olması yerine ).

— whuber

Kovaryans yalnızca. Orada bir tanım bulabilirsiniz . $|x - x'|$

Edit: üzgünüm yanlış okudum, matris için doğru cevap amoeba biridir.

— mik
kaynak

Sorular kovaryans matrisi hakkında sorular soruyor . Tabii ki bir matris bir işlev olarak görülebilir, ancak sanırım bu OP için biraz detaylandırma gerektirir.

— amip