Oz'da hiç mutsuz bir Tribble olacak mı?

İşte bir öğrencinin getirdiği eğlenceli bir problem. Başlangıçta bir silah tarafından düzenli aralıklarla ateşlenen karşılıklı imha mermileri açısından ifade edilmiş olsa da, daha barışçıl bir sunumun tadını çıkarabileceğinizi düşündüm.

Sonsuz düz Oz dünyasında, Sarı Tuğla Yolu Emerald City'nin merkezinde başlar, kırsal alanda gevşer ve kendini geçmeden sonsuza dek ilerler. Her gün öğlen saatlerinde, bir şehvetli genç hermafroditik Tribble, bu yol boyunca, günde bir kilometreye kadar eşit olarak rastgele seçilen bir hızda başlayarak yola koyuluyor. Yolculuğu boyunca aynı hızda yuvarlanmaya devam edecek, asla durmayacak. Ancak, bir Tribble yolda başka bir kişiyi geçerse, her biri anında ruh eşini ve ikisinin bir tarafa düştüğünü fark eder (muhtemelen çoğalmak ve sonunda eve daha fazla Tribbles tedarik etmek).

Bildiğiniz gibi, bu tür çiftleşmeler sık ​​sık gerçekleşir, çünkü herhangi bir iki Tribble'ın aynı hızda yuvarlanma şansı sıfırdır. Ah mutlu Tribbles! Fakat hayatın hepsi için iyi olacağı garanti ediliyor mu?

En az bir Tribble'ın sonsuza dek devam etmesi, asla sollama veya geçilmemesi ihtimali nedir?

Edit: Olumlu olasılık ve olasılık 1 fikrini karışık gibi görünüyor. Burada kanıtladı ifade umduğumdan çok daha zayıf.

Sezgisel olarak, cevap 0'dır. Bunu kanıtlamak zor değil

Olumlu olasılıkla verilen herhangi bir Tribble sonunda bir eş alır.

Ama bence bu, pozitif olasılıkla, her kabile sonunda Zeno'nun paradoksuna göre bir eş alıyor demek için yeterli olmayabilir .

İşte alıntı yapılan ifadenin bir kanıtı. İlk olarak, sorunu aşağıdaki gibi daha basit bir alternatif formülasyonla değiştirelim. Boş başlayan bir yığın var. Bir bilgisayar [0, 1] 'den bağımsız ve muntazam sırayla rastgele değişkenler çizer. Her değer çekildiğinde yığın değişir.

• Yığın boşsa veya yığındaki üst öğe daha büyük bir değere sahipse, yeni değerle yeni bir öğe eklenir. (Son mermiden daha yavaş bir mermi veya son Tribble'dan daha yavaş bir Tribble oluşturuldu.)
• Aksi takdirde, üst öğe kaldırılır. (Mermiler veya Tribbles çarpışır.)

(Bu formülasyon, bir öncekinden daha hızlı bir mermi veya Tribble olayını içermez, ancak bir öncekine çarpmadan önce imha edilir, ancak böyle bir olay yığını aynı bırakır, bu nedenle sonuç vermez.)

Olumlu bir olasılıkla verilen herhangi bir öğenin sonunda yığından kaldırıldığını kanıtlamak istiyorum. Genellik kaybı olmadan, değerinin asla çizilmediğini varsayabiliriz , çünkü bunun gerçekleşme olasılığı 0'dır. mevcut bir öğe ve değerini olsun. , ve üzerindeki öğe sayısı olsun değerlerini sırayla, geçerli en üst öğenin değeridir. Bir sonraki ise değerleri, sırası ile, ara toprak çizilecek , aralık , ve bu kadar açık , daha sonraI 0 v 0 k I 0 v 1$1$$I_0$$v_0$$k$$I_0$v k k + 1 ( v k , 1 ) ( v k - 1 , 1 ) ( v 0 , 1 ) I 0 ( 1 - v k ) ( 1 - v k - 1 ) ⋯ ( 1 - v 0$v_1,\; v_2,\; …,\; v_k$$v_k$$k + 1$$(v_k, 1)$$(v_{k-1}, 1)$$(v_0, 1)$$I_0$ ve üzerindeki tüm öğeler kaldırılacak. Bu olayın olasılığı, pozitif sayıların sonlu bir ürünü olan , bu yüzden pozitiftir.$(1 - v_k)(1 - v_{k-1})\cdots(1 - v_0)$