İki Formula 1 kalifikasyon formatında istatistiksel varyasyon

15

Formül 1'deki niteleme biçimi hakkındaki bu BBC makalesini yeni okudum .

Organizatörler, yeterliliği daha az öngörülebilir kılmak, yani sonuçtaki istatistiksel çeşitliliği artırmak istemektedir. Birkaç ilgisiz ayrıntıya bakarak, şu anda sürücüler en iyi tek turla (somutluk için) iki denemeden sıralanıyor.

Bir F1 şefi Jean Todt, sürücülerin ortalama iki turla derecelendirilmesinin istatistiksel çeşitliliği artıracağını öne sürdü, çünkü sürücüler hata yapma olasılığının iki katı olabilir. Diğer kaynaklar, herhangi bir ortalamanın kesinlikle istatistiksel varyasyonu azaltacağını savundu.

Makul varsayımlar altında kimin haklı olduğunu söyleyebilir miyiz? Sanırım ile nin göreli varyansına kadar kaybolur , burada ve sürücünün iki tur süresini temsil eden rastgele değişkenlerdir? $\text{mean}(x,y)$ $\text{min}(x,y)$ $x$ $y$

variance

— Innisfree
kaynak

6

Bence tur zamanlarının dağılımına bağlı.

Let bağımsız olarak, aynı dağıtılmış. $X,Y$

Eğer ve ardından $P(X=0)=P(X=1)=\frac{1}{2}$ $Var(\frac{X+Y}{2}) = \frac{1}{8} < Var( \min(X,Y)) = \frac{3}{16}.$
Bununla birlikte, , $P(X=0) = 0.9, P(X=100)=0.1$ $Var(\frac{X+Y}{2}) = 450 > Var( \min(X,Y)) = 99.$

Bu, bir hata yapma (yani, küçük bir olasılıkla son derece uzun bir süre çalıştırma) sorusunda belirtilen argümanla uyumludur. Bu nedenle, tur zamanlarının dağılımına karar vermek zorundayız.

— sandris
kaynak

İlginç, bunun gibi bir şey sürekli rvs için de çalışıyor sanırım. Önceki kanıtta tam olarak yanlış olan şey neydi?

— innisfree

1

Anladığım kadarıyla, verildiğinde , ile ortalama arasındaki mesafenin her zaman ve arasındaki mesafeden daha az olduğunu , dolayısıyla ortalamanın varyansının varyansı . Ancak bu takip etmez: sürekli olarak uzak kalabilirken, ortalama çok değişkendir. Kanıt gerçek bir hesaplamaya dayanıyorsa, tam noktanın yanlış gittiği yeri tam olarak belirlemek daha kolay olurdu (veya sonuçta geçerli olup olmadığını kontrol edin).

x \geq y

$x\geq y$

x

$x$

x

$x$

min (x, y)

$\min(x,y)$

min (x, y)

$\min(x,y)$

min (x, y)

$\min(x,y)$

— sandris

2

Genellik kaybı olmadan, ve her iki değişkenin de belirli bir ortalama ve varyans ile aynı dağılımdan çekildiğini varsayın . $y \leq x$

$\{y,x\}$ , üzerinde , $\{x\}$

durum 1, ortalama: , $\frac{y-x}{2}$

vaka 2, min: . $y-x$

Bu nedenle, ortalamanın iyileştirme üzerinde (varyans tarafından yönlendirilen) etkisinin asgari (2 deneme için) alınmasından yarısı vardır. Yani, ortalama değişkenliği azaltır.

— James
kaynak

Bunun oldukça doğru olduğuna ikna olmadım, lütfen resmi bir açıklama yapabilir misiniz?

— sandris

2

İşte Var'ın kanıtı [Mean]

2 rastgele değişken x için, y ile ortalama ve maks ile min arasında bir ilişki vardır.

Bu nedenle

2 M e a n (x, y) = M i n (x, y) + M a x (x, y)

$2\,Mean(x,y) = Min(x,y) + Max(x,y)$

4 V a r [M e a n] = V a r [M i n] + V a r [M a x] + 2 C o v [M i n, M a x]

$4\,Var[Mean] = Var[Min]+Var[Max]+2\,Cov[Min,Max]$

V a r [M i n (x, y)] = V a r [M a x (x, y)]

$Var[Min(x,y)]=Var[Max(x,y)]$

4 V a r [M e a n] = 2 V a r [M i n] + 2 C o v [M i n, M a x]

$4\,Var[Mean] = 2\,Var[Min] + 2\,Cov[Min,Max]$

C o v [M i n, M a x] <= s q r t (V a r [M i n] V a r [M a x]) = V a r [M i n]

$Cov[Min,Max]<=sqrt(Var[Min]Var[Max])=Var[Min]$

V a r [M e a n] <= V a r [M i n]

$Var[Mean]<=Var[Min]$

— sega_sai
kaynak

1

Güzel soru, teşekkür ederim! @Sandris ile tur zamanlarının dağılımının önemli olduğunu kabul ediyorum, ancak sorunun nedensel yönlerinin ele alınması gerektiğini vurgulamak istiyorum . Tahminimce F1, aynı ekip veya sürücünün her yıl spora egemen olduğu sıkıcı bir durumdan kaçınmak istiyor ve özellikle 'sıcak' yeni sürücülerin yapabileceği gerçek bir olasılıkın (gelir getirici!) Heyecanını tanıtmayı umuyorlar. aniden sporda ortaya çıkar.

Yani, tahminimce takımların / sürücülerin aşırı istikrarlı sıralamalarını bozma umudu var. (İle benzetme düşünün sıcaklığını yükselterek içinde simüle tavlama .) Soru o zaman olur, ne nedensel faktörler iş yerinde ve nasıl bu kadar güncel incumbents için kalıcı avantaj yaratmak amacıyla sürücüleri / takımların nüfus üzerinden dağıtılır. (Toplumda 'oyun alanını düzleştirmek' için yüksek miras vergilerinin tahsil edilmesi benzer bir soruyu düşünün.)

$n$

Öte yandan, motor arızasının tüm takımlarda aynı olasılıkla kontrol edilemeyen bir olay olduğunu ve mevcut sıralamanın diğer birçok faktörde sürücü / takım kalitesindeki gerçek derecelendirmeyi doğru bir şekilde yansıttığını varsayalım . Bu durumda, bir motor arızasının kötü şansı, F1'in daha fazla fırsat eşitliği elde etmek için kullanabileceği yalnız 'dengeleme faktörü' olacağına söz verir - en azından 'rekabetin görünümünü tahrip eden ağır elle sıralama manipülasyonları olmadan. Bu durumda, motor arızalarını ağır şekilde cezalandıran bir politika (bu senaryoda görevdekilerin lehine göreceli olarak çalışmayan tek faktör) sıralamalarda istikrarsızlığı teşvik etmeyi vaat eder. Bu durumda, yukarıda belirtilen n'in en iyi politikası takip edilmesi gereken yanlış politika olacaktır.

— David C. Norris
kaynak

0

Genel olarak, iki koşunun ortalamasının daha düşük bir varyansa sahip olacağı konusunda diğer cevaplara katılıyorum, ancak sorunun altında yatan önemli yönleri dışarıda bıraktıklarına inanıyorum. Sürücülerin kurallara nasıl tepki verdikleri ve yeterlilik stratejileri ile ilgili çok şey var.

Örneğin, sadece bir tur hakkı ile sürücüler daha muhafazakar ve dolayısıyla daha öngörülebilir ve izlemesi daha sıkıcı olur. İki turlu fikir, sürücülerin bu "mükemmel tur" u elde etmeye çalışmak için bir şansını denemelerine izin vermek, diğeri ise muhafazakar bir koşu için kullanılabilir. Daha fazla koşu çok zaman alır, bu da sıkıcı olabilir. Mevcut kurulum en kısa sürede en fazla aksiyonu almak için "tatlı nokta" olabilir.

Ayrıca ortalama bir yaklaşımla sürücünün en hızlı tekrarlanabilir tur süresini bulması gerektiğini unutmayın. Min yaklaşımı ile, sürücünün sadece bir tur için olabildiğince hızlı sürmesi ve muhtemelen ortalama yaklaşımı altında olduğundan daha fazla itmesi gerekir.

Bu tartışma oyun teorisine daha yakın. Sorunuz bu ışıkta çerçevelendiğinde daha iyi yanıtlar alabilir. Daha sonra, bir sürücünün ilk tur süresini ikinci bir çalışma lehine bırakma seçeneği ve muhtemelen daha hızlı veya daha yavaş bir zaman gibi başka teknikler önerilebilir. Vb.

Ayrıca, bu yıl yeterliliklerde, genellikle sürücüleri muhafazakar bir tur haline getiren bir değişikliğin denendiğini unutmayın. https://en.wikipedia.org/wiki/2016_Formula_One_season#Qualifying Sonuç bir felaket olarak görüldü ve hemen iptal edildi.

— Maddenker
kaynak