Bir gözlem seviyesi Mahalanobis mesafesinin dağılımı

Çok değişkenli normal iid örneğine sahipseniz $X_1, \ldots, X_n \sim N_p(\mu,\Sigma)$ ve (sıralama vektörü örnek bir noktadan [kare] Mahalanobis mesafe olan matris kullanılarak ağırlığı için), dağılımı ne örnek (Mahalanobis mesafe örnek kovaryans matrisi kullanılarak ortalama )?

d_{i}^{2} (b, A) = (X_{i} - b)^{'} A^{- 1} (X_{i} - b)

$d_i^2(b,A) = (X_i - b)' A^{-1} (X_i - b)$

a

$a$

A

$A$

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

\bar{X}

$\bar X$

S

$S$

olduğunu iddia eden bir makaleye , ancak bu açıkça yanlıştır: dağılımı (bilinmeyen) popülasyon ortalaması vektörünü kullanarak için elde edilmiş olur ve kovaryans matrisi. Örnek analogları takıldığında, bir Hotelling dağılımı veya ölçekli bir dağılımı veya buna benzer bir şey, . Kesin sonucu ya Muirhead'de (2005) , ne Anderson'ta (2003) , ne de Mardia, Kent ve Bibby'de (1979, 2003) bulamadım. $\chi^2_p$ $\chi^2_p$ $d_i^2(\mu,\Sigma)$ $T^{\ 2}$ $F(\cdot)$ $\chi^2_p$ . Görünüşe göre, bu adamlar çok değişkenli normal dağılım mükemmel olduğu ve çok değişkenli veri topladığı her zaman kolayca elde edildiği için, tanı koyucuları rahatsız etmedi: - /.

Her şey bundan daha karmaşık olabilir. Hotelling dağıtım sonucu, vektör kısmı ile matris kısmı arasındaki bağımsızlığı varsayar; bu bağımsızlık ve , fakat artık ve için . $T^{\ 2}$ $\bar X$ $S$ $X_i$ $S$

multivariate-analysis outliers

— StasK
kaynak

Tanımında,

, hala görüntülerim

rastgele değişken olarak ya da sabit bir vektör olarak muamele şu anda? Aboneliği dahil etmek ikincisini önerir, ancak bu biraz garip görünüyor.

d_{i}^{2}

$d_i^2$

X_{i}

$X_i$

— whuber

Sadece küçük bir off-the-manşet yan not, ancak önceden olduğu

göre söz konusu yan olduğunu

(olmalıdır sabit bir sabit eşittir

, ya da benzer, sanırım) neredeyse kesin.

X_{i} - \bar{X}

$X_i - \bar{X}$

μ

$\mu$

\sum_{i} d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$\sum_i d_i^2(\bar{X},S)$

n - p

$n-p$

— kardinal

@whuber - belki de yeni bir gözlem değil, örnekten bir gözlem kullanılarak hesaplandığını vurgulamak ister misiniz?

— Jbowman

@whuber, aşağı yukarı jbowman'ın söylediği sıralar boyunca - bunun gözlem düzeyinde bir istatistik olduğunu belirtmek için (örnek ortalama gibi bir örnek seviye istatistikine karşılık).

— StasK

Dağılımı

, bir beta

, ama hala

dağılımını arıyorum

d_{i}^{2} (\bar{X}, S)

$d_i^2(\bar X,S)$

n / (n - 1)^{2} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (p / 2, (n - p - 1) / 2)

$n/(n-1)^2 d_i^2(\bar X,S) \sim B(p/2, (n-p-1)/2)$

d_{i}^{2} (μ, S)

$d^2_i(\mu, S)$ . Dağılımları

's bağımsız değildir.

d_{i}^{2}

$d^2_i$

Yanıtlar:

Check out Mahalonobis Distance Kötüye Kullanmak tarafından Gauss Karışım Modelleme ( alternatif bağlantı ). Bakınız sayfa 13, İkinci sütun. Yazarlara ayrıca dağıtımı türetmek için de bazı kanıtlar verildi. Dağılım ölçeklendirilmiş beta. Lütfen bu sizin için işe yaramazsa bana bildirin. Aksi takdirde yarın SS Wilks kitabındaki ipuçlarını kontrol edebilirim.

— vinux
kaynak

Makalede verilen cevap:

\frac{n}{(n - 1)^{2}} d_{i}^{2} (\bar{X}, S) \sim B (\frac{p}{2}, \frac{n - p - 1}{2})

$\frac{n}{(n-1)^2} d_i^2(\bar X, S) \sim B(\frac{p}{2}, \frac{n-p-1}{2} )$

$df=p$

\frac{n (d^{2})}{(n - 1)^{2}} \sim B e t a (\frac{p}{2}, \frac{(n - p - 1)}{2}) .

$\frac{n(d^2)}{(n-1)^2} \sim Beta\left(\frac{p}{2}, \frac{(n-p-1)}{2}\right).$ However, if the observation

x_{i}

$x_i$ is independent of the parameter estimates, then the distribution is proportional to a Fisher's F-ratio distribution:

(\frac{n d^{2} (n - p)}{(p (n - 1) (n + 1)}) \sim F (p, n - p)

$\left(\frac{nd^2(n-p)}{(p(n-1)(n+1)}\right) \sim F(p, n-p)$

— Joe Sullivan
kaynak

Welcome to the site, @JoeSullivan. I took the liberty of using

L A T E X

$\LaTeX$ to make your equations easier to read. Please make sure they still say what you want.

— gung - Reinstate Monica

can you give a reference for the F formula?

— eyaler

one related reference, section 3 in Hardin, Johanna, and David M. Rocke. 2005. “The Distribution of Robust Distances.” Journal of Computational and Graphical Statistics 14 (4): 928–46. doi:10.1198/106186005X77685.

— Josef