Poisson ve üstel dağılım arasındaki ilişki

Poisson dağılımının bekleme süreleri lambda parametresi ile üssel bir dağılımdır. Ama anlamıyorum. Poisson, örneğin zaman birimi başına düşen varış sayısını modellemektedir. Bunun üstel dağılımla ilgisi nedir? Diyelim ki k varış zamanının bir birim içindeki olasılığı P (k) (poisson tarafından modellenmiştir) ve k + 1'in olasılığı P (k + 1), üstel dağılım aralarındaki bekleme süresini nasıl modelliyor?

Aşağıdaki notayı wiki ile mümkün olduğunca tutarlı olmak için kullanacağım (cevabım ile poisson ve üstel için wiki tanımları arasında ileri geri gitmek isteyebilirsiniz .)

: t dönemindeki varış sayısı$N_t$$t$

: o bir ek gelişi için gereken süre birileri zaman geldi varsayarak gelmesi$X_t$$t$

Tanım olarak, aşağıdaki koşullar eşdeğerdir:

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

Soldaki etkinlik hiç bir zaman aralığında geldiğini olayları ele geçirir süresi gelenler sayısı eden sayısı anlamına gelir ki t + x saat ile sayma ile aynıdır t olduğu sağdaki olay.$[t,t+x]$$t+x$$t$

Tamamlayıcı kural uyarınca, ayrıca:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

Yukarıda tarif ettiğimiz iki olayın denkliğini kullanarak, yukarıdakileri tekrar yazabiliriz:

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

Fakat,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

, zaman birimi başına düşen ortalama varış sayısı ve x bir zaman birimi miktarının bulunduğu yukarıdakiler için pm poisson kullanarak , aşağıdakileri kolaylaştırır:$\lambda$$x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

yani

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

Özgün eqn'mizin yerine geçenler:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

Yukarıdaki, üstel bir pdf'in cdf'sidir.

$\lambda$

$L$

$P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$$\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$

Bunun gibi bir yoğunluk fonksiyonuna sahip olan herhangi bir rastgele değişkenin katlanarak dağıtıldığı söylenir.

Diğer cevaplar matematiği açıklamakta iyi bir iş çıkarır. Bence fiziksel bir örneği ele almaya yardımcı olur. Bir Poisson sürecini düşündüğümde, her zaman bir yolda geçen otomobiller fikrine geri dönüyorum. Lambda, zaman birimi başına geçen ortalama araba sayısıdır, diyelim ki 60 / saat (lambda = 60). Ancak, gerçek sayının değişeceğini biliyoruz - bazı günler daha fazla, bazı günler daha az. Poisson Dağılımı bu değişkenliği modellememize izin verir.

Şimdi, saat başına ortalama 60 araba, her dakika geçen ortalama 1 arabaya eşittir. Yine de, gelenler arasındaki zaman miktarında bir değişkenlik olacağını biliyoruz: Bazen 1 dakikadan fazla; diğer zamanlarda daha az. Üstel Dağılım, bu değişkenliği modellememize izin verir.

Tüm söylenenler, bir yoldan geçen arabalar her zaman bir Poisson Süreci izlemeyecek. Hemen köşede bir trafik sinyali varsa, örneğin, sabit yerine varışlar fırlatılacak. Açık bir karayolu üzerinde, yavaş bir traktör römorku uzun bir araba hattını tutabilir ve yine sallanmaya neden olabilir. Bu durumlarda, Poisson Dağılımı daha uzun süreler için hala iyi çalışabilir, ancak üssel olan varış zamanlarının modellenmesinde üssel olarak başarısız olacaktır.

Ayrıca günün saatine göre çok büyük değişkenlik olduğuna dikkat edin: işe gidiş zamanlarında daha yoğun; 03:00 de çok daha yavaş. Lambda'nızın, düşündüğünüz belirli bir süreyi yansıtdığından emin olun.

Poisson Dağılımı normal olarak Binom Dağılımından (her ikisi de ayrı) elde edilir. Bu Wiki'de bulacaksınız.

Bununla birlikte, Poisson dağılımı (ayrık), Üstel Dağılımdan da (sürekli) elde edilebilir.

Kanıtları Wiki'ye ekledim (aşağıdaki bağlantı):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution