gibi bir regresyon nasıl ?

Ölçülen değişkenin ayrık pozitif tamsayıları (sayıları) olduğu bazı zaman serisi verileri var. Zaman içinde yukarı yönlü bir eğilim olup olmadığını test etmek istiyorum (ya da değil). Bağımsız değişken (x) 0-500 aralığında ve bağımlı değişken (y) 0-8 aralığındadır.

Buna y = floor(a*x + b)sıradan en küçük kareler (OLS) kullanarak formun gerilemesini yerleştirerek cevap verdiğimi düşündüm .

Bunu R (veya Python) kullanarak nasıl yapabilirim? Bunun için mevcut bir paket var mı, yoksa kendi algoritmamı yazmaktan daha iyi miyim?

PS: Bunun ideal bir teknik olmadığını biliyorum, ama aslında anlayabileceğim nispeten basit bir analiz yapmam gerekiyor - geçmişim matematik değil biyolojidir. Ölçülen değişkende hata ve zaman içinde ölçümlerin bağımsızlığı ile ilgili varsayımları ihlal ettiğimi biliyorum.

nls(Doğrusal olmayan en küçük kareler) işlevini kullanarak belirttiğiniz modele sığabilirsiniz R, ancak söylediğiniz gibi, varsayımların çoğunu ihlal edecek ve muhtemelen çok mantıklı olmayacaktır (tahmin edilen sonucun bir adım etrafında rastgele olduğunu söylüyorsunuz) işlev, düzgün artan bir ilişki etrafında tamsayı değerleri değil).

Sayım verilerini sığdırmanın daha yaygın yolu, glmişlevini kullanarak Poisson regresyonunu kullanmaktır, Ryardım sayfasındaki ilk örnek bir Poisson regresyonudur, ancak istatistiklere aşina değilseniz, emin olmak için bir istatistikçiye danışmak en iyisidir. doğru yaptığınızı.

8 değeri mutlak bir maksimum ise (daha yüksek bir sayı görmek imkansız, sadece gördüğünüz şey değil) o zaman orantılı oranlar lojistik regresyonunu düşünebilirsiniz, bunu paketlerde yapmak için birkaç araç var R, ancak Bunu yapmak istiyorsanız gerçekten bir istatistikçinin dahil olması gerekir.

$\def\lf{\lfloor}\def\rf{\rfloor}\def\pnorm{\mathrm{pnorm}}$ Greg'in önerisinin denemesi gereken ilk şey: Poisson regresyonu birçok betonda doğal modeldir durumlar.

Ancak önerdiğiniz model örneğin yuvarlatılmış verileri gözlemlediğinizde ortaya çıkabilir: iid normal hatalarla .

$$Y_i = \lf ax_i + b + \epsilon_i \rf,$$ $\epsilon_i$

Bence, bununla neler yapılabileceğine bir göz atmak ilginç. Standart normal değişkenin cdf'sini gösteririm . Eğer , daha sonra , bilindik bilgisayar gösterimlerini kullanarak.$F$$\epsilon \sim \mathcal N(0,\sigma^2)$

$$\begin{align*} \mathbb P\left(\lf ax + b + \epsilon \rf = k\right) &= F\left({k-b+1-ax\over \sigma}\right) - F\left({k-b-ax\over \sigma}\right)\\ &= \pnorm(k+1-ax-b,sd=\sigma) - \pnorm(k-ax-b,sd=\sigma),\end{align*}$$

Veri noktalarını gözlemliyorsunuz . Günlük olasılığı Bu, en küçük karelerle aynı değildir. Bunu sayısal bir yöntemle en üst düzeye çıkarmayı deneyebilirsiniz. İşte R'de bir örnek:$(x_i,y_i)$

$$\ell(a,b,\sigma) = \sum_i \log\left( F\left({y_i-b+1-ax_i\over \sigma}\right) - F\left({y_i-b-ax_i\over \sigma}\right) \right).$$

log_lik <- function(a,b,s,x,y)
  sum(log(pnorm(y+1-a*x-b, sd=s) - pnorm(y-a*x-b, sd=s)));

x <- 0:20
y <- floor(x+3+rnorm(length(x), sd=3))
plot(x,y, pch=19)
optim(c(1,1,1), function(p) -log_lik(p[1], p[2], p[3], x, y)) -> r
abline(r$par[2], r$par[1], lty=2, col="red")
t <- seq(0,20,by=0.01)
lines(t, floor( r$par[1]*t+r$par[2]), col="green")

lm(y~x) -> r1
abline(r1, lty=2, col="blue");

Kırmızı ve mavi renkte, bu olasılığın sayısal olarak maksimize edilmesiyle çizgileri ve en küçük kareler bulunur. Yeşil merdiven, maksimum olasılıktan için ... bu, 0,5'e kadar bir çeviriye kadar en küçük kareleri kullanabileceğinizi ve kabaca aynı sonucu elde edebileceğinizi gösterir; veya en küçük kareler modeline çok burada en yakın tam sayıdır. Yuvarlanmış veriler o kadar sık ​​karşılanır ki, bunun bilindiğinden ve kapsamlı bir şekilde çalışıldığından eminim ...$ax+b$$\lf ax +b\rf$$a,b$$b$

$$Y_i = [ a x_i + b +\epsilon_i],$$ $[x] = \lf x + 0.5 \rf$