Dağılımların Fourier dönüşümü


Yanıtlar:


24

in Fourier dönüşümünün olduğunu varsayalım, burada burada . Ters dönüşüm X ( f ) X ( f ) = - x ( t ) exp ( - i 2 π f t ) d t i = x(t)X(f)

X(f)=x(t)exp(i2πft)dt
x(t)=- X(f)exp(i2πft)dfi=1
x(t)=X(f)exp(i2πft)df

Fourier dönüşümünün bazı özellikleri aşağıdaki gibidir:

  • Arasında Fourier olanX(t)x(f)

  • Eğer bir gerçek değerli da fonksiyonudur , o zaman bir gerçek değerli da fonksiyonudur .x(t)tX(f)f

Böylece, bir gerçek değerli da fonksiyonudur , o zaman Fourier gerçek değerli da işlev transform olanx(t)tX(t)x(f)

Şimdi nin ek özelliğine sahip eşit olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğunu tüm için olduğunu . Ayrıca Fourier dönüşümü 'nin tüm için özelliğine sahip olduğunu . Daha sonra, , alan ile eşit olmayan bir negatif değerli fonksiyonu olduğu için , , olan özelliği olan bir olasılık yoğunluk fonksiyonu da olduğux(t)x(t)0tx(0)=1X(f)X(f)0f

x(0)=1=X(f)df
X(f)f1X(f)X(0)=1. Böyle bir çift işlevin bir örneği OP Neil G tarafından belirtilen normal dağılımdır. ve başka bir örnek
x1(t)=exp(πt2),  X1(f)=exp(πf2)
x2(t)=(1|t|)1[1,1],  X2(f)=sinc2(f)={(sin(πf)πf)2,f0,1,f=0.

Şimdi , Fourier dönüşümü olan bir karışım yoğunluğu olduğuna dikkat edin. aynı karışım yoğunluğu olan .12x2(t)+12X2(t)12X2(f)+12x2(f)

Dolayısıyla, , Fourier dönüşümü bir yoğunluk fonksiyonu olan bir yoğunluk fonksiyonuysa, karışım yoğunluk fonksiyonu kendi Fourier dönüşümüdür.x(t)X(f)12x(t)+12X(t)

Son olarak, kendi Fourier dönüşümleri olan iki yoğunluk göz önüne alındığında, örneğin ve , herhangi bir karışım yoğunluğu burada kendi Fourier dönüşümü olan bir yoğunluk fonksiyonudur.1x1(t)αx1(t)+(1-α)[112x2(t)+12X2(t)α[0,1]

αx1(t)+(1α)[12x2(t)+12X2(t)]
α[0,1]

7
(+1) Bu oldukça akıllı. Geçerli bir dönüşüm çiftini garanti etmek için üzerinde bir entegrasyon koşuluna ihtiyacımız olduğuna dikkat edilmelidir . Yani, , belirtilen inversiyonun uygun yoğunluğu geri kazanacağını garanti edecektir. Bir anlamda böyle bir durumu daha sonra çalıştırıyorsunuz. (Zaten üzerindeki olumsuzluk kısıtlamasının uygulandığını varsaydım , bu yüzden modül gerektirmez.)- X ( f )X(f)X ( f )X(f)df<X(f)
kardinal
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.