Dağılımların Fourier dönüşümü

Normal dağılım ve genelleştirilmiş ark dağıtımının yanı sıra kendi Fourier dönüşümü hangisidir ?

distributions fourier-transform

— Neil G
kaynak

in Fourier dönüşümünün olduğunu varsayalım, burada burada . Ters dönüşüm $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \exp (- i 2 π f t) d t

$X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \exp(-i2\pi f t) \mathrm dt$

i = \sqrt{- 1}

$i = \sqrt{-1}$

x (t) = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) \exp (i 2 π f t) d f

$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \exp(i2\pi f t) \mathrm df$

Fourier dönüşümünün bazı özellikleri aşağıdaki gibidir:

Arasında Fourier olan $X(t)$ $x(-f)$
Eğer bir gerçek değerli da fonksiyonudur , o zaman bir gerçek değerli da fonksiyonudur . $x(t)$ $t$ $X(f)$ $f$

Böylece, bir gerçek değerli da fonksiyonudur , o zaman Fourier gerçek değerli da işlev transform olan $x(t)$ $t$ $X(t)$ $x(f)$

Şimdi nin ek özelliğine sahip eşit olasılık yoğunluk fonksiyonu olduğunu tüm için olduğunu . Ayrıca Fourier dönüşümü 'nin tüm için özelliğine sahip olduğunu . Daha sonra, , alan ile eşit olmayan bir negatif değerli fonksiyonu olduğu için , , olan özelliği olan bir olasılık yoğunluk fonksiyonu da olduğu $x(t)$ $x(t) \geq 0$ $t$ $x(0) = 1$ $X(f)$ $X(f) \geq 0$ $f$

x (0) = 1 = \int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f

$x(0) = 1 = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) \mathrm df$

X (f)

$X(f)$

f

$f$

1

$1$

X (f)

$X(f)$

X (0) = 1

$X(0) = 1$ . Böyle bir çift işlevin bir örneği OP Neil G tarafından belirtilen normal dağılımdır. ve başka bir örnek

x_{1} (t) = \exp (- π t^{2}), X_{1} (f) = \exp (- π f^{2})

$x_1(t) = \exp(-\pi t^2), ~~ X_1(f) = \exp(-\pi f^2)$

x_{2} (t) = (1 - | t |) 1_{[- 1, 1]}, X_{2} (f) = {sinc}^{2} (f) = {\begin{cases} {(\frac{\sin (π f)}{π f})}^{2}, & f \neq 0, \\ 1, & f = 0. \end{cases}

$x_2(t) = (1 - |t|)\mathbf 1_{[-1,1]}, ~~ X_2(f) = \operatorname{sinc}^2(f) = \begin{cases}\displaystyle \left(\frac{\sin(\pi f)}{\pi f}\right)^2,&f\neq 0,\\ 1,&f=0.\end{cases}$

Şimdi , Fourier dönüşümü olan bir karışım yoğunluğu olduğuna dikkat edin. aynı karışım yoğunluğu olan . $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$ $\frac{1}{2} X_2(f) + \frac{1}{2}x_2(f)$

Dolayısıyla, , Fourier dönüşümü bir yoğunluk fonksiyonu olan bir yoğunluk fonksiyonuysa, karışım yoğunluk fonksiyonu kendi Fourier dönüşümüdür. $x(t)$ $X(f)$ $\frac{1}{2} x(t) + \frac{1}{2}X(t)$

Son olarak, kendi Fourier dönüşümleri olan iki yoğunluk göz önüne alındığında, örneğin ve , herhangi bir karışım yoğunluğu burada kendi Fourier dönüşümü olan bir yoğunluk fonksiyonudur. $x_1(t)$ $\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)$

α x_{1} (t) + (1 - α) [\frac{1}{2} x_{2} (t) + \frac{1}{2} X_{2} (t)]

$\alpha x_1(t) + (1-\alpha)\left[\frac{1}{2} x_2(t) + \frac{1}{2}X_2(t)\right]$

α \in [0, 1]

$\alpha \in [0,1]$

— Dilip Sarwate
kaynak

(+1) Bu oldukça akıllı. Geçerli bir dönüşüm çiftini garanti etmek için üzerinde bir entegrasyon koşuluna ihtiyacımız olduğuna dikkat edilmelidir . Yani, , belirtilen inversiyonun uygun yoğunluğu geri kazanacağını garanti edecektir. Bir anlamda böyle bir durumu daha sonra çalıştırıyorsunuz. (Zaten üzerindeki olumsuzluk kısıtlamasının uygulandığını varsaydım , bu yüzden modül gerektirmez.)

X (f)

$X(f)$

\int_{- \infty}^{\infty} X (f) d f < \infty

$\int_{-\infty}^\infty X(f) \,\mathrm{d}f < \infty$

X (f)

$X(f)$

— kardinal