Bozuk paraları çevirirken bir binom cdf veya normal cdf kullanmalı mıyım?

11

Bir madalyonun adalet için test edilmesi gerekir. 50 döndürmeden sonra 30 kafa ortaya çıkar. Madalyonun adil olduğunu varsayarsak, 50 döndürmede en az 30 kafa alma olasılığınız nedir?

Öğretmenime göre, bu problemi yapmanın doğru yolu,

normalcdf(min = .6, max = ∞, p = .5, σ = sqrt(.5 * .5 / 50) = 0.0786

Ancak, bunun gibi bir binom birikimli dağılım fonksiyonu aldım

1 - binomcdf(n = 50, p = .5, x = 29) = 0.1013

Bir binom dağılımı için kriterlerin karşılandığına inanıyorum: bireysel olaylar bağımsızdır, sadece iki olası sonuç vardır (kafalar - kuyruklar), soru için olasılık sabittir (0.5) ve deneme sayısı 50'de sabittir. Açıkçası, iki yöntem farklı cevaplar verir ve bir simülasyon cevabımı destekler (en azından birkaç kez çalıştırdım; açıkçası, aynı sonuçları alacağınızı garanti edemem).

Bir Normal dağılım eğrisi de dağıtım Normal olduğu söylenir hiçbir noktada (bu sorunu yapmak için geçerli bir yol olacağını varsayarak içinde hocam yanlış, ama n * p ve n * (1-p) den ikisi büyüktür 10) veya binom dağılımları hakkında bir şey yanlış mı anladım?

self-study normal-distribution binomial

— waiwai933
kaynak

5

Binom'a Normal yaklaşımları kullanma deneyimi olan bir kişi biraz farklı ilerler: Binomial cdf ile oldukça yakın bir anlaşmaya varıldığında (bu bir R ifadesidir) değeri (0.1015) olduğu gibi (olağan) süreklilik düzeltmesini1 - pnorm((30-0.5)/50, mean=0.5, sd=sqrt(0.5*(1-0.5)/50)) uygularlar .

— whuber

10

İşte whuber ve onestop'un cevaplarının bir örneği.

süreklilik düzeltmesi

Kırmızı renkte binom dağılımı , siyah renkte normal yaklaşık yoğunluğu ve mavi renkte $\mathcal Bin(50,0.5)$ $\mathcal N(25, 12.5)$ için . $\mathbb P(Y > 29.5)$ $Y \sim \mathcal N(25, 12.5)$

$\mathbb P(X=k)$ $X\sim\mathcal Bin(50,0.5)$ $\mathbb P\left( k -{1\over 2} < Y < k + {1\over 2}\right)$ $\mathbb P(X \ge 30)$ $\mathbb P(Y>29.5)$

P (Y > 29.5) ≃ 0.1015459,

$\mathbb P(Y>29.5) \simeq 0.1015459,$ 1-pnorm(29.5,25,sqrt(12.5))

P (X \geq 30) ≃ 0.1013194 :

$\mathbb P(X \ge 30) \simeq 0.1013194:$

$\mathbb P(X=22)$

\begin{aligned} P (X = 22) & = (\binom{50}{22}) {0.5}^{22} \cdot {0.5}^{28} ≃ 0.07882567, \\ P (21.5 < Y < 22.5) & ≃ 0.2397501 - 0.1610994 ≃ 0.07865066. \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbb P(X=22) &= {50 \choose 22} 0.5^{22} \cdot 0.5^{28} \simeq 0.07882567, \\ \mathbb P(21.5 < Y < 22.5) & \simeq 0.2397501 - 0.1610994 \simeq 0.07865066.\end{align*}$

— Elvis
kaynak

4

Bir süreklilik düzeltmesi kullanırsanız, normal dağılım binomiye daha yakın bir yaklaşım sağlar . Bunu örneğiniz için kullanarak, 0.1015 alıyorum. Bu ev ödevi olduğu için ayrıntıları doldurmak için size bırakacağım.

— bir durak
kaynak

4

Bunu düşün. Ayrık binom dağılımında, bireysel sayılar için gerçek olasılıklarınız vardır. Sürekli normalde durum böyle değil, bir dizi değere ihtiyacınız var. Yani ... eğer bireysel bir değerin olasılığına yaklaşacak olsaydınız, diyelim ki X, binomdan normal ile bunu nasıl yapardınız? Üzerinde binilen normal eğri ile binom dağılımının olasılık histogramına bakın. Normal yaklaşımla X'in binom olasılığına benzer bir şey yakalamak için aslında X ± 0.5 arasından seçim yapmanız gerekir.

Şimdi dağıtımın bir kuyruğunu seçerken bunu uzatın. Binom yöntemini kullandığınızda, tüm değerinizin olasılığını (sizin durumunuzda 30) artı daha yüksek olan her şeyi seçersiniz. Bu nedenle, sürekli yaptığınızda, bunu yakaladığınızdan ve 0,5 daha azını seçtiğinizden emin olmalısınız, böylece sürekli dağıtımdaki kesim 29,5'tir.

— John
kaynak

3

Aslında, soru problemin düşünceli bir anlayışını sergiliyor ve rutin bir ev ödevi sorusuna cevap arıyor gibi görünmüyor. Ödev olarak etiketlenmiş olmasına rağmen , burada bir istisna yapmayı düşünün. Özellikle, ayrık dağılımları (büyük N'lere sahip Binomlar ve Poissonslar gibi) yaklaşık olarak belirlemek için Normal dağılımı kullanma konusunda iyi bir tartışma uygun olacaktır ve burada en hoş karşılanır.

— whuber