Bozuk parayı çevirmenin sonucunu doğru tahmin etme şansını en üst düzeye çıkarmak için, her zaman en olası sonucu seçmeli miyim?

Bu ev ödevi değil. Bu basit istatistik probleminde mantığımın doğru olup olmadığını anlamak istiyorum.

Diyelim ki bir kafayı çevirme olasılığının $P(H)$ ve kuyruğu çevirme olasılığının olduğu 2 taraflı bir param var $1-P(H)$ . Tüm döndürmelerin bağımsız olasılıklara sahip olduğunu varsayalım. Şimdi diyelim ki madalyonun bir sonraki kapakta kafa mı kuyruk mu olacağını tahmin etme şansımı en üst düzeye çıkarmak istiyorum. Eğer , rastgele başları veya kuyrukları tahmin edebilir ve beni doğru olma olasılığı . $P(H) = 0.5$ $0.5$

Şimdi, olduğunu varsayalım , eğer doğru tahmin etme şansımı en üst düzeye çıkarmak istersem, daima olasılığın olduğu kuyrukları tahmin etmeli miyim ? $P(H) = 0.2$ $0.8$

Bunu bir adım daha ileri götürürsem, 3 taraflı bir kalıbım olsaydı ve 1, 2 veya 3'ü yuvarlama olasılığı , ve , doğru tahmin etme şansımı en üst düzeye çıkarmak için her zaman 2 tahmin etmeli miyim? Daha doğru tahmin etmemi sağlayacak başka bir yaklaşım var mı? $P(1)=0.1$ $P(2)=0.5$ $P(3)=0.4$

probability

— kaplumbağa
kaynak

Bana bağımsızlık hakkında soruyormuşsunuz gibi geliyor: örneğin bir kez kafa alırsanız, bir dahaki sefere 'kuyrukları' daha olası hale getirir mi? Eğer sorduğunuz bu değilse, sorunuzu netleştirebilir misiniz? (Sorunuzu doğru bir şekilde anladıysam, cevap 'evet'tir: madeni para fırlatır gibi durumlarda, en olası sonuç, daha önce ne olursa olsun, her zaman en yüksek olasılıkla sonuç olacaktır.)

— arboviral

Yardım için teşekkürler @arboviral. Evet, bağımsızlık varsayıyorum. Bunu belirtmek için soruyu güncelledim.

— kaplumbağa

Bağımsızlığı varsayarsak, yapabileceğiniz en iyi şey en yüksek olasılıklı tarafı seçmek. Bu şekilde düşün. Daha iyi bir tahmin yapmak için başka bilginiz yok. Zar hakkında bildiğiniz tek şey, belirli bir tarafın ne sıklıkta ortaya çıktığı ve son çiftin ne kadar attığıdır. Ancak bağımsızlık size önceki satırların geçerli atış üzerinde hiçbir etkisi olmadığını söyler. Belki zar atmak için kullanılan kuvvet miktarı, sol el / sağ el atma veya yuvarlanmadan önce sallanma sayısı gibi daha fazla bilginiz varsa. Ancak zarlar gerçekten adil ise, bu ayrıntı seviyesinin bile daha iyi tahminler sağlayacağından şüpheliyim.

— Brent Ferrier

Tahmininiz doğru; bu, Tutucunun Eşitsizliğinin derhal bir sonucudur ( parametreleri ile ).

(1, \infty)

$(1, \infty)$

— whuber

P (H) = 0.2 olduğunu biliyor musunuz? Yoksa sonuçları gözlemleyerek çözmeniz gereken bir şey mi?

— Akavall

Yanıtlar:

Haklısın. Eğer ve sıfır-bir kullandığınız kaybı olduğunu (bir olasılık veya bir şey aksine, gerçek bir sonuç tahmin gerekiyor ve dahası sen kuyrukları tahmin zaman başlarını alma gibi bad eşit olduğu kafaları tahmin ettiğinizde kuyruk almak), her seferinde kuyrukları tahmin etmelisiniz. $P(H) = 0.2$

İnsanlar genellikle cevabın, rastgele seçilmiş denemelerin% 80'ini ve geri kalanların kafalarını tahmin etmek olduğunu düşünüyorlar. Bu stratejiye " olasılık uyumu " denir ve davranışsal karar vermede kapsamlı bir şekilde incelenmiştir. Bkz. Örneğin,

West, RF ve Stanovich, KE (2003). Olasılık uyumu akıllı mı? Olasılıksal seçimler ve bilişsel yetenek arasındaki ilişkiler. Bellek ve Biliş, 31 , 243-251. doi: 10,3758 / BF03194383

— Kodiologist
kaynak

Olasılık uyumu göstergesine +1. Bunu daha önce hiç duymadım, ama eminim ki günlük olarak bilişsel bir önyargı olarak faydalanıyorum! :)

— leekaiinthesky

(+1) Bu, çok terimli regresyon modellerini ve benzerlerini yorumlamada yaygın bir yanlış anlama ile ilgilidir: insanlar tahmin edilen sınıfların dağılımının gözlemlenen sınıfların dağılımıyla eşleşmediğine ve hatta "düzeltmenin" yollarını aradığına şaşırabilirler. . (Bir adı olduğunu bilmek güzel.)

— Scortchi - Monica'yı eski durumuna döndürün

(+1) "olasılık eşleşmesi" terimi için.

— Haitao Du

Aslında çok ilginç bir soru soruyorsunuz: "MAP Bayesian" 'ı kullanmayı tahmin etmeli mıyım? Bir posteriori tahmin veya "Real Bayesian".

gerçek dağılımını bildiğinizi , ardından MAP tahminini kullandığınızı, sonraki 100 flip sonuçlarında 100 tahmin yapmak istediğinizi varsayalım. Her zaman çevirmenin kuyruk olduğunu tahmin etmelisiniz , kafa ve kuyruğu tahmin DEĞİL . Buna "MAP Bayesian" denir, temelde $P(H)=0.2$ $20$ $80$

\arg max_{θ} f (x | θ)

$\arg\max_ \theta f(x|\theta)$

Bunu yaparak tahmin edilen hatayı (0-1 kaybı) en aza indirgeyebileceğinizi kanıtlamak zor değildir. Kanıt, İstatistiksel Öğrenime Giriş ~ ~ 53 sayfasında bulunabilir .

Bunu yapmanın başka bir yolu da "Gerçek Bayesci" yaklaşımıdır. Temel olarak, "en yüksek olasılıkla sonucu seçmeye çalışmıyorsunuz, ancak tüm vakaları olasılıkla düşünün". Yani, birileri sizden "sonraki 100'ü tahmin etmenizi" döndürürse, onu duraklatmalısınız, çünkü 100 ikili sonuç verdiğinizde, her bir sonuç için olasılıksal bilgi kaybolur. Bunun yerine, sonuçları bildikten SONRA ne yapmak istediğinizi sormalısınız.

Varsayalım ki bazı Kayıp Fonksiyonu (0-1 kayıp için gerekli değildir, örneğin, kayıp fonksiyonu olabilir, eğer bir başı kaçırırsanız, 1 $ ödemeniz gerekir , ancak bir kuyruğu kaçırırsanız, ödemeniz gerekir. 5 $ , yani dengesiz kayıp) tahmin ederseniz, sonuç dağılımı hakkındaki bilginizi tüm dağıtımdaki kaybı en aza indirmek için kullanmalısınız.

\sum_{x} \sum_{y} p (x, y) L (f (x), y)

$\sum_x \sum_y p(x,y) L(f(x),y)$

, yani, tahminleri almak ve sonraki adımları yapmak yerine, kayıta dağıtma hakkındaki bilginizi "aşamalı bilge yolu" yerine dahil edin.

Dahası, birçok olası sonuç olduğunda neler olacağı konusunda çok iyi bir sezginiz var. Sonuç sayısı büyükse ve olasılık kütlesi yaygınsa MAP tahmini iyi çalışmaz. 100 yan zarınız olduğunu ve gerçek dağılımı bildiğinizi düşünün. Burada ve . Şimdi MAP ile ne yapıyorsunuz? Her zaman ilk tarafı aldığınızı tahmin edersiniz , çünkü diğerlerine kıyasla en büyük olasılık vardır. Ancak kez yanlış alacaksınız !! $P(S_1)=0.1$ $P(S_2)=P(S_3)=P(S_{100})=0.9/99=0.009090$ $S_1$ $90\%$

— Haitao Du
kaynak

HARİTA ayrıca Bayeslidir. Dahası, Bayesian yöntemleri hakkında yazdığınız ve öncekiler bu yöntemlerin temel özelliği olduğu için , yanıltıcı olabilecekleri bir şekilde kullanmaya gerek kalmadan her iki yaklaşımı da açıklarsınız .

— Tim

Birisi sizden "sonraki 100'ü tahmin etmenizi" tersine çevirmenizi isterse, bunu yapmayı reddetmelisiniz. ' Birisi bana doğru tahmin edersem bir milyar avro teklif ettiyse, muhtemelen reddetmezdim. Ya da muhtemelen 'tahmin etmeye çalışmaktan' farklı bir anlamda 'tahmin' demek istediniz.

— JiK

"Eğer 100 ikili sonuçları verildiğinde, her bir sonuç için olasılık bilgiler kaybolur" İlk yemek I "ne zaman bu okunan verilmiştir 100 ikili sonuçlarını" ve cümle anlayamadık, ama artık ne zaman" anlamına gelebilir fark vermek 100 ikili sonuç ". Hangisi doğrudur ve eğer ilkse, bu ne anlama geliyor?

— JiK

Çok küçük bir nokta: Muhtemelen ikinci paragraftan sonra, ilk iki paragrafın teknik olarak gerçek soruyu cevaplamak için yeterli olduğunu ve geri kalanının biraz ek bilgi (şüphesiz ilginç ve yararlı) olduğunu belirtmek için dikey bir çizgi eklerdim.

— JiK

Son paragrafta: "Sonuç sayısı büyükse MAP tahmini iyi çalışmaz. - - Ancak zamanın% 90'ını yanlış alacaksınız !!" İyi çalışmamak her zaman bir bağlam meselesidir. Bu örneğin tekrar eden bir bahis oyunuysa (pot doğru tahmin eden veya kimse tahmin ederse geri dönen insanlar arasında bölünür), MAP stratejisi, örneğin tahminlerini çizen insanlara karşı oynarsanız, uzun vadede çok para kazanmaya mecburdur. sonuçların dağılımından.

— JiK

Bağımsızlık nedeniyle, en olası durumu tahmin ederseniz beklenti değeriniz her zaman maksimize edilir. Daha iyi bir strateji yoktur, çünkü her flip / roll size jeton / die hakkında ek bilgi vermez.

Daha az olası bir sonuç tahmin ettiğiniz her yerde, kazanma beklentiniz en olası durumu tahmin etmiş olduğunuzdan daha azdır, bu nedenle sadece en olası durumu tahmin etmekten daha iyi olursunuz.

Eğer stratejinizi değiştirmek için değiştirmek zorunda kalmak istiyorsanız, başlangıçta oranlarını bilmediğiniz bir madeni para / ölümü düşünebilirsiniz ve bunları rulo gibi çözmelisiniz.

— Kitter Catter
kaynak

bana göre bu cevap en basit açıklama; daha önce elde ettiğiniz sonucu göz önünde bulundurarak bir strateji tanımlamanız gerekiyorsa, bu "bağımsız" olasılıkları kırmaktadır.

— Walfrat